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第5章 函数概念与性质
5.4 函数的奇偶性（第1课时）
▍教学目标
理解函数的奇偶性及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
学会判断函数的奇偶性．
数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性． 逻辑推理：证明函数奇偶性． 直观想象：利用函数图象来研究函数性质．
▍情境设置
【问题1】 在大自然和我们的日常生活中存在着许多对称的现象：美丽的蝴蝶，北京天坛，中国的古代太极图，精美的剪纸． 你能说出它们分别属于哪种对称吗？ 数学源自生活，你能举一些数学中的对称现象吗？
[学生活动] 第一、第二幅图形是轴对称图形，第三第四幅图形是中心对称图形． 一些平面图形，如：圆，正方形，等腰三角形等．
【问题2】 你能说出轴对称图形在初中是如何定义的吗？中心对称图形呢？ 数学中，哪些函数的图象具有对称性？
[学生活动] 初中的轴对称定义是：将图形沿对称轴翻折后，两侧完全重合； 中心对称图形的定义是：将图形按对称中心旋转180度后，完全重合．
[教师引导] 初中对对称的定义主要是从整体宏观上界定，若从微观上点的特点来看，本质应是：图形上任意一点关于对称轴（中心）的对称点仍在该几何图形上．
[学生活动] 初中，数学中函数，的图象分别关于轴成轴对称和原点成中心对称．
▍概念的探究与建构
【问题3】 你能判断函数图象的对称性吗？
[学生活动] 不能．
[教师引导] 我们只能通过翻折和旋转的方法来判断一个图形是否具有对称性．这种方法的缺陷是必须预先知道函数的图象．有时即使知道函数的图象，我们也难以通过翻折和旋转后判断出每个点能够保证“严丝合缝”． 因此，我们还需要挣脱“形”的束缚，迫切需要从代数的角度来探究函数对称性的判断方法．
【问题4】 请画出函数的图象，并将下表补充完整： 自变量……函数值
从形上看，图形具有怎样的特征？ 从数上来看，观察表格，你发现了什么？
[学生活动] 数量，，……
[教师引导] 对于任意的自变量，又有怎样的代数关系呢？ 观察的图象和表格，你发现什么？
[学生活动] 从图形上看：函数图象关于轴对称；从数量上看：对于任意的自变量，都有．
【问题5】 用怎样的数量关系刻画函数的图象关于轴对称这一特征呢？
[学生活动] ．
[教师引导] 如何予以代数证明呢？（师生共同完成） 证明：设点是函数图象上任意一点，
则点关于轴的对称点为， 又函数的图象关于轴对称，则在函数的图象上， 所以，且，则． 所以，函数的图象关于轴对称
[教师引导] 反之也成立吗？
形成知识 函数的图象关于轴对称，我们把在定义域内任意的自变量满足的函数称为偶函数．
【问题6】 你能用数学符号语言给偶函数下一个定义吗？
[学生活动] 学生表达，师生共同完善补充．
形成知识 一般地，设函数的定义域为．如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是偶函数．
【思考】 判定下列函数是否为偶函数：
[学生活动] 通过具体问题的解决，进一步加深对概念定义的理解．
【问题7】 偶函数的定义域有何特点？ （如果一个函数是偶函数，那么它的定义域有什么特点？） 偶函数的图象特征是什么？ 式子的本质内涵是什么？
[教师引导] 类比偶函数定义得到的过程．
形成知识 函数是偶函数，则： 定义域特点：关于原点对称； 代数本质：定义域内，等式恒成立； 几何特征：图象关于轴对称． 偶函数定义域特点关于原点对称代数本质几何特征图象关于轴对称
[学生活动] 类比方法，自主探究．
【问题8】 如何用数量关系来刻画函数图象关于原点对称？ 以函数为例，分组合作探究． 自变量…函数值
通过取点，你发现横坐标取相反数时，纵坐标什么关系？ 函数图象关于原点对称，表达式满足的关系是什么？ 函数图象关于原点对称，表达式满足的关系是什么？
[学生活动] 当自变量取一对相反数时，对应的函数值互为相反数； 对函数定义域内任意的，有； 同上．
形成知识 一般地，设函数的定义域为．如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是奇函数．
【问题9】 奇函数的定义域特点？ 奇函数的图象特征？ 奇函数定义表达式的代数本质是什么？
形成知识 奇函数的定义域关于原点对称； 奇函数其图象关于原点对称定义域内任意的，有．
[教师引导] 判断函数的图象是否具有怎样的对称性？ 在函数图象上图象关于轴对称．
▍知识的运用与升华
【例题】 判断下列函数是否为偶函数或奇函数．
； ； ；
；
【解析】 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，所以，函数为奇函数． 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，所以，函数为偶函数． 因为函数的定义域为，不关于原点对称． 所以，函数，既不是奇函数，也不是偶函数． 即非奇非偶函数． 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，，即，且， 所以，函数为非奇非偶函数． 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，且， 所以，函数既是奇函数，也是偶函数．
[处理建议] 师生共同完成，教师板书一道例题的过程，形成判断函数奇偶性的一般步骤．通过本例题，按奇偶性完成对函数的分类．
方法归纳 判断函数奇偶性的一般步骤： 一看：看定义域→是否关于“”对称； 二找：找关系→与； 三判断：下结论→奇偶性． 函数的分类（按照奇偶性）：偶函数、奇函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．
▍课堂反馈
对于定义在上的函数，下列判断是否正确？ 若是偶函数，则； 若，则是偶函数； 若，则不是偶函数．
[答案] 对 错 对
判断下列函数的奇偶性：
； ； ．
[答案] 为偶函数； 既是奇函数又是偶函数； 是非奇非偶函数．
▍课堂总结
【问题10】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 奇函数定义域内任意的变量恒有图象关于轴对称； 偶函数定义域内任意的变量恒有图象关于原点对称． 判断函数奇偶性的方法：①图象法；②定义法． 定义法判断奇偶性的一般步骤：一看、二求、三判断． 思想与方法层面：研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、特殊到一般、类比……第5章 函数概念与性质
