资源简介

江苏凤凰教育出版社 高中数学 必修 第一册
第5章 函数概念与性质
5.3 函数的单调性（第1课时）
本课时内容主要包括从形与数两方面理解函数单调性的概念，依据图象判断函数的单调性和应用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出“借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义”．
函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法．这就是：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．即借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而加以解析研究，用准确的数学语言刻画．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据．
函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展，同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础，在解决函数定义域、值域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想．利用定义证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫．
▍教学目标
使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．
通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
数学抽象：用数学符号语言表示函数单调性． 逻辑推理：证明函数单调性． 直观想象：图象法判断函数的单调性．
▍情境设置
【问题1】 下图为某市一天24小时内的气温变化图． 观察这张气温变化图，能得到什么信息？
[学生活动] 当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； 在某时刻的温度； 哪些时段温度升高，哪些时段温度降低．
[教师引导] 如何描述气温随时间的变化情况？ 在区间上，随的增大而增大这一特征， 要是用数学符号来刻画，该如何表述呢？ 能不能说：取，，，，得到相对应的，，，的值，有，所以在上，随的增大而增大？ 能不能说，取该子区间内所有的输入值，，，…，，得到相对应的，，，…，的值，有，所以在区间上，随的增大而增大？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
[教师引导] 生活中还有哪些数据是随着时间的变化而变化的？
[学生活动] 水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．
[教师引导] 用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
▍概念的探究与建构
[教师引导] 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．
【问题2】 分别作出函数，，，的图象，并观察自变量变化时函数值的变化规律．
[学生活动] 函数，在整个定义域内随的增大而增大；函数，在整个定义域内随的增大而减小． 函数，在上随的增大而增大，在上随的增大而减小． 函数，在上随的增大而减小，在上随的增大而减小．
[教师引导] 引导学生进行分类描述（增函数、减函数），同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
【问题3】 你能不能根据自己的理解说说什么是增函数？
[学生活动] 如果函数在某个区间上随自变量的增大，也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量的增大，越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．
[教师引导] 这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识．
【问题4】 如图是函数的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
[学生活动] 学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
[教师引导] 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
【问题5】 如何从代数的角度说明在上为增函数？
[学生活动] 在给定区间内取两个数，例如和，因为，所以在上为增函数． 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数． 任取，且， 因为，即， 所以在上为增函数．
[教师引导] 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量，．
【问题6】 你能用准确的数学符号语言刻画出在区间上递增吗？
[学生活动] 师生共同探究，得出增函数严格的定义．
形成知识 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么称在区间上是增函数（也称在上单调递增），称为的增区间．
【问题7】 类比增函数概念，你能给出减函数的概念吗？ 你能找出图中的单调区间吗？ 能说出已经学过的函数的单调区间吗？请同学们举例说明．
形成知识 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么称在区间上是减函数（也称在上单调递减），称为的减区间．
【思考1】 下图是定义在上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
[答案] 函数的单调递增区间为，； 单调递减区间为，．
【思考2】 判断题： 已知，因为，所以函数是增函数． 若函数满足，则函数在区间上为增函数． 若函数在区间和上均为减函数，则函数在区间上为减函数． 因为函数在区间和上都是减函数，所以在上是减函数．
