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第十九章 二次根式
19.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
定义
二次根式的双重非负性
二次根式 中，a____0且 ___0
二次根式
我们把形如__________的式子叫做二次根式
≥
≥
复习导入
知识点1：二次根式的双重非负性
那么当 a≥0 时， 的大小是怎样的呢？
有意义
a≥0
回顾之前思考的过程.
分别表示 65，， ，0 的 根．
算术平方
探究
探究新知
0
形如 ( 一般 ) 意义 大小 总结
(a＞0)
(a = 0)
表示 a 的算术平方根
表示 0 的算术平方根
＞0
＝0
当 a≥0 时，
≥0
实例
( 特殊 )
二次根式的被开方数或式非负(a≥0)
二次根式的值非负
( ≥0)
二次根式 的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数 (或式) 的算术平方根.对于任意一个二次根式
归纳总结
例1 已知实数 m，n 满足｜m - 2｜+ = 0，
则 m = ，n = .
2
1
1. 已知 (x－2) ＋ ＝0，则 xy 的值为 .
【练一练】
－2
典例精析
问题：根据算术平方根的意义填空：
;
＝ ;
因此，3.
分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于 3 的非负数.
3
0.5
0
因此，
同理， 分别是 0.5， ，0，的算术平方根.
知识点2： （a≥0）的性质
【知识要点】
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式.
一般地， ＝a (a≥0).
典例精析
例2 计算：
解析：
1.5
积的乘方：
(ab)2 = a2b2
20
＝a (a≥0)
2. 等式 成立的条件是 .
1. 计算：
分析：
x - 2≥0
x≥2
练一练
分数的乘方：
答案：(1) 5.
＝a (a≥0)
(2) 18.
(3) 12.
(4)
问题：填空：
＝ ；
2
0.1
0
【拓展】当 a＞0 时，
当 a＝0 时，
a
0
知识点3：
的性质
＝a (a≥0).
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
一般地，根据算术平方根的意义：
【知识要点】
【思考】当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
不成立.
问题：填空：
＝ ；
2
0.1
猜想：
证明：
当 a＜0 时， = -a
∵ a＜0，∴ -a＞0，则
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
a (a≥0)，
-a (a＜0).
【知识要点】
＝|a|＝
问题：如果 a 是任意实数，那么如何化简 ？
0 (a＝0)，
例3 化简：
解析：
4
5
3. 计算：
8
-1.2
练一练
π - 3.14
3-1
3-1
3.14 - π ＜0
幂的乘方的逆运
算：amn = (am)n
例3 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简：
a
b
分析：
| a | - | b | + | a - b |
-2a
原式 = -a - b - (a - b)
上式
a＜0，b＞0，a - b＜0
课堂小结
性质
拓展性质
二次根式
＝a (a≥0)
＝a (a≥0)
( a 为全体实数 )
1. 化简：
(1) ＝ ; (2) ＝ ;
(3) ＝ ; (4) ＝ .
3
81
4
2
当堂练习
基础练习
2.当 1 < x < 3 时， 的值为 ( )
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
D
3. 已知 a、b 是实数，且满足 ，
那么 a + b 的值是________.
1
解：
4.利用 a ＝ (a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2) 2.5 ； (3) ； (4) 0 .
解：根据数轴可知 b＜a＜0，
∴ a + 2b＜0，a - b＞0，
则 = | a + 2b | + | a - b |
= - a - 2b + a - b = - 3b．
能力提升
5. 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
a
b
0
6. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：
分析：
| a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a |
上式
a + b + c - ( b + c - a ) + ( b + a - c)
3a + b - c
三角形三边关系：a + b + c＞0
b + c - a＞0，c - b - a＜019.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
1.理解二次根式的三个性质≥0（a≥0）；（）2＝a（a≥0）和＝a（a≥0）.会运用二次根式的性质进行有关计算和化简.
2.通过对的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论（）2＝a（a≥0），感受数学知识的内在联系.
3.经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐.
重点：二次根式的性质的理解及运用.
难点：会运用二次根式的性质进行化简.
知识链接：上节课我们学习了二次根式的概念，回顾一下相关知识.
探究点一：≥0（a≥0）
问题1：当a≥0时，表示什么含义？其数值有什么特点？
当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0.所以当a≥0时，≥0，即当a是非负数时，也是非负数.
归纳总结：二次根式具有双重非负性，即≥0（a≥0）.
问题2：我们还学过哪些非负数？
一个数的绝对值；一个数的正偶次幂.
已知实数m，n满足｜m＋3｜＋＝0，则m＝　－3　，n＝　1　.
【对应训练】已知（x－2）2＋＝0，则xy的值为　－2　.
探究点二：（）2＝a（a≥0）
问题3：（教材P3探究）根据算术平方根的意义填空：
（）2＝　3　；（）2＝　0.5　；（）2＝　　；（）2＝　0　.
分析：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于3的非负数.因此有（）2＝3.同理，可得（）2＝0.5，（）2＝，（）2＝0.
归纳总结：一般地，（）2＝a（a≥0）.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件，a可以是数，也可以是式.
（教材P4例2）计算：（1）（）2；（2）（2）2.
解：（1）（）2＝1.5；
（2）（2）2＝22×（）2＝4×5＝20.
提示：2表示2×，利用了（ab）2＝a2b2这个性质.
【对应训练】教材P4练习第1题.
探究点三：＝a（a≥0）
问题4：（教材P4探究）填空：
＝　2　；＝　0.1　；＝　　；＝　0　.
【拓展】当a＞0时，＝　a　；当a＝0时，＝　0　.
归纳总结：一般地，＝a（a≥0）.即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
【思考】当a为任意实数时，都有意义.如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
不成立，因为算术平方根不能为负数.
问题5：（教材P4探究变式）填空：
＝　2　；＝　0.1　；＝　　.
【拓展】当a＜0时，＝　－a　.
问题6：如果a是任意实数，那么如何化简？
＝｜a｜＝
【议一议】如何区别（）2与？
（）2
从运算顺序看 先开方，后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0 a取任何实数
从运算结果看 a ｜a｜
意义 表示一个非负数a的 算术平方根的平方 表示一个实数a的 平方的算术平方根
（教材P4例3）化简：（1）；（2）.
解：（1）＝＝4；（2）＝＝5.
【对应训练】教材P4练习第2题.
1.化简的结果是（　B　）
A.－3 B.3 C.±3 D.9
2.用一个x的值说明“＝x”是错误的，则x的值可以是（　C　）
A.2 B.0 C.－1 D.1
3.若｜a－3｜＋＝0，则2a＋b＝　5　.
4.（1）若＝4－m，则m的取值范围是　m≤4　；
（2）若＝－a，则a的可能取值为　－（答案不唯一）　（请写出一个符合条件的无理数）.
5.计算：
（1）（2）2；　　（2）；　　（3）；　（4）.
解：原式＝20. 解：原式＝. 解：原式＝. 解：原式＝π－3.
6.已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：－.
解：由数轴可得a－b＞0，a＋b＜0，
故原式＝a－b＋a＋b＝2a.
　　　　　　

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