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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.2 指数函数
▍教学目标
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力．
通过观察，分析、讨论、归纳指数函数的概念和性质，体会从具体到一般的认知规律和数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力．
体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系，增强学生对实际生活问题“数学化”的处理能力．
数学抽象：用数学语言表示指数函数． 逻辑推理：利用指数函数比大小． 数学运算：求指数函数解析式以及利用指数函数比大小．
▍情境设置
【问题1】 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10分钟，那么，由最初的第1个细胞开始，10分钟后，20分钟后，一个小时后，分别有多少个细胞？根据这个实例，把现实问题“数字化”．
[学生活动] ，，
【问题2】 如果细胞分裂的次数用表示，细胞个数用表示，它们有什么关系？
[学生活动] （）．
[教师引导] 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变．经过年（的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．经过科学测定，若的原始含量为，则经过年后的残留量为．
【问题3】 庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”（“捶”同“棰”）．设经过的天数为（天），木棰剩余的长度为（尺），它们有什么关系？
[学生活动]
▍概念的建构与探究
[教师引导] 我们把这三个关系式抽离实际背景：，，．
【问题4】 它们的关系能否构成函数？为什么？ 请观察这三个函数，这些函数你熟悉吗？它们的函数解析式有什么共同特征？ 你能抽象、概括出此类函数一般的“模型”吗？
[学生活动] 能构成函数． 归纳概括得出一般的模型：．
[教师引导] 是自变量，是因变量，描述了这两个变量之间的函数关系，底数是个常数．类似于上节课研究指数与指数幂的运算，为使这个函数适用范围更广，希望把函数的定义域扩展为实数集，那么对底数的取值有什么要求呢？
【问题5】 函数中对底数的取值有什么要求吗？
[学生活动] 且
[教师引导] 为什么呢？（师生共同完成） 若会有什么问题？（如则在实数范围内相应的函数值不存在情况比较复杂） 若会有什么问题？（对于，都无意义） 若又会怎么样？（无论取何值，它总是，对它没有研究的必要）
形成知识 一般地，函数（，）叫作指数函数，它的定义域是． 底数：是大于且不等于的常数； 指数：自变量； 系数：前的系数必须是．
[教师引导] 回顾研究基本初等函数性质的基本方法和步骤： 先给出函数的定义→作出函数图象→研究函数性质→性质运用解决问题
【思考1】 我们学过函数的哪些性质？
[学生活动] 定义域，值域，单调性，奇偶性，其他特性．
[教师引导] 对于新学的指数函数，也要研究这些函数性质，那这个函数有什么性质呢？你打算如何探究归纳出它的性质？
【问题6】 怎样画的函数图象？
[学生活动] 通过函数图象研究，可先画几个具体的指数函数的图象，如和等，再归纳出一般的指数函数性质．
[教师引导] 图象法，数形结合研究指数函数性质，这是一个方法，还可以通过函数解析式（代数方法）说明这个函数的特点性质．
请每个小组在不同的坐标系内画出下列指数函数图象．
； ．
[学生活动] 学生自己用列表、描点、连线画出具体的指数函数图象．
用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象． 24
再研究，的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象． 24
【思考2】 猜想指数函数可能有哪些性质？
[教师引导] 并利用设备展示学生画的图象，教师学生互动并点评． 为了更好地研究一般的指数函数图象性质我们多研究些具体的指数函数图象：；；；；； 教师利用几何画板使六个图象在同一坐标系内，给学生提出研究步骤，让学生充分思考并在小组内讨论归纳性质．
【问题7】 这六个特殊的指数函数图象有什么共同点和不同点？ 由它们的图象特点你会怎样对它们进行分类？ 当底数变为（且）时，一般的指数函数图象有什么共同点？能归纳出指数函数的哪些性质？
[学生活动] 共同点是：定义域为、值域为、过定点，即时； 不同点是：，．这三个函数图象在上单调递增；另外三个图象在上单调递减． 一般将指数函数按底数分为和进行分类．
【问题8】 设计一个表格，整理指数函数的图象特征与函数性质．
形成知识 图象特征函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为函数图象都过定点自左向右， 图象逐渐上升自左向右， 图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内图 象纵坐标都大于在第一象限内的图 象纵坐标都小于，，在第二象限内图 象纵坐标都小于在第二象限内图 象纵坐标都大于，，
▍知识的运用与升华
【例题1】 已知指数函数（且）的图象经过点，求，，．
[解析] 设，将点代入，得到，即，解得，于是．
【例题2】 比较下列各题中两个值的大小：
，； ，； ，．
[解析] ，可以看作函数的两个函数值．由于底数，所以指数函数在上是增函数．因为，所以． ，可以看作函数的两个函数值．由于底数，所以指数函数在是减函数．因为，所以． ，不能看作同一个指数函数的两个函数值．我们可以首先在这两个数值中间找一个数值，将这一数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系．由指数函数的性质知，，所以．
方法归纳 判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合（，且） 这一结构形式，即的系数是，指数是且系数为． 当底数相同且明确底数与的大小关系时：直接用函数的单调性来解． 当底数不同可以转化成同底数或借助中间值，比较两个数的大小． 当底数相同但不明确底数与的大小关系时，要分情况讨论．
▍课堂总结
【问题9】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 数学知识点：指数函数的概念、图象和性质． 研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用．在研究函数性质及途径时，由具体到一般研究问题的方法 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合，分类讨论的数学思想．

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