形成知识 有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）． 函数在定义域内的两个区间，上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数． 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
【思考3】 如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？
▍知识的运用与升华
【例题】 证明函数在上是增函数．
[分析] 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
[证明] 任取，且 　　　　　　　设元 　　　　　　　求差 　　　　　　　变形 ， ∵，　　　　　　　　　　　　　　　　断号 ∴，， ∴，即， ∴函数在上是增函数．　　　定论
[学生活动] 引导学生归纳．
方法归纳 判断函数单调性的一般步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
【变式1】 判断函数在上的单调性，并予以证明．
[证明] 任取，且，　　　　　　　　　　设元 　　　　　　　求差 　　　　　　　　变形 ， ∵，　　　　　　　　　　　　　　　　断号 ∴，， ∴即， ∴函数在上是减函数函数．　定论
【变式2】 判断函数在上的单调性，并予以证明．
▍课堂反馈
证明函数在上是增函数．
研究函数，的单调性．
▍课堂总结
【问题8】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 在区间上上是增函数图象自右向左呈上升趋势区间内任意的两个值，，当时，都有增函数； 在区间上上是减函数图象自右向左呈下降趋势区间内任意的两个值，，当时，都有增函数． 判断函数单调性的方法有：图象法，定义法． 定义法证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 思想与方法层面：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性、数形结合、归纳和类比．
（本案例由江苏省丹阳市教师发展中心 汪正文 老师提供）
第 2 页 共 9 页第5章 函数概念与性质
5.3 函数的单调性（第2课时）
▍教学目标
理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义．
学会运用函数图象和单调性求一些简单函数的最值．
通过对含参数函数单调性的研究，进一步理解函数单调性的定义．
掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．
能利用函数的最值解决有关的简单实际问题．
数学抽象：图象法求函数的最值． 数学运算：利用函数的单调性求最值． 数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题．
▍情境设置
【问题1】 增函数和减函数是怎样定义的？ 增函数的图象和减函数的图象各有什么特征？ 怎样判断函数单调性？
【问题2】 下图为某市一天24小时内的气温变化图．气温是关于时间的函数，记为． 观察这个气温变化图，你能求出函数的值域吗？ 通过观察你还能发现什么？
[学生活动] 学生从图象上可以看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0至24时之间，气温于14时达到最大值9℃． 从图象上看，图象在这一点的位置最高．同样可以看出4时的气温为全天的最低气温，它表示在0至24时之间，气温于4时达到最小值℃．
【问题3】 函数的最大值及最小值分别对应函数图象上怎样的点？你能举例说明函数存在最值的情况吗？
[学生活动] 函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数（），当时，函数有最小值；当时，函数有最大值．
▍概念的探究与建构
【问题4】 从图中可以看出，在14时气温最大，在4时气温最小．如何用数学语言刻画最大值与最小值？用数学语言需借助什么？需描述什么关系？ （可以类比上一课时单调性数学语言的描述）
[学生活动] 可以看出：对于任意的，都有；对于任意的，都有．
[教师引导] 如何抽象出函数最大值的定义？
形成知识 一般地，设函数的定义域为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为．
【问题5】 你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义吗？
形成知识 一般地，设函数的定义域为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为．
【思考1】 我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁，那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗？ 函数恒成立，的最小值是吗？
[学生活动] 错误； 的最小值不是，因为取不到．
【思考2】 如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数在处有最大值，对吗？ 如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处有最小值，对吗？
形成知识 函数最大（小）值的定义中的不等式（）必须对定义域中的任意都成立，这说明函数的最值是函数全局的一个性质． 仅满足“对任意的，都有（）”，不能得出是最大（小）值这一结论，必须同时满足“存在，使得”． 函数的最大值、最小值的几何意义：函数的最大值是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值是函数图象上最低点的纵坐标． 函数的最大值点不一定唯一．
▍知识的运用与升华
题型一：利用函数图象求最值及单调区间
【例题1】 函数，的图象如图所示，指出它的最大值、最小值及单调区间．
[解析] 由函数图象可以知道，图象上位置最高的点是，最低的点是． 所以，当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即． 由图可知，函数的增区间为，； 减区间为，，．
