资源简介

第30讲　统计
考点一　数据的收集
调查方式
项目 定义 适用条件
全面调查 (普查) 考察①　　　　对象的调查 调查的范围小,调查不具有破坏性,数据要求准确、全面
抽样 调查 抽取②　　　　对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况,这种方法称为抽样调查 调查对象涉及面大、范围广,普查的意义或价值不大,或受条件限制,无法进行普查或调查具有破坏性等
相关概念
总体 所要考察对象的③　　　　叫做总体
个体 组成总体的每一个考察对象叫做个体
样本 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本
样本容量 一个样本中包含的④　　　　叫做样本容量(不带单位)
简单随机抽样 能保证总体中的每个个体都有相等的机会被抽到的抽样方法
用样本估计总体 总体中某组的数量=总体数量×样本中该组所占的百分比
1.下列调查:①调查洗衣机的使用寿命;②调查神舟二十号载人飞船的零部件是否合格;③调查人们保护地球环境的意识;④调查全国初中生的视力情况;⑤调查你所在班级同学的身高.其中适合全面调查的是　　　　,适合抽样调查的是　　　　.(填序号)
2.为了解某校八年级500名学生期中数学考试情况,从中抽取了50名学生的数学成绩进行统计.下列结论:①这种调查方式是抽样调查;②500名学生是总体;③每名学生的数学成绩是个体;④50名学生是总体的一个样本;⑤50名学生是样本容量.其中正确的结论有　　　个.
考点二　数据的整理与描述
频数与频率
频数 数据分组后落在各小组内数据的个数
频率 每一组数据频数与数据总数的比值
常见的统计图表
扇形 统计图 (1)可以直观地反映部分占总体的百分比大小,一般不表示具体的数量. (2)各组百分比之和为1. (3)圆心角的度数=百分比×⑤　　　
条形 统计图 (1)能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化. (2)易于比较数据之间的差别. (3)各组频数之和=样本容量
折线 统计图 (1)可以清楚地反映数据的变化趋势. (2)各组频数之和=样本容量
频数 分布表 (1)能清楚地反映出数据在各小组内的频数分布情况. (2)各组频数之和=样本容量
频数 分布 直方图 特点: (1)能直观、清楚地反映出数据在各小组内的频数分布情况. (2)易于比较各组频数的差别. (3)各组频数之和=样本容量
绘制频数分布直方图的一般步骤: (1)计算最大值与最小值的差. (2)决定组距和组数(一般取5~12组). (3)确定分点,常使分点比数据多一位小数,并且把第一组的起点稍微减小一点. (4)列频数分布表. (5)用横轴表示各分段数据,用纵轴表示各分段数据的频数,小长方形的高表示频数,绘制频数分布直方图
3.已知数据:,,-,2π-1,0.其中无理数出现的频数是　　　　,无理数出现的频率为　　　　.
4.下列统计图能够显示数据变化趋势的是(　　)
A.折线统计图
B.频数分布直方图
C.条形统计图
D.扇形统计图
5.在一次有奖竞答的活动中,组织者对每位选手的答题情况进行统计,小强和小亮的答题情况如图1所示.
(1)小亮答对的题数为　　　.
(2)如图2,若用扇形统计图表示小亮答对题数、答错或不答题数的占比情况,则“答对”所在扇形的圆心角是　　　　°.
考点三　数据的分析
反映数据集中趋势的统计量
平 均 数 反映数据的平均水平,易受极端值的影响 算术 平均数 一组数据x1,x2,…,xn,它们的平均数=⑥　　　　　　　
加权 平均数 一般地,若n个数x1,x2,…,xn的权分别是ω1,ω2,…,ωn,则 叫做这n个数的加权平均数
中 位 数 反映数据的中等水平,不受极端数据的影响 将一组数据按照⑦　　　　(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于⑧　　　　位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的⑨　　　　为这组数据的中位数
众 数 反映数据的集中趋势 在一组数据中,出现次数⑩　　　　的数据叫做这组数据的众数,一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数
反映数据波动大小的统计量——方差
定义 设有n个数据x1,x2,…,xn,它们的平均数是,则它们的方差为s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
意义 方差越大,数据的波动越　　　　, 越不稳定;方差越小,数据的波动越　　　　, 越稳定
应用 在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性
数据变化对平均数、方差的影响
数据 平均数 方差
x1,x2,…,xn s2
x1+m,x2+m,…,xn+m +m s2
ax1,ax2,…,axn a a2s2
ax1+m,ax2+m,…,axn+m a+m a2s2
考点四　统计的一般过程
6.(1)小明参加“让青春在奋斗中闪光”主题演讲比赛,其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是9分,9分,8分.若将三项得分依次按1∶6∶3的比例确定最终成绩,则小明的最终比赛成绩为　　　
分.
(2)若a,b,c的平均数为16,则a+2,b+7,c+6的平均数为　　　　.
7.如图是某地6月上旬日平均气温统计图,这些气温数据的众数是　　　　,中位数是　　　　,平均数是　　　　.
