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第5章 函数概念与性质
小结与复习（第1课时）
▍教学目标
掌握函数的概念．
了解分段函数，会画分段函数的图象．
理解函数性质并且熟练运用．
数学抽象：函数的概念． 逻辑推理：函数的性质． 数学运算：求定义域、值域、函数解析式等．
▍典例精讲
题型一：函数的三要素
【例题1】 函数的定义域为（ ）
[解析] 由题意知：解得且，即的定义域为．
[答案] D
【例题2】 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
[解析] 由函数的定义域是，则，，即的定义域为，再令，解得，即的定义域为．
[答案] C
方法归纳 求函数定义域的类型与方法： 已给出函数的解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； 抽象复合函数问题： 已知的定义域为，则的定义域由解出； 已知的定义域为，则求的定义域为在上的值域．
【例题3】 求下列函数的值域：
； ； ．
[解析] （借助反比例函数的特征求解） ． 因为，所以，所以函数的值域为． 因为， 又，当时，， 所以该函数的值域为． （换元法求函数值域） 令（），则，（），由二次函数的单调性可知，所以该函数的值域为．
方法归纳 求函数值域的常用方法： 分离常数法：利用反比例函数的特征求解； 配方法：二次函数值域最基本的方法； 换元法：新元的范围是关键； 单调性法．
【例题4】 已知，则________； 已知二次函数满足，，，则该二次函数的解析式为________； 若，则的解析式为________________．
[解析] 令（），则，因为， 所以，即． 设二次函数的解析式为， 由题意可知解得故． 令（），则， 原式转化为 ① 以代替，①式变为 ② 由①②消去得到，故．
方法归纳 求函数解析式的常用方法：待定系数法，换元法，解方程组法．
题型二：分段函数
【例题5】 已知函数 求的定义域、值域； 求； 解不等式．
[分析] 分段函数是指在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数的定义域和值域分别是各段函数定义域和值域的并集．分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数，处理方法是分段考虑或应用数形结合思想．
[解析] 的定义域为； 易知在上是增函数，所以；在上是减函数，所以．综上，该函数值域为． ，． 等价于： ①或②或③ 解①得，解②得，解③得， 所以的解集为．
【变式1】 已知函数则_______，的最小值为_______． 设，若，则_______．
[解析] ；当时，； 当时，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为．
当时，是增函数，若，， 所以，．由得，解得，则．
方法归纳 分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式．主要考查与分段函数有关的求值，求参数，判断单调性，奇偶性和解不等式等问题． 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值． 已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应的自变量的值，切记要检验．
题型三：函数图象的识别与应用
【例题6】 已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ）
[解析] 因为且，所以，，，则可知开口向上，排除A、C，然后根据，可知函数图象与轴的交点在轴下方．
[答案] D
【例题7】 对于函数． 判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
[解析] 函数的定义域为，关于原点对称，． 则，所以是偶函数．图象关于轴对称． 画出图象如图所示，根据图象知，函数的最小值是． 单调递增区间是，；单调递减区间是，．
方法归纳 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性．一方面，利用函数图象能直接判断函数的单调性、奇偶性等性质，还可以比较大小，求最值等．另一方面，由函数的性质也可以准确地画出函数图象．这类问题主要通过数形结合的思想方法，建立形与数的联系，利用图象描述性质，借助几何直观理解代数问题，运用空间想象认识函数，集中体现了直观想象的数学核心素养．
题型四：函数单调性、奇偶性的综合应用应用
【例题8】 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）
或
[解析] 因为是偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，由，得，所以，得或，故选D．
【例题9】 已知函数是奇函数，且． 求实数和的值； 求函数在上的最值．
[解析] 因为是奇函数，所以，，比较得，， 又因为，所以，解得． 因此，实数和的值分别为和． 由(1)知，任取，且，则， 因为，所以，，， 所以，即，所以函数在上为增函数，所以，．
【变式2】 已知．若且在内单调递减，求的取值范围．
[解析] ，则． 因为，，所以要使，只需恒成立，所以．综上所述，的取值范围是．
【变式3】 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
[教师引导] 如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的 要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件
[解析] 由时，是减函数，得； 由时，函数是减函数，得； 分段点处的值应满足，解得． 综上：．
[答案] B
方法归纳 在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出的限制条件．