[处理建议] 在学生正确回答完本题后，教师还可以追问：“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗？”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆．
【例题2】 已知函数 画出函数的图象并写出函数的单调区间； 根据函数的图象求出函数的最小值．
[解析] 函数的图象如图所示． 由图象可知的单调递增区间为和，无递减区间． 由函数图象可知，函数的最小值为．
方法归纳 图象法求最值的一般步骤： 利用图象写最值时，要写最高（低）点的纵坐标，而不是横坐标． 求函数的最值时，一般都要说明函数值为最大或最小值时对应的自变量的值．
题型二：利用函数的单调性求最值
【例题3】 已知函数． 判断在区间上的单调性； 根据的单调性求出在区间上的最值．
[解析] 设，是区间上的任意两个实数，且， 则 ． 因为，所以． 当时，，，即． 所以，即在区间上是减函数． 由(1)知的最小值为，； 的最大值为， 所以的最小值为，最大值为．
方法归纳 利用单调性求函数最值的一般步骤： (1) 判断函数的单调性； (2) 利用单调性写出最值． 通过函数的单调性研究最大（小）值，要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小．
【例题4】 求下列函数的最大值和最小值：
，．
[分析] 可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决，但要注意图象的直观性无法替代数学的严谨性．
[解析] 函数的图象如图所示，由图可知： 当时，取最小值，最小值为． 先判断函数区间上的单调性， 设任意的，且， 则． 由，得，， 于是，即． 所以，函数在区间上单调递减． 因此，函数在区间上的两个端点上分别取得最大值与最小值，在时取得最大值，最大值是；在时取得最小值，最小值是．
方法归纳 分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中的那个最大（小）值． 函数的最值与单调性的关系： 若函数在区间上是增（减）函数，则在区间上的最小（大）值是，最大（小）值是． 若函数在区间上是增（减）函数，在区间上是减（增）函数，则在区间上的最大（小）值是，最小（大）值是与中较小（大）的一个． 若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则函数在区间上一定有最值． 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大（小）值．
题型三：函数单调性的应用
角度一：利用单调性比较大小或解不等式
【例题5】 已知函数在区间上是减函数，试比较与的大小．
[答案]
[解析] 因为， 所以与都是区间上的值． 又在区间上是减函数，所以．
【例题6】 已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围．
[解析] ∵是上的增函数，且， ∴即∴，∴的取值范围为．
方法归纳 抽象函数单调性求参： 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小． 在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
角度二：已知单调性求参数的范围
【例题7】 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围．
[分析] 用图象法或定义法解决．
[解析] 方法一（图象法）： 由． 图象上下平移，不影响函数的单调性，因此只需考虑的正负性： ①当时，，不具有单调性，舍去； ②当时只有减区间，舍去； ③当时，函数的图象如图所示，可知满足题意． 综上可得，即实数的取值范围是．
方法二（定义法）： 设，为内任意两个值，且， 由在上单调递增知：恒成立， 即恒成立． 因为，， 故，即，因此，实数的取值范围是．
方法归纳 函数在区间上单调递增，是指对于任意的，，有；反之，若，则．对于区间上的减函数．
题型四：单调性最值的实际应用
【例题8】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望它在到达最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度m与时间s之间的关系为，那么烟花冲出后多久是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到m）？
[解析] 作出函数的图象（如图）． 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数，我们有：当时，函数有最大值；于是，烟花冲出后s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为m．
方法归纳 解函数应用题的一般程序： 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系． 建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型． 解模：求解数学模型，得到数学结论． 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义． 回顾：对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
▍课堂反馈
已知函数求的最大值、最小值．
[解析] 作出函数的图象（如图）． 由图象可知，当时，取最大值为． 当时，取最小值为， 故的最大值为，最小值为．
求函数，的最大值和最小值．
[分析] 可以引导学生分别用图象和用定义解决，但要注意图象的直观性无法替代数学的严谨性．
[解析] 先判断函数区间上的单调性， 设任意的，且， 则． 由，得，， 于是，即． 所以，函数在区间上单调递减． 因此，函数在区间上的两个端点上分别取得最大值与最小值，在时取得最大值，最大值是；在时取得最小值，最小值是．
已知函数是上的单调函数，求实数的取值范围．
[分析] 先研究每段单调性，再合成整个函数的单调性．
[解析] 由于单调递减，所以在上只能为减函数， 所以解得，即实数a的取值范围是．
