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第5章 函数概念与性质
5.2 函数的表示方法
▍教学目标
明确函数的三种表示方法．
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式． 数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算． 数据分析：利用图象表示函数．
▍情境设置
【问题1】 5.1节开头的第2个函数问题： 一物体从静止开始下落，下落的距离（单位：m）与下落时间（单位：s）之间近似地满足关系式．若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？ 有几个变量？是函数吗？
[学生活动] 有两个变量，；是函数．
[教师引导] 对于任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值和它对应，这就是函数的实质．这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．
【问题2】 5.1节开头的第1个函数问题： 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据．从人口统计年鉴中可以查得我国1979~2014年人口数据资料（年末）如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？ 表中有几个变量？是函数吗？
[学生活动] 有两个变量“年份”“人口数”；是函数．
[教师引导] 这也是函数，只是他不适合用解析式来表达．这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．
【问题3】 5.1节开头的第3个函数问题： 下图为某市一天24小时内的气温变化图． 上午6时的气温约是多少？全天的最高气温、最低气温分别是多少？ 在什么时刻，气温为0℃？ 在什么时段内，气温在0℃以上？ 其中的变量是？是函数吗？
[学生活动] 有两个变量“时间”“温度”；是函数．
[教师引导] 这个函数，也不适合用解析式来表达．这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
▍概念的探究与建构
形成知识 解析法：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式． 列表法：用列出表格的形式来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． 图象法：用图象来表示两个变量之间的函数关系方法称为图象法．
【问题4】 比较三种函数表示方法，并完成下表： 表示方法 比较列表法解析法图象法优点缺点
[学生活动] 学生填表．
[教师引导] 三种函数表示方法各有各的特点，在实际问题情境中，应根据不同的要求选择恰当的方法表示函数，理解同一个函数可以用不同的方法表示： 表示方法 比较列表法解析法图象法优点简洁明了，函数的“输入值　”与“输出值　”一目了然函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数性质能直观地反映函数值随自变量值变化的趋势，有助于数形结合的应用缺点仅能表示自变量取有限值时的对应关系不够形象、直观，一些实际问题难以找到它的解析式有些函数的图象难以精确作出
【问题5】 已知，是的函数吗？若是，是哪种表达方法？
[学生活动] 是函数；是解析法表示．
形成知识 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫作分段函数．
【问题6】 你能举几个分段函数的例子吗？
[教师引导] 分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．
形成知识 分段函数是一个函数的分段表达形式，它是一个函数，而不是几个函数． 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集；分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集． 作分段函数的图象时，先作出每段的函数图象，其整体就是分段函数的图象．
▍知识的运用与升华
【例题1】 某种笔记本的单价是元，买个笔记本需要元．试用解析法、图象法、列表法将表示为（）的函数，并指出这个函数的值域．
[解析] 这个函数的定义域是． 用解析法可将函数表示为，． 用列表法可将函数表示为： 用图象法可将函数表示为： 值域为：．
【例题2】 画出函数的图象，并求，，，的值．
[解析] 因为 所以函数的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线，如图，其中，，，．
方法归纳 去绝对值通常采用“零点分段法”，即使绝对值里的式子为，从而解出对应的的值作为分点，再进行讨论．
【变式1】 作出函数的图象，并写出值域．
[解析] 因为 图象如图： 值域为．
【变式2】 如果将【变式1】中的函数改为呢？
[解析] 因为 图象如图： 值域为．
【例题3】 已知函数
求的值； 若，求的值．
[解析] 因为， 所以． ，若，则，得或．因为，所以的值不存在；若，则，得，符合． 所以若，的值为．
方法归纳 确定要求值的自变量属于哪一段区间． 代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值． 求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
【例题4】 分别求出下列条件下的的解析式： 已知； 已知函数是一次函数，若； 已知函数对于任意的都有．
[解析] 法一（换元法）： 令，则，， 代入原式有， 所以（）． 法二（配凑法）： ， 因为，所以（）． 设（）， 则． 又，所以， 即解得或 所以或． 由题意，在中，以代可得，联立可得消去可得．
方法归纳 求函数解析式的四种常用方法： 待定系数法：若已知的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． 换元法：设，解出，代入，求的解析式即可． 配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可． 方程组法（或消元法）：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
▍课堂反馈
画出函数的图象，并写出值域．
已知是一次函数，且，求的解析式．
[答案] 或
已知，求的解析式．
[答案] （）
▍课堂总结
【问题7】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 函数有三种常用的表示方法，可以选择最佳的方式表示函数． 作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与轴、轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点． 求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法（消元法），注意有的函数要注明定义域． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、分类讨论、类比……

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