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第31讲　概率
考点一　事件的分类
事件类型 定义 发生概率
确定 事件 必然事件 在一定条件下,必然会发生的事件 1
不可能事件 在一定条件下,必然不会发生的事件 0
不确定事件 随机事件 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件 大于0 小于1
1.(人教九上P128练习变式)下列事件:①打开手机就有未接电话;②实数的绝对值不小于0;③在标准大气压下,水在1 ℃时结冰.其中随机事件有　　　　,必然事件有　　　　,不可能事件有　　　　.(填序号)
考点二　概率的计算
定 义 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A)
计 算 公式法 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都①　　　　,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=②　　　　
列表法 当一次试验涉及两个因素,并且出现的结果数目较多时,通常采用列表法,不重不漏地列出所有等可能出现的结果,再计算概率
画树状 图法 当一次试验涉及三个或更多的因素,并且出现的结果数目较多时,通常采用画树状图法,不重不漏地列出所有等可能出现的结果,再计算概率
几何 概型 一般是根据几何图形的面积之比来求概率,P(A)=
用频率 估计 概率 为了求出一个事件的概率,可以通过多次重复试验,用所得的频率来估计该事件的概率
游戏的公平性:一般通过比较概率的大小来判断.在条件相同的前提下,若对于参加游戏的每一个人来说获胜的概率都相等,则游戏公平,否则不公平.
2.一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球.小明通过多次摸取小球的试验发现,摸取到红色小球的频率稳定在0.5左右,则盒子中约有　　　　个红色小球.
3.甲、乙同学在玩纸牌游戏,如图是他们手中所剩的纸牌,若两张纸牌的牌面数字相同,则可以组成一对.
甲　 　乙
(1)若甲从乙手中随机抽取一张,则恰好与手中纸牌组成一对的概率是　　　　.
(2)若甲从乙手中随机抽取一张之后不放回,继续随机抽取一张,则两次抽中的纸牌的牌面数字都为偶数的概率是　　　　.
如图是计算机“扫雷”游戏的画面,在9×9小方格的雷区中,随机地埋藏着10颗地雷,每个小方格最多能埋藏1颗地雷,点开的数字就代表与它相连的格子中地雷的个数(比如区域B内的数字2,它表示围着数字2的5个方格中埋藏着2颗地雷).奇奇和妙妙两兄妹轮流点击,点击三次后的结果如图所示.
(1)若妙妙在区域B内围着数字2的5个方格中任点一个,踩中地雷的概率是多少
(2)现在轮到妙妙点击,若她打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方格,从安全的角度考虑,她应该选择哪个区域 说明理由.
(3)在区域C的4个格子中,　　　　号格子中有地雷是一个必然事件.
(1)根据题意,围着数字2的5个方格中埋藏着2颗地雷,利用概率公式进行计算即可.
(2)求出点击区域A未踩中地雷的概率,以及点击区域B未踩中地雷的概率,判断即可.
(3)根据必然事件是一定条件下一定会发生的事件,进行判断即可.
命题点一　单纯概率的计算
(2023·河北)有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上,若从中随机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是(　　)
A.(黑桃) B.(红心) C.(梅花) D.(方块)
(2025·河北)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1,2,3中的一个数字),若向上一面出现数字1的概率为,出现数字2的概率为,则该木块不可能是(　　)
A　 B　 C　 D
(2022·河北)如图,某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签,她从1~8号中随机抽取一签,则抽到6号赛道的概率是　　　　.
(2021·河北)某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同.
(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率.
(2)补全图2的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.
(2024·河北)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式不同外,其余均相同.
(1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当a=1,b=-2时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
(2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率.
　　 第一次 第二次　　 a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a-b 2a
命题点二　统计与概率结合
(2018·河北)老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况,绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2),其中条形图被墨迹遮盖了一部分.
(1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数.
(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想,求选中读书超过5册的学生的概率.
(3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,则最多补查了　　　　人.
(2019·河北)某球室有三种品牌的4个乒乓球,价格是7元,8元,9元三种.从中随机拿出一个球,已知P(一次拿到8元球)=.
(1)求这4个球价格的众数.
(2)若甲组已拿走一个7元球训练,乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.
①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同 并简要说明理由;
②乙组先随机拿出一个球后放回,之后又随机拿一个,用列表法(如下表)求乙组两次都拿到8元球的概率.
　　又拿 先拿　　
命题点三　数轴与概率结合
(2020·河北)如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴-3和5的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行移动.
①若都对或都错,则甲向东移动1个单位,同时乙向西移动1个单位;
②若甲对乙错,则甲向东移动4个单位,同时乙向东移动 2个单位;
③若甲错乙对,则甲向西移动2个单位,同时乙向西移动 4 个单位.
