资源简介

第四讲　代数式与整式
考点一　列代数式及代数式求值
代数式 用①　　　　　　连接数和字母组成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式
列代 数式 把问题中与数量有关的词语,用含有字母和运算符号的式子表示出来
代数式 求值 直接代数法 把已知字母的值直接代入求值
整体代 入法 (1)观察已知条件和所求代数式的关系. (2)用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法对所求代数式及已知代数式进行变形,使它们成倍分关系. (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
列代数式的关键是找出问题中的数量关系及公式,如s=vt等;其次要抓住一些关键词语,如多、少、大、小、增长、下降等.
1.(1)a的3倍与4的差的一半用代数式表示为　　　　.
(2)某型号汽车降价10%以后的价格为a元/辆,降价前的价格用代数式表示为　　　　元/辆.
2.(1)当x=-1时,代数式2x2-4x+1的值是　　　　.
(2)若代数式2a2+3a的值为5,则代数式4a2+6a-3的值是　　　　.
(3)若m=n-1,则(m-n)2-2m+2n的值是　　　　.
考点二　整式的运算
整式的相关概念
定义 由数或字母的②　　　　组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式
系数 单项式中的③　　　　因数叫做这个单项式的系数.单项式的系数包括前面的符号,如-4xy的系数是-4
次数 单项式中的所有字母的④　　　　叫做这个单项式的次数,单独一个非零常数的次数是0,如单项式-3的次数是⑤　　　　;字母x的次数是1,而不是0
定义 几个单项式的⑥　　　　叫做多项式
次数 多项式中每个单项式叫做多项式的项,其中⑦　　　　的项的次数叫做这个多项式的次数
常数项 不含字母的项叫做常数项
整式 ⑧　　　　和⑨　　　　统称为整式
整式的加减(实质:合并同类项)
同类项 所含字母相同,并且相同字母的⑩　　　　也相同的项.如3a与a是同类项
合并同 类项 法则 把同类项的系数相加减,字母和字母的指数不变.如:
去括号 法则 a+(b-c)=a+b-c,即括号前为“+”时,去括号后,括号内各项均　　　　;a-(b-c)=a　　b　　c,即括号前是“-”时,去括号后,括号内各项均　　　
同类项必须满足两个条件:一是含有相同的字母,二是相同字母的指数相同,这两个条件缺一不可.同类项与所含字母的位置无关.
幂的运算
同底数幂的乘法 底数不变,指数　　　　,即am·an=　　　　(m,n是正整数)
同底数幂的除法 底数不变,指数　　　　,即am÷an=　　　　(a≠0,m,n是正整数)
幂的乘方 底数不变,指数　　　　,即(am)n=　　　　(m,n是正整数)
积的乘方 各因式乘方的积,即(ab)n=　　　　(n是正整数)
遇到积的乘方时,需要注意:
(1)当括号内有“-”时,(-abm)n=
(2)当含有系数时,一定也要给系数进行乘方运算.
整式的乘除
单项式乘 单项式 把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式 用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加
续表
乘法 公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=　　　 几何背景:
完全平方公式:(a±b)2=　　　　　 几何背景:
单项式除 以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式 先用多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加
3.如图是某同学完成的作业,则他做错的题数是(　　)
判断(正确的画“√”,错误的画“×”):
1.0是单项式.(√)
2.单项式-πab2的系数是-.(√)
3.5mn是一次单项式.(√)
4.x2+x-1的常数项为1.(×)
5.7m2n2+3是四次二项式.(√)
6.23xy是五次单项式.(×)
7.与x2+-1都是整式.(√)
A.0　　　　 B.1 C.2 D.3
4.(冀教七上P129练习T2变式)找出下列式子中的同类项,并求这些同类项的和:
ab,3xy2,ab,ab+1,6x2y,-5x2y.
5.如果单项式xa+by与2x5ya-b是同类项,那么ab=　　　　.
6.去括号:
(1)+(a-b)=　　　　.
(2)-(a-b)=　　　　.
(3)a-(b+c)=　　　　.
(4)-2(2a-5b)=　　　　.
7.(人教七上P66例4变式)先去括号,再合并同类项.
(1)2(2b-3a)+3(2a-3b).
(2)4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1).
8.计算:
(1)a·a3·a4=　　　　.