▍课堂反馈
函数在上为奇函数，当时，，则的解析式为________． 已知，则的解析式为________．
[答案] 设，则，∴， ∵是奇函数，∴，即，∴． ∵是奇函数，∴，∴ 令，则，把代入， 得， 所以所求函数的解析式为，．
若函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，并且，求实数的取值范围．
[答案] 由已知条件知，在上是减函数， 而，， 所以，解得．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性方面解决．函数的单调性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛．而奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围，使求解的问题避免进行复杂的讨论．第5章 函数概念与性质
小结与复习（第2课时）
▍教学目标
理解和掌握求解不等式恒成立问题的常用方法．
通过不等式恒成立问题的求解，进一步理解和掌握化归与转化、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．
数学运算：运用函数、不等式性质求最值或取值范围． 数学建模：在问题转化过程中，能建立函数模型，运用数形结合思想解决问题．
▍复习回顾
[教师引导] 不等式恒成立问题的基本类型 类型1：一次函数、二次函数型 对于一次函数，，有： 恒成立 恒成立 对于二次函数， 对任意恒成立且； 对任意恒成立且． 对于二次函数， 当时， 在上恒成立 或或 在上恒成立 当时， 在上恒成立； 上恒成立 或或 类型2：恒成立转化为函数最值 在上恒成立； 在上恒成立． （注：若在上的最值不存在，要注意等号的取舍） 类型3：给定区间上的两个函数大小恒成立问题 在上恒成立 的图象在的图象的上方．
不等式恒成立问题的常见解法： 主参换位法； 函数性质法； 参数分离法； 数形结合法．
▍典例精讲
题型一：一次函数恒成立问题
【例题1】 若不等式对一切都成立，求实数的取值范围．
[解析] 令，则对一切都成立，所以解得．
方法归纳 通过主参换位，转换思路，利用一次函数的保号性解题．
题型二：二次函数恒成立问题
【例题2】 已知函数， 若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围； 若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
[分析] 当变量是整个实数集时，恒成立问题适用判别式法，当变量的范围是区间，也可以选用一元二次方程根的判别式，但计算相对繁琐，常用函数性质法或分离参数法．要特别注意关键点上的取值情况，看能否取到．
[解析] 若对于任意的，恒成立， 需满足，解得． 故实数的取值范围是． 由题知对称轴方程为， 当，即时，，解得，与已知矛盾，舍去； 当，即时，，解得； 当时，，解得． 综上，实数的取值范围是．
【变式1】 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
[解析] 方法一：利用函数图象性质，得所以． 方法二：不等式可化为对任意恒成立，所以．
方法归纳 关于二次不等式的恒成立问题，定义域不一样，选择的方法也不同．要特别关注二次函数性质在解题中的应用，比如二次函数最值讨论、二次函数的局部保号性． 参数分离法是解决不等式恒成立问题的一个重要方法，将目标变量分离成或者的形式，然后通过求的最小值或者最大值来确定的取值范围．
题型三：数形结合，通过函数图象直观化
【例题3】 已知函数，，试确定的取值范围，使得当时，，求实数的取值范围．
[分析] 画出函数和的图象，可以发现在上只要比较两个函数最值的大小．
[解析] 函数的图象在上单调增，在上单调减，在上有最大值，函数的图象在上单调减，在上单调增，在上有最小值，两个函数在同一点取到最值，故当时，，只需，所以，即．
【变式2】 若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
[解析] 由函数和函数图象及一次函数的性质，可知．
方法归纳 数形结合是解决不等式恒成立问题的常用方法．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图象的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式恒成立问题，关键是构造函数，准确做出函数的图象．
▍课堂反馈
若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（　　）
[解析] 由，得， 设，则，设，则在上恒大于，则必有解得 所以．
[答案] B
对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
[解析] 当即时，，符合题意； 当即时，解得， 综上可得实数的取值范围是．
[答案] A
已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．
[解析] 由，原不等式可化为（）， 而，所以．
已知函数，在恒有，求实数的取值范围．
[解析] 令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线， 当图象与轴无交点，即，解得． 当图象与轴有交点，则由二次函数根与系数的分布及图象可得： 解得， 综上，实数的取值范围是．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 教师引导学生再次回顾不等式恒成立问题的常见题型和常用解题思路，学生间交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受．

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