(1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率P.
(2)从图的位置开始,若完成了10次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n次,且他最终停留的位置对应的数为m,试用含n的代数式表示m,并求该位置距离原点O最近时n的值.
(3)从图的位置开始,若进行了k次移动游戏后,甲与乙的位置相距2个单位,直接写出k的值.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①相等　②
即时练
1.①　②　③
2.20　解析:设盒子中有x个红色小球,由题意,得x=0.5(x+20),解得x=20,故盒子中约有20个红色小球.
3.(1)　(2)　解析:(1)从乙手中的4张,需抽出5或8,才能与甲手中的牌凑成一对,故甲从乙手中随机抽取一张,恰好与手中牌组成一对的概率是.
(2)由题意画树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中两次都是偶数的有2种,
∴P(两次抽中的纸牌的牌面数字都为偶数)=.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)由题意,得共有5种等可能的结果,其中踩中地雷的结果有2种,
∴P=.
(2)从安全的角度考虑,她应该选择区域A.理由如下:
由(1)知,区域B未踩中地雷的概率是,
∵区域A的3个方格中埋着1颗地雷,有2个方格没有地雷,
∴区域A未踩中地雷的概率是,
∵,
∴从安全的角度考虑,她应该选择区域A.
(3)①
解析:由题图可知①号格子左上方的数字1表示围着它的5个方格中有1颗地雷,而其中的4个都是安全方格,则①号格子必然为地雷,故①号格子中有地雷是一个必然事件.
河北中考·考向体验
1.B　解析:∵抽到黑桃的概率为,抽到红心的概率为,抽到梅花的概率为,抽到方块的概率为,∴抽到的花色可能性最大的是红心.故选B.
2.A　解析:∵向上一面出现数字1的概率为,出现数字2的概率为,∴6个面中要有3个面标有“1”,有2个面标有“2”,∴只能有一个面标有“3”,∴该木块不可能是选项A的木块.故选A.
3.
4.解:(1)嘉淇走到十字道口A有3种等可能的前进方式,故向北走的概率为.
(2)补全树状图如图所示:
共有9种等可能的结果,嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种,向南参观的结果有2种,向北参观的结果有2种,向东参观的结果有2种,∴向西参观的概率为,向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概率=.∴嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.
5.解:(1)当a=1,b=-2时,a+b=-1,2a+b=0,a-b=3.
从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为.
(2)补全表格如下:
　　　第一次 第二次　　　 a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 3a+2b 2a
2a+b 3a+2b 4a+2b 3a
a-b 2a 3a 2a-2b
共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有2a,3a,2a,3a,共4种,
∴和为单项式的概率为.
6.解:(1)抽查的学生有6÷25%=24(名),
读课外书册数为5册的学生有24-5-6-4=9(名),
∴条形图中被遮盖的数为9.
∵共抽查了24名学生读课外书册数的情况,∴将24名学生读课外书册数由小到大排列后,第12名学生和第13名学生读课外书册数的平均数为中位数.
∴册数的中位数为=5(册).
(2)∵读书超过5册的学生数为6+4=10,
∴选中读书超过5册的学生的概率为.
(3)3
7.解:(1)∵P(一次拿到8元球)=,
∴8元球的个数为4×=2(个),
∴这4个球价格的众数为8元.
(2)①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同.理由如下:
原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7元,8元,8元,9元,
∴原来4个球价格的中位数为=8(元),
所剩的3个球价格为8元,8元,9元,
∴所剩的3个球价格的中位数为8元,
∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同.
②列表如下:
　　又拿 先拿　　 8 8 9
8 (8,8) (8,8) (8,9)
8 (8,8) (8,8) (8,9)
9 (9,8) (9,8) (9,9)
共有9种等可能的结果,乙组两次都拿到8元球的结果有4种,
∴乙组两次都拿到8元球的概率为.
8.解:(1)∵经过第一次移动游戏,甲的位置停留在正半轴上,∴必须甲对乙错.
∵一共有四种情形:都对,都错,甲对乙错,甲错乙对,
∴P(甲对乙错)=,即甲的位置停留在正半轴上的概率P=.
(2)根据题意,可得乙猜对n次,向西移动了4n个单位,猜错(10-n)次,向东移动了2(10-n)个单位,
∴m=5-4n+2(10-n)=25-6n.
当n=4时,离原点O最近.
(3)k的值为3或5.
解析:不管游戏结果如何,甲、乙相遇前,两人之间距离每次减小2个单位,甲、乙相遇后,两人之间距离每次增大2个单位,则有|8-2k|=2,解得k=3或k=5.

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