(2)(-3b5)2=　　　　.
(3)m6÷m3=　　　　.
(4)(-xy2)3·(-3x2y)2=　　　　.
9.计算:
(1)·(-15a2b2)=　　　　.
(2)·2xy=　　　　　　.
(3)(2x+3)(3x+4)=　　　　.
(4)(x-3y)2=　　　　.
(5)(-2a2b)3÷4a3b3=　　　　.
(6)(8a2b3-2ab3)÷(-2ab3)=　　　　.
10.化简:
(1)(a+2)(a-2)-(a-1)2=　　　　.
(2)(2x-3)2-(x+y)·(x-y)-y2=　　　　.
(3)(3x+1)(3x-1)·(9x2-1)=　　　　.
考点三　因式分解
定义 把一个　　　　分解成几个整式的　　　　的形式,叫做多项式的因式分解
方法 提公 因式法 公式 ma+mb+mc=m(a+b+c)
确定公 因式的 步骤 (1)确定系数:取各项系数的最大公约数. (2)确定字母:取各项相同的字母. (3)确定字母的指数:取各项相同字母的最低次数
公式法 a2-b2　　　　; a2±2ab+b2　　　
十字相乘 法(选学) x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)
11.(人教八上P119习题14.3 T5变式)分解因式:
(1)3x2+6x+3=　　　　.
(2)x2y+6xy-16y=　　　　.
(3)m2(m-1)-4(1-m)2=　　　　.
(4)(4x2+1)2-16x2=　　　　.
12.若代数式x2-2kx+25是一个完全平方式,则k=　　　　.
如图1是一个长为4a,宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成4个小长方形,然后用4个小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
(1)根据上述过程,写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系:　　　　　　　　.
(2)利用(1)中的结论,若x+y=4,xy=1,则(x-y)2的值是　　　　.
(3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式,如图3,请你写出这个等式:　　　　　　　　　　.
(4)两个正方形ABCD,AEFG如图4摆放,边长分别为x,y,若x2+y2=34,BE=2,则图中阴影部分的面积和是　　　　.
(1)图2中小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积,由此即可求解.
(2)根据(1)的结论,代入计算即可求解.
(3)将图形中各部分的面积通过图形面积计算公式表示出来,根据大长方形的面积等于各部分的面积和即可求解.
(4)BE=x-y=2,并计算出x+y=8,根据图中阴影部分的面积和=S△DFC+S△BEF即可求解.
命题点一　列代数式及代数式求值
(2023·河北)代数式-7x的意义可以是(　　)
A.-7与x的和
B.-7与x的差
C.-7与x的积
D.-7与x的商
(2022·河北)若x和y互为倒数,则(x+)(2y-)的值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
(2018·河北)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形,要将它按如图的方式向外等距扩1(单位:cm)得到新的正方形,则这根铁丝需增加(　　)
A.4 cm B.8 cm
C.(a+4) cm D.(a+8) cm
(2018·河北)若a,b互为相反数,则a2-b2=　　　　.
(2022·河北)如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
(1)甲盒中都是黑子,共10个,乙盒中都是白子,共8个.嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍,则a=　　　　.
(2)设甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共2m个.嘉嘉从甲盒拿出a(1命题点二　整式的运算
(2022·河北)计算a3÷a得a ,则“ ”是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2021·河北)不一定相等的一组是(　　)
A.a+b与b+a B.3a与a+a+a
C.a3与a·a·a D.3(a+b)与3a+b
(2024·河北)下列运算正确的是(　　)
A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2
C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a
(2020·河北)墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是(　　)
A.+ B.- C.× D.÷
(2019·河北)小明总结了以下结论:
①a(b+c)=ab+ac;②a(b-c)=ab-ac;③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
(2018·河北)将9.52变形正确的是(　　)
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
(2020·河北)若k为正整数,则()k=(　　)
A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k
(2024·河北)若a,b是正整数,且满足,则a与b的关系正确的是(　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
(2025·河北)计算:2a2+4a2=　　　　.
(2019·河北)若7-2×7-1×70=7p,则p的值为　　　　.
(2020·河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.
如:第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果.
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗 说明理由.
7 (2023·河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值.