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 函数的最值与值域、单调性之间的联系： 对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数．如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． 若函数在闭区间上单调，则的最值必在区间端点处取得．即最大值是或，最小值是或． 学会了运用函数图象和单调性求一些简单函数的最值． 通过对含参数函数单调性的研究，求参数的范围． 能利用函数的最值解决有关的简单实际问题．第5章 函数概念与性质
5.3 函数的单调性（第3课时）
▍教学目标
会求某些简单函数的值域．
通过归纳总结，让学生熟练地掌握几种求函数的值域方法，并能够在具体的题目中选择恰当的方法求解．
理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能借助图象求函数的最大（小）值．
会借助函数的单调性求最值．
数学抽象：函数的最大值、最小值概念的抽象过程． 直观想象：函数图象判断函数最值． 数学运算：函数的单调性求函数的最值及参数取值范围．
▍复习回顾
[教师引导] 回顾最大值、最小值的定义．
形成知识 一般地，设函数的定义域为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为．
【问题1】 我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁，那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗？（举个生活中的例子提问）
形成知识 仅满足“对任意的，都有（）”，不能得出是最大（小）值这一结论，必须同时满足“存在，使得”．
【问题2】 这次数学考试，由于试卷比较简单，满分（分）的同学有个，那么这次考试成绩的最大值是多少？显然，最大值是分，且有五人取最大值． （举个生活中的例子）
形成知识 函数的最大值不一定唯一．
▍典例精讲
方法一：直接观察法
[教师引导] 从自变量的范围出发，推出的取值范围．
【例题1】 求下列函数的值域： （）； ，； ．
[解析] 因为，解得， 所以即，故函数的值域是． 因为，所以函数的值域是． 因为，解得，所以函数的值域是．
[处理建议] 学生口答，通过自变量的取值范围直接求出的取值范围形成这类函数求值域的方法——直接观察法．
方法二：配方法
[教师引导] 适用于与二次函数有关的函数．
【例题2】 已知函数，分别求它在下列区间上的值域：
； ； ； ．
[解析] ， 因为所以，故函数的值域是． 因为时，图象在对称轴右边，图象递增． 所以，；，． 故在上，函数的值域为． 因为时，图象在对称轴左边，图象递减． 所以，；，． 故在上，函数的值域为． 因为时，图象含抛物线顶点，所以， 而当，；，，所以， 故在上，函数的值域为．
[处理建议] 师生共同完成，教师板书一道例题的过程，形成二次函数值域的基本方法．不能单一地把区间端点代入，应该配方、画图，这样既直观又不易出错．
【变式】 求函数的值域．
[分析] 本题只需将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求．
[解析] 由，可知函数的定义域为， 此时， 所以，函数的值域是．
方法归纳 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域．
方法三：单调性法
[教师引导] 求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
【例题3】 求函数的值域； 求函数的值域； 求函数的值域．
[解析] 函数的定义域为，显然函数在其定义域上是单调递增的，所以当时，函数有最小值，故函数的值域为．
此题可以看作和，的复合函数，显然函数为单调递增函数，易验证亦是单调递增函数， 故函数也是单调递增函数． 而此函数的定义域为． 当时，取得最小值．当时，取得最大值．故而原函数的值域为．
，，所以，都是增函数， 故是减函数，因此当时，，又因为，所以函数的值域为．
[处理建议] 师生共同完成．
[教师引导] 对于形如（、、、为常数，）或者形如使用不等式法求值域较困难的函数，我们可以考虑使用单调性法求解．
【问题3】 对于形如是不是都可以利用函数的单调性来研究值域呢？你能举例吗？
[学生活动] 学生分小组合作讨论研究此类函数．
方法四：换元法
[教师引导] 运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如，、、、为常数，且的函数常用此法求解．
【例题4】 求函数的值域； 求函数的值域； 已知函数的值域为，求函数的值域．
[解析] 设，则，，代入得：， 得， 因为，所以， 故函数的值域为．
令（），则， 所以（） 又因为当即时，，无最小值． 所以函数的值域为．
令，则， 所以， 由得：， 即，所以．所以所求值域为．
方法归纳 换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域． 求函数值域要先求定义域．
▍课堂反馈
1． 求的值域．
[解析] 因为，所以，故函数的值域是．
2． 求函数，的值域．
[解析] 由二次函数的图象得该函数的值域为．
3． 求函数的值域．
[解析] 易知定义域为，而在上均为增函数， 所以
4． 求的值域．
[解析] 令，则且，．
▍课堂总结
【问题4】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 对一次函数、二次函数、反比例函数的图象要熟悉； 有些函数的图象虽不能直接作出，但可以通过换元化为关于新元的一次函数、二次函数或者反比例函数，根据定义域在图象上截段分析，得其值域； 求函数值域与最值方法： ① 直接观察法； ② 二次函数配方法； ③ 单调性法； ④ 换元法 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、特殊到一般、类比……第5章 函数概念与性质
5.3 函数的单调性（第4课时）
▍教学目标
会求某些简单函数的值域，利用图象法求某些能够通过换元化成一次函数、二次函数或者反比例函数的值域．
通过归纳总结，让学生熟练地掌握几种求函数的值域方法，并能够在具体的题目中选择恰当的方法求解．
理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能借助图象求函数的最大（小）值．
会求分段函数、分式函数的最值以及含参函数的最值（分类讨论）．