8.甲、乙两位同学在近五次数学测试中,平均成绩均为90分,方差分别为=0.70,=1.73,则甲、乙两位同学中,成绩较稳定的是　　　　同学.
9.已知数据x1,x2,…,xn的平均数是2,方差是6,若一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是m,方差是n,则m-n=　　　　.
10.班委会决定组织一次娱乐活动,内容从讲笑话和唱歌中选择一项,决定是讲笑话还是唱歌,班委会决定进行民意调查,下列说法错误的是(　　)
A.调查的问题是:选择讲笑话还是唱歌
B.调查的范围是:全班同学
C.调查的方式是:查找资料
D.这次调查需要收集的数据是:全班同学选择讲笑话和唱歌的人数
025年6月,某中学组织七、八年级学生开展了防溺水知识竞赛(满分100分),现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(单位:分)进行统计、整理如下:
【收集数据】
七年级10名学生竞赛成绩:70,71,75,77,79,79,84,86,88,91.
八年级10名学生竞赛成绩:72,74,75,77,81,81,82,84,84,90.
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 a b 45.4
八年级 80 81 81,84 c
【解决问题】
根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a=　　　　,b=　　　　.
(2)求出c的值,并说明哪个年级学生的竞赛成绩更稳定.
(3)记学生竞赛成绩为x分,如果把x≥80的记为优秀,把70≤x<80的记为合格,学校规定两类成绩按6∶4计算.通过计算比较哪个年级得分较高
(1)根据中位数及众数的定义求解即可.
(2)根据方差公式及方差的意义求解即可.
(3)根据加权平均数公式求解即可.
命题点一　统计的一般过程
(2019·河北)某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类.以下是排乱的统计步骤:①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类;②去图书馆收集学生借阅图书的记录;③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比;④整理借阅图书记录并绘制频数分布表.正确统计步骤的顺序是(　　)
A.②→③→①→④ B.③→④→①→②
C.①→②→④→③ D.②→④→③→①
命题点二　分析统计图(表)
(2021·河北)小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色,并绘制了不完整的扇形图1及条形图2(柱的高度从高到低排列).条形图不小心被撕了一块,则图2中“(　　)”内应填的颜色是(　　)
A.蓝 B.粉 C.黄 D.红
(2024·河北样卷)某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
运动时间t/min 频数 频率
30≤t<60 4 0.1
60≤t<90 7 0.175
90≤t<120 a 0.35
120≤t<150 9 0.225
150≤t<180 6 b
合计 n 1
频数分布直方图
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)频数分布表中的a=　　　,b=　　　,n=　　　.
(2)请补全频数分布直方图.
(3)若该校九年级共有480名学生,试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数.
命题点三　
(2018·河北)为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势,在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗,获得苗高(单位:cm)的平均数与方差为=13,=15;=3.6,=6.3,则麦苗又高又整齐的是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
(2022·河北)五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10(单位:元),捐10元的同学后来又追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比,集中趋势相同的是(　　)
A.只有平均数 B.只有中位数
C.只有众数 D.中位数和众数
(2020·河北)如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是a元/千克,发现这四个单价的中位数恰好也是众数,则a=(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
(2024·河北)某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验,几天后观察并记录种子的发芽数分别为:89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为　　　　.
(2022·河北)某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员,对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试.各项满分均为10分,成绩高者被录用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图.
(1)分别求出甲、乙三项成绩之和,并指出会录用谁.
(2)若将甲、乙的三项测试成绩,按照扇形统计图(图2)各项所占之比,分别计算两人各自的综合成绩,并判断是否会改变(1)的录用结果.
(2023·河北)某公司为提高服务质量,对其某个部门开展了客户满意度问卷调查,客户满意度以分数呈现,满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档.公司规定:若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分,则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份,如图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
(1)求客户所评分数的中位数、平均数,并判断该部门是否需要整改.
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份,与之前的20份合在一起,重新计算后,发现客户所评分数的平均数大于3.55分,求监督人员抽取的问卷所评分数为几分.与(1)相比,中位数是否发生变化
(2025·河北)某工厂生产A,B,C,D四种产品.为提升产品的竞争力,该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程,降低成本;对其他种类的产品增加研发投入,提升品质.经研究,该工厂做出了甲、乙两种调整方案,这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响.下面是该工厂这四种产品的部分信息:
a.调整前,各产品年产量的不完整的条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).
b.各产品单件成本的核算情况统计表及说明.
类别 产品
A B C D
调整前单件 成本/(元/件) 18 26 20 36
调整后单 件成本/ (元/件) 方案甲 13 22 m 40
方案乙 16 n 18 32
说明:对于统计表中的数据,方案甲的平均数与调整前的相同,方案乙的中位数与调整前的相同.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求调整前A产品的年产量.
(2)直接写出m,n的值.