5.4 函数的奇偶性（第2课时）
▍教学目标
进一步理解函数奇偶性的判定及其应用．
会利用函数的奇偶性求函数的解析式．
能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
逻辑推理：证明函数奇偶性，求函数的解析式． 数学运算：运用函数奇偶性求参数． 数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题．
▍复习回顾
[教师引导] 函数奇偶性的定义： 偶函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是偶函数． 奇函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意的，都有，那么称函数是奇函数．
对奇偶性的理解： 奇函数定义域内任意的变量恒有图象关于轴对称； 偶函数定义域内任意的变量恒有图象关于原点对称．
判断函数奇偶性的方法：
图象法； 定义法．
定义法判断奇偶性的一般步骤：一看、二求、三判断．
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式：上节课，我们学习了函数的一个重要性质—奇偶性，请你谈谈对奇偶性相关知识点的理解．
让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：判断下列函数的奇偶性
【例题1】 判断下列函数的奇偶性：
； ； ．
[解析] 因为函数的定义域为．因为对于任意的，都有， 又， 所以函数是偶函数． 由，解得或，所以函数的定义域为，它不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数． 由解得定义域为， 化简函数解析式得． 因为对于任意的，都有， 又． 所以是奇函数，即函数是奇函数．
方法归纳 判断函数奇偶性的方法有两种： 定义法（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤）： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定与的关系（必要时还需对解析式进行变形与化简）； 作出相应结论：若或，则是偶函数； 若或，则是奇函数． 图象法：图象关于原点对称，则函数为奇函数； 图象关于轴对称，则函数为偶函数． 判断一个函数的奇偶性，首先要考察它的定义域是否满足“任意和都在函数的定义域内”，即是否关于原点对称，如果对称然后再考察与的关系；否则函数既不是奇函数，也不是偶函数．若函数的解析式能化简，要考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）．
题型二：利用函数的奇偶性求解析式
【例题2】 若函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式．
[分析] 本题只需要求出当时，的表达式即可，可通过设，，再代入已知表达式，化简求解．
[解析] 当时，，， 因为函数是奇函数，所以， 所以时，，故
【变式1】 在本例条件下，求的值．
[解析] 因为函数是定义在上的奇函数，所以．
【变式2】 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当时，函数的解析式．
[解析] 当时，，， 因为函数是偶函数，所以， 所以，即时，．
方法归纳 利用奇偶性求函数解析式的思路： “求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间内． 利用已知区间的解析式代入． 利用的奇偶性写出或，从而解出．
题型三：函数的奇偶性与单调性的综合问题
角度一：比较大小问题
【例题3】 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（　　）
[解析] 因为函数为上的偶函数， 所以，． 又当时，是增函数，且， 所以，故．
[答案] A
角度二：解不等式
【例题4】 已知定义在上的函数． 试判断的奇偶性及在上的单调性； 解不等式．
[分析] 采用定义法证明函数的奇偶性，其一般步骤为：一看（看定义域→是否关于“”对称），二找（找关系→与），三判断（下结论→奇偶性）；函数的单调性的证明也是定义法证明，其一般步骤为：设元、作差、变形、定号和判定．
[解析] 因为，所以任取，则， 所以． 故为奇函数． 任取且， 所以． 因为，且分母，， 所以，故在上为增函数． 因为定义在上的奇函数是增函数， 由，得． 所以有即解得． 故不等式的解集为．
方法归纳 奇偶性与单调性综合问题的两种类型： 比较大小： 自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 解不等式： 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式（组）求解．
▍课堂反馈
设，，若是函数的单调递增区间，则一定是的单调递减区间的是（ ）
[解析] 因为， 所以是偶函数，因而在上一定单调递减．
[答案] B
已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ）
[解析] 因为偶函数在区间上单调递减，且满足，所以不等式等价为，即，所以，计算得出，故的取值范围是．
[答案] A
设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式．
[解析] 因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 由．① 用代替得， 所以，② ，得；，得；，得．
已知函数是定义域为的偶函数，且当时，． 求出函数在上的解析式； 画出函数的图象； 根据图象，写出函数的单调递减区间及值域．
[解析] 因为函数是定义域为的偶函数，所以． 当时，，所以． 综上， 函数的图象如图所示： 由(2)中图象可知，的单调递减区间为，， 函数的值域为．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．

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