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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
▍教学目标
理解幂函数的概念，会画幂函数，，，，的图象．
结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小．
通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，进一步体会数形结合的思想．
数学抽象：幂函数的概念． 逻辑推理：由五个特殊幂函数的图象归纳幂函数的图象与性质． 数学运算：求幂函数的解析式及比较大小．
▍情境设置
【问题1】 ，，，这一类是什么函数？
[学生活动] 老师直接提问学生，由全体学生共同回答．
【问题2】 指数函数的一般形式是什么？
[学生活动] （，）
【问题3】 对于， ， ， ， ，，是不是指数函数？从结构上来看有什么特征？
[学生活动] 得出结论：在底数上，指数为常数，（的一次幂），（的二次幂），（的三次幂），（的次幂）．
▍概念的探究与建构
【问题4】 函数的形式都是的多少次幂的形式，是什么函数？
形成知识 一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．幂函数的表达式中前面的系数为，为常数．
【问题5】 下列函数是幂函数的是：
幂函数与指数函数有什么联系和区别？
[学生活动] 自主探究完成(1)(2)．
[教师引导] 函数表达式名称指数函数：底数指数幂值幂函数：指数底数幂值
方法归纳 判断一个函数是幂函数还是指数函数：自变量是指数即为指数函数，自变量是底数即为幂函数．
[学生活动] 在同一平面直角坐标系内函数，，，，的图象． 总结五个幂函数的性质： 定义域RRR值域RR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在上增， 在上减增增在上减， 在上减
形成知识 一般幂函数特征： 所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； 当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； 当时，幂函数的图象在区间上是减函数； 幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称； 在第一象限，作直线（），它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
▍知识的运用与升华
【例题1】 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
； ； ．
[解析] 函数的定义域为，因为对于任意的，，都有，所以有奇函数的定义知，函数为奇函数． 函数即，其定义域是，不关于原点对称． 所以，函数既不是奇函数，也不是偶函数． 即非奇非偶函数． 由函数即可知， 所以此函数的定义域是， 关于原点对称，又， 所以，函数是偶函数．
[处理建议] 师生共同完成，教师板书一道例题的过程．
方法归纳 研究（，为互质的整数）的定义域，一般将它改写为根式后，再求出它的定义域． 确定函数的奇偶性：若指数为整数，可直接判断；若为分数，先把它改写成根式，一看定义域，二看与的关系．
【例题2】 试比较下列各组数的大小：
，； ，，；
[解析] 因为函数在区间上是增函数，又，所以． 因为函数在区间上是增函数，又，所以．
方法归纳： 熟练地利用函数的单调性比较两个实数的大小关系．当比较的数多于两个时，一般采用从整体到局部的思维方法：先与比较，分出正数与负数（如果都是正数，再与比较；如果都是负数，再与比较），最后转化为只有两个数的大小比较问题．重要的是寻求它们与中间数的大小比较．一般比较大小有四种方法：①作差比较法；②作商比较法；③中间值法；④利用函数的单调性比较大小．
【例题3】 已知幂函数的图象经过点，求这个函数的解析式．
[解析] 设因为幂函数的图象经过点， 所以，所以．
▍课堂反馈
分别指出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
； ； ； ．
已知幂函数的图象经过点，求这个函数的解析式．
画出函数的图象，并指出其单调区间．
试比较下列各组数中两个数的大小：
，； ，；
，； ，．
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图： 知识与技能层面： 一般幂函数特征： 所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； 当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； 当时，幂函数的图象在区间上是减函数； 比较大小的常见方法： ①作差比较法；②作商比较法；③中间值法；④利用函数的单调性比较大小． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、特殊到一般、类比……

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