(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同,请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①全体　②一部分　③全体　④个体数目
⑤360°　⑥(x1+x2+…+xn)　⑦由小到大　⑧中间　⑨平均数　⑩最多　大　小
即时练
1.②⑤　①③④
2.2　解析:①这种调查方式是抽样调查,正确;②500名学生的数学成绩是总体,故原结论错误;③每名学生的数学成绩是个体,正确;④50名学生的数学成绩是总体的一个样本,故原结论错误;⑤50是样本容量,故原结论错误.所以正确的结论有①③,共2个.
3.2　0.4　解析:共有5个数,其中无理数有-,2π-1,共2个,所以无理数出现的频数是2,无理数出现的频率是2÷5=0.4.
4.A　
5.(1)12　(2)216　解析:(1)由题图1可知,小亮答对的题数为15+5-8=12.
(2)360°×=216°,∴“答对”所在扇形的圆心角是216°.
6.(1)8.7　解析:根据加权平均数的公式可得小明的最终比赛成绩为9×+9×+8×=8.7(分).
(2)21　解析:∵a,b,c的平均数为16,
∴=16,∴a+b+c=48,
∴=
=21,∴a+2,b+7,c+6的平均数为21.
7.24　24　24　解析:从小到大排列题图中的数据为22,22,23,24,24,24,24,25,26,26,数据24出现了四次,出现次数最多,为众数;24和24处在第5位和第6位,其平均数24为中位数;×(22+22+23+24+24+24+24+25+26+26)=24,所以这组数据的平均数是24.
8.甲　
9.4　解析:∵x1,x2,…,xn的平均数是2,∴x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是2+8=10,∴m=10.∵x1,x2,…,xn的方差是6,∴x1+8,x2+8,…,xn+8的方差是6,∴n=6,∴m-n=10-6=4.
10.C
重点难点·一题串讲
例:解:(1)79　79
(2)八年级10名学生竞赛成绩的方差c=×[(72-80)2+(74-80)2+(75-80)2+(77-80)2+2×(81-80)2+(82-80)2+2×(84-80)2+(90-80)2]=27.2,
∵27.2<45.4,
∴八年级学生的竞赛成绩更稳定.
(3)七年级得分为(84+86+88+91)×0.6+(70+71+75+77+79+79)×0.4=389.8,
八年级得分为(81+81+82+84+84+90)×0.6+(72+74+75+77)×0.4=420.4,
∵420.4>389.8,
∴八年级得分较高.
河北中考·考向体验
1.D
2.D　解析:被调查人数是5÷10%=50,∴最喜欢红色的人数是50×28%=14,∴50-16-5-14=15.∵柱的高度从高到低排列,∴条形图对应的人数依次是16,15,14,5,∴题图2中“(　)”内应填的颜色是红色.故选D.
3.解:(1)14　0.15　40
(2)补全频数分布直方图如图所示:
频数分布直方图
(3)480×=180.
答:估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数为180.
4.D　解析:∵,
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高,∵,∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐.综上所述,麦苗又高又整齐的是丁.故选D.
5.D　解析:根据题意知,追加前5个数据的中位数是5,众数是5,追加后5个数据的中位数是5,众数是5,∵追加后数据的平均数会变大,∴集中趋势相同的只有中位数和众数.故选D.
6.B　解析:当a=9时,中位数是8.5,众数是9,故选项A不符合题意;当a=8时,中位数是8,众数是8,故选项B符合题意;当a=7时,中位数是7.5,没有众数,故选项C不符合题意;当a=6时,中位数是7,众数是6,故选项D不符合题意.故选B.
7.89
8.解:(1)由题意得,甲三项成绩之和为9+5+9=23(分),
乙三项成绩之和为8+9+5=22(分),
∵23>22,
∴会录用甲.
(2)由题意得,甲的综合成绩为9×+5×+9×=3+2.5+1.5=7(分),
乙的综合成绩为8×+9×+5×+4.5+=8(分),∵7<8,∴会改变(1)的录用结果.
9.解:(1)由条形图可知,客户所评分数按从小到大排列,第10个数据是3分,第11个数据是4分,
∴中位数为3.5分,
由统计图可得平均数为=3.5(分),
∵客户所评分数的平均数和中位数都不低于3.5分,
∴该部门不需要整改.
(2)设监督人员抽取的问卷所评分数为x分,则有>3.55,
解得x>4.55,
∵满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档,
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分,
∵加入这个数据后,客户所评分数按从小到大排列,第11个数据不变还是4分,∴加入这个数据后,中位数是4分,
∴与(1)相比,中位数发生了变化,由3.5分变成4分.
10.解:(1)调整前四种产品的总年产量为40÷20%=200(万件),
C产品的年产量为200×15%=30(万件),
∴调整前A产品的年产量为200-(70+30+40)=60(万件).
(2)m=25,n=28.
解析:由题意知,
,
解得m=25.
∵调整前单件成本的中位数为
=23(元),∴=23,解得n=28.
(3)方案甲总成本为60×13+70×22+30×25+40×40=4 670(万元),
方案乙总成本为60×16+70×28+30×18+40×32=4 740(万元),
∵4 670<4 740,∴方案甲总成本较低.

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