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
8 (2022·河北)发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证　如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究　设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
命题点三　因式分解
9 (2020·河北)对于①x-3xy=x(1-3y);②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是(　　)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
0 (2020·河北)若=8×10×12,则k=(　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
1 (2023·河北)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能(　　)
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①基本运算符号　②积　③数字　④指数和　⑤0　⑥和　⑦次数最高　⑧单项式
⑨多项式　⑩指数　5　不变号　-　+　变号　相加　am+n　相减　am-n　相乘　amn
anbn　a2-b2　a2±2ab+b2
多项式　积　(a+b)(a-b)
(a±b)2
即时练
1.(1)(3a-4)　(2)a
2.(1)7　解析:当x=-1时,原式=2×(-1)2-4×(-1)+1=7.
(2)7　解析:当2a2+3a=5时,原式=2(2a2+3a)-3=2×5-3=7.
(3)3　解析:∵m=n-1,∴m-n=-1,∴当m-n=-1时,原式=(m-n)2-2(m-n)=(-1)2-2×(-1)=3.
3.D　解析:他做错的题目是第2,3,7题.单项式-πab2的系数是-π,故第2题错误;5mn是二次单项式,故第3题错误;是单项式,故是整式,x2+-1既不是单项式,也不是多项式,故不是整式,故第7题错误.故选D.
4.解:ab和ab是同类项,6x2y和-5x2y是同类项.
ab+ab=ab,
6x2y+(-5x2y)=x2y.
5.9　解析:由同类项的定义可知a+b=5,a-b=1,解得a=3,b=2,∴ab=32=9.
6.(1)a-b　(2)-a+b　(3)a-b-c　(4)-4a+10b
7.解:(1)2(2b-3a)+3(2a-3b)=4b-6a+6a-9b=-5b.
(2)4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1)=4a2+6ab-4a2-7ab+1=-ab+1.
8.(1)a8　(2)9b10　(3)m3　(4)-9x7y8
9.(1)-5a4b5　(2)x3y2-4x2y2+2xy3
(3)6x2+17x+12　(4)x2-6xy+9y2
(5)-2a3　(6)-4a+1
解析:(1)·(-15a2b2)=-5a4b5.
(2)·2xy=x3y2-4x2y2+2xy3.
(3)(2x+3)(3x+4)=6x2+8x+9x+12=6x2+17x+12.
(4)(x-3y)2=x2-6xy+9y2.
(5)(-2a2b)3÷4a3b3=-8a6b3÷4a3b3=-2a3.
(6)(8a2b3-2ab3)÷(-2ab3)=-4a+1.
10.(1)2a-5　(2)3x2-12x+9
(3)81x4-18x2+1
解析:(1)(a+2)(a-2)-(a-1)2=a2-4-(a2-2a+1)=a2-4-a2+2a-1=2a-5.
(2)(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2=(4x2-12x+9)-(x2-y2)-y2=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9.
(3)(3x+1)(3x-1)(9x2-1)=(9x2-1)(9x2-1)=(9x2-1)2=81x4-18x2+1.
11.(1)3(x+1)2　(2)y(x+8)(x-2)　(3)(m-1)(m-2)2
(4)(2x+1)2(2x-1)2
解析:(1)3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2.
(2)x2y+6xy-16y=y(x2+6x-16)=y(x+8)(x-2).
(3)m2(m-1)-4(1-m)2=m2(m-1)-4(m-1)2=(m-1)(m2-4m+4)=(m-1)(m-2)2.
(4)(4x2+1)2-16x2=(4x2+1+4x)·(4x2+1-4x)=(2x+1)2(2x-1)2.
12.±5　解析:∵代数式x2-2kx+25是一个完全平方式,∴x2-2kx+25=(x±5)2,∴x2-2kx+25=x2±10x+25,∴-2k=±10,解得k=±5.
重点难点·一题串讲
例:(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab
解析:题图2中间部分的面积可以看作是边长为a+b的正方形面积减去4个长为b,宽为a的小长方形面积,即(a+b)2-4ab,也可以看作是边长为b-a的正方形面积,∴(b-a)2=(a+b)2-4ab,即(a-b)2=(a+b)2-4ab.
(2)12　解析:∵x+y=4,xy=1,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=16-4×1=12.
