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20.1 勾股定理
第二十章 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
人教版八年级（下）
1.一条有方向的直线，标上刻度，零点后变成了一种什么样的数学工具？
复习引入
2.数轴上的点与实数有什么关系？
3.你可以在数轴上表示无理数？
一一对应
数轴
欣赏下面图片：
这些都是什么的图片？
这个图是怎样绘制出来的呢？
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽.
知识点1：勾股定理与数轴
可以构造直角三角形作出边长为无理数的斜边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
-1 0 1 2 3
问题1 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？
可以想成边长为 1 的正方形的斜边边长.
-1 0 1 2 3
用同样的方法作 呢？
“数学海螺”
1
1
类比迁移
√
√
问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？
1
2
3
0
1
2
3
4
l
A
B
C
x
O
1.在数轴上找到点 A，使 OA = 3；
2.作直线 l⊥OA，在 l 上取一点 B，使 AB = 2；
3.以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交
于 C 点，则点 C 即为表示 的点.
步骤
也可以使 OA = 2，AB = 3，同样可以求出 C 点.
在数轴上表示无理数
构造直角三角形填一填
直角边 直角边 斜边
1 1
2 3
1 4
2 5
... ...
0
1
2
3
4
A
B
C
x
O
类比表示 的方法，也可以求长度为 的线段.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
归纳总结
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，
∴斜边长为 ，
即 －1 到 A 的距离是 ，
∴点 A 所表示的数为 .
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
典例精析
1. 如图，点 A 表示的实数是 (　　)
2.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为(　　)
C
D
练一练
0
1
2
3
4
l
A
B
C
3. 你能在数轴上画出表示 的点吗？
？
4
画一画 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中以 A 出发分别画出长度为 的线段 AB．
B
B
B
知识点2：勾股定理与网格
例2 在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC 的周长为
归纳
勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
例3 如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？
解：如图所示，有 8 条.
一个点一个点的找，不要漏解.
如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为 .
A
B
C
解：如图所示.
练一练
利用勾股定理
作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
通常与网格求线段长或面积结合起来
1.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段 AB 的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
A
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点 D，然后过点 D 作一条垂直于数轴的线段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，原点到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一点(如图)，则该点位置大致在数轴上 (　　)
A. 2 和 3 之间
B. 3 和 4 之间
C. 4 和 5 之间
D. 5 和 6 之间
B
3. 如图，网格中的小正方形边长均为 1，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为_______.20.1　勾股定理及其应用
第3课时　利用勾股定理作图或计算
1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明.
2.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点.
3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并让学生体会勾股定理的应用价值.
重点：利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
难点：理解实数与数轴上的点一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算.
知识链接：上节课我们学习了勾股定理的应用，回顾一下相关知识.
探究点一：利用勾股定理证明“HL”定理
问题1：（教材P28思考）在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？（师生共同画图，写出已知、求证，学生加以证明）
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.
分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'，难以找到锐角对应相等，只有找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC＝　　，B'C'＝　　，容易得到BC＝B'C'.
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，
根据勾股定理，BC＝，B'C'＝.
又AB＝A'B'，AC＝A'C'，∴BC＝B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
探究点二：利用勾股定理在数轴上表示实数
问题2：（教材P28探究）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
（1）如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点.想一想，你能画出长为的线段吗？怎么画？说说你的画法.
画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是.
（2）长为的线段能否是直角边长为正整数的直角三角形的斜边呢？
设斜边c＝，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有a2＋b2＝c2＝13，若a，b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长，如图所示.
（3）在数轴上画出表示的点.
①如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3；
②过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2；
③以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.
（4）我们知道了怎么画出斜边长为的直角三角形，那么怎么画出斜边长为的直角三角形呢？
根据（）2＋1＝3＝（）2，先画出长为的线段，再以和1为直角边的长画直角三角形，则斜边长为.
（5）你能画出斜边长为（n是正整数）的直角三角形吗？你能在数轴上画出表示的点吗？
类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段.按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点.
归纳总结：利用勾股定理表示无理数的方法：
①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.
②以原点为圆心，以无理数的斜边长为半径画弧找到与数轴的交点，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
【对应训练】教材P29练习.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（　D　）
A.18 B.24 C.12 D.30
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，A（12，0），C（－1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　D　）
A.（0，2）　　　　　　B.（0，3）　　　　　　C.（0，4）　　　　　　D.（0，5）
3.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴上原点右侧于一点，则这个点表示的实数是　　.
　　　　　　

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