数学抽象：函数的最大值、最小值概念的抽象． 直观想象：掌握换元法及数形结合的思想指的是让学生通过一些具体问题的操作体会数学思想和数学方法的重要性及实用性． 数学运算：求含参数函数的最值及参数取值范围．
▍复习回顾
[教师引导] 上节课，我们学习了求函数的值域与最值，请你谈谈对值域与最值相关知识点的理解．
值域的定义：我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域．
最值的定义： 一般地，设函数的定义域为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为．
求函数值域或最值的方法： (1)直接观察法；　(2)二次函数配方法；　(3)单调性法；　(4)换元法．
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：分段函数、绝对值函数
【例题1】 求函数的值域； 求函数的值域．
[解析] 作图象如图所示： ，， ，． 函数的最大值、最小值分别为和， 即函数的值域为．
将函数化为分段函数形式： 画出它的图象（如图）， 由图象可知，函数的值域是．
【变式1】 若函数变为时，值域是什么呢？
[处理建议] 学生独立完成．
方法归纳 图象法求值域： 对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．
题型二：求以分式为背景的函数的值域
【例题2】 求函数的值域； 将上述题目改为求解在上的值域呢？
[解析] ， 因为，则， 故函数的值域为．
化简， 函数在上为减函数，此时．
【例题3】 求下列函数在上的值域：
； ；
求在上的最大值和最小值．
[解析] 令，，即． 原式转化为， 由对勾函数的图象知，值域为．
同上，令，， 由图可知函数在区间， 所以，函数的值域为．
法一：令，，原式转化为， ∵，∴， 故，． 法二：在 上， 所以，得， 故，．
【例题4】 求函数的值域．
[解析] 法一：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，（定义域优先原则） 对函数进行变形可得，，（特殊情况优先原则） 所以（，）， ，， 故函数的值域为． 法二： 令，，， 由函数的图象得函数的值域为．
【例题5】 求函数的值域．
[解析] 方法一：转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得． 方法二：由题意得，此式可看成是关于的方程在上有解， 故得， 整理可得在上有解， 时，； 时，，得； 综上所述：函数值域为．
方法归纳 求分式函数的值域的方法： 分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数的图象确定其值域． 基本不等式法：分式形式，分子和分母一个是一次函数，一个是二次函数．解题时，将一次函数还原成（注意范围），再借助基本不等式或图象来求值域和最值． 反解法：函数式中含有可以确定范围的代数式，用表示，利用自变量的范围或与之有关的式子的范围，进而解得的范围． 判别式法：判别式法一般用于分式函数，其定义域应为，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式． 求函数值域的方法： (1)直接观察法； (2)配方法； (3)单调性法； (4)换元法； (5)图象法； (6)分离常数法； (7)基本不等式法； (8)反解法； (9)判别式法．
题型三：求含参数的函数的值域或最值
【例题6】 求，的最小值．
[解析] ，其图象是开口向上， 对称轴为的抛物线． 若，则在上是增函数， 所以，； 若，则； 若，则在上是减函数，所以的最小值不存在．
【变式2】 改为求函数在，的最大值？
[解析] ，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 当时，； 当时．
【变式3】 改为求函数在的最值？
[学生活动] 分四种情况讨论．（学生分小组讨论研究）
【变式4】 开口向下又如何研究呢？
方法归纳 求含参数函数的最值的思路： 开口向上求最小值分三种情况的讨论：对称轴在区间左、中、右的讨论． 开口向上求最大值分两种情况的讨论：对称轴在区间中点的左边和区间中点右边． 开口向上求最值结合上面分四种情况讨论．
题型四：已知函数的值域或最值求参数的值或范围
【例题7】 已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围为________； 设函数的值域为求，．
[解析] ，对称轴，故． 又，由对称性知，∴．
化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系列方程组求解． ， ∵， 解集为，解得，．
▍课堂反馈
1． 求函数的值域．
[解析] ∵ ∴的图象如图所示， 由图象知，函数的值域为．
2． 求函数的值域？若是求的值域呢？
[解析] 方法一：转化成分子为一次、分母二次的函数的值域，得． 方法二：由题意得，此式可看成是关于的方程在上有解， 故得， 整理可得在上有解． ①时，； ②时，，得． 综上所述：． 当有范围时只能考虑方法一：，， 转化为分子为一次分母为二次的　函数的值域为．
3． 已知二次函数在上有最大值，求实数的值．
[解析] 分，，三种情况讨论．
4． 已知函数的值域为，求实数，的值．
[解析] 化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解． 变形得，的解集为解得，．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 一元二次函数的值域问题无论有没有范围都要进行画图去看，在出现根式的题目中需要进行换元，将函数转换为有范围的一元二次函数的值域问题． 分子分母同为一次函数形式的函数的值域问题中当没有特别的条件限制时，值域为当有特定的范围时需要进行画图分析单调性，求解值域． 分子为二次分母为一次形式的函数的值域问题，可以通过换元将函数转化为对勾函数或双增函数求解值域；分子为一次分母为二次的形式的函数的值域，可以进行换元（换分子）或转化为分子为二次分母为一次的函数的值域问题，注意补零． 分子分母同为二次形式的函数的值域问题有两种求解方法：分离转化为分子为一次分母为二次的函数的值域问题；当定义域为时，可采取判别式法进行求解．

展开更多......

收起↑