(3)(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2
解析:大长方形的面积等于4个长为b,宽为a的小长方形面积加上3个边长为a的正方形面积加上1个边长为b的正方形面积,∴(3a+ b)(a+b)=3a2+4ab+b2.
(4)8　解析:∵x2+y2=34,BE=2,∴x-y=2,∴x2-2xy+y2=4,∴34-2xy=4,∴xy =15,∵(x+y)2=x2+2xy+y2=34+30=64,且x+y>0,∴x+y=8,∴图中阴影部分的面积和=S△DFC+S△BEF=x(x-y)+y(x-y)=(x-y)(x+y)=×2×8=8.
河北中考·考向体验
1.C
2.B　解析:(x+ )(2y-)=2xy-1+2-=2xy-+1,∵x,y互为倒数,∴xy=1.∴原式=2-1+1=2.故选B.
3.B　解析:∵原正方形的周长为a cm,∴原正方形的边长为 cm,∵将它按题图的方式向外等距扩1 cm,∴新正方形的边长为 cm,则新正方形的周长为4=(a+8) cm,因此需要增加的长度为a+8-a=8(cm).故选B.
4.0　解析:∵a,b互为相反数,∴a+b=0.∴a2-b2=(a+b)(a-b)=0.
5.(1)4　(2)(m+2a)　1
解析:(1)根据题意,得a+8=2(10-a),解得a=4.
(2)乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多2m+a-(m-a)=(m+2a)(个).由题意得,从乙盒拿走的a个棋子中有(a-x)个黑子,∴乙盒中剩余的黑子个数y=a-(a-x)=a-a+x=x,则=1.
6.C　解析:a3÷a=a3-1=a2,则“ ”是2.故选C.
7.D　解析:A.a+b=b+a,故选项A不符合题意;B.a+a+a=3a,故选项B不符合题意;C.a·a·a=a3,故选项C不符合题意;D.3(a+b)=3a+3b,当b≠0时,3a+3b≠3a+b,故选项D符合题意.故选D.
8.C　解析:A.a7与-a3不属于同类项,不能合并,故A不符合题意;B.3a2·2a2=6a4,故B不符合题意;C.(-2a)3=
-8a3,故C符合题意;D.a4÷a4=1,故D不符合题意.故选C.
9.D　解析:根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可知x3÷x=x3-1=x2.故选D.
10.C　解析:①②③中结论成立,④中结论不成立.故选C.
11.C　解析:9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.故选C.
12.A　解析:()k=(k·k)k=(k2)k=k2k.故选A.
13.A　解析:根据已知得,8×2a=(2b)8,即2a+3=28b,∴a+3=8b.故选A.
14.6a2　解析:2a2+4a2=6a2.
15.-3　解析:由7-2×7-1×70=7p,得-2-1+0=p.∴p=-3.
16.解:(1)依题意,得从初始状态按2次后,A区显示的结果为(25+a2)+a2=25+2a2,B区显示的结果为(-16-3a)-3a=-16-6a.
(2)从初始状态按4次后,A区显示的结果为25+4a2,B区显示的结果为-16-12a,
∴A,B两区代数式的和为25+4a2+(-16-12a)=25+4a2-16-12a=4a2-12a+9.
这个和不能为负数.理由:
∵4a2-12a+9=(2a-3)2≥0,
∴这个和不能为负数.
17.解:(1)由题图可知S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,
当a=2时,S1+S2=4+6+2+10+1=23.
(2)S1>S2.
理由:∵S1-S2=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1=(a-1)2,
又∵a>1,
∴(a-1)2>0,
∴S1>S2.
18.解:验证　10的一半为5,
5=1+4=12+22.
探究
(m+n)2+(m-n)2
=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
19.C　解析:对于①,x-3xy=x(1-3y),左边是一个多项式,右边是两个整式的乘积,故是因式分解;对于②,(x+3)(x-1)=x2+2x-3,左边是两个整式的乘积,右边是一个多项式,故是乘法运算.故选C.
20.B　解析:∵=
8×10×12,∴(9-1)×(9+1)×(11-1)×(11+1)=k×8×10×12.解得k=10.故选B.
21.B　解析:(2k+3)2-4k2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3),
∵3(4k +3)能被 3 整除,∴(2k+3)2-4k2的值总能被3整除.故选B.

展开更多......

收起↑