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第五讲　分式
考点一　分式的相关概念
分式 形如的代数式叫做分式,其中A,B都是整式,B中含有①　　　　且B≠0,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母
最简分式 分子与分母没有②　　　　的分式叫做最简分式
分式有意 义的条件 分母③　　　　0 在求使分式有意义条件时,不能对分式进行化简,要就原分式讨论.如使分式有意义的条件是④　　　　　　　
分式无意 义的条件 分母⑤　　　　0
分式值为 零的条件 分子⑥　　　　0,且分母⑦　　　　0
判断是否是分式时,一定不要先化简再判断,关键是看分母中是否含有字母.
1.下列各式:3x-4,x2-1,,,0,,,其中分式共有　　　　个.
2.下列4个分式中:①;②;③;④,最简分式有　　　　个.
3.已知分式.
(1)当x　　　　时,分式有意义.
(2)当x　　　　时,分式的值为零.
(3)当x=-2时,分式的值为　　　　.
考点二　分式的基本性质
基本 性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于零的⑧　　　　,分式的值⑨　　　　,即,(M≠0),其中A,B,M是整式
约分 定义 把一个分式的分子与分母的⑩　　　　约去,叫做分式的约分
关键 确定公因式
确定公 因式的 步骤 (1)分子、分母中能因式分解的先进行因式分解. (2)取分子、分母中相同因式的最低次幂的积(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式
通分 定义 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 　　　　的分式,叫做分式的通分
最简公 分母 一般取各分母的所有因式的　　　　　　作为公分母,它叫做最简公分母
确定最简 公分母 的步骤 (1)各分母能因式分解的先进行因式分解. (2)取各分母系数的　　　　. (3)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式. (4)同底数幂取次数最　　　　的,得到的因式的积就是最简公分母
4.下列分式从左到右变形一定成立的是(　　)
A. B.
C. D.=-
5.填空:
(1)与的最简公分母为　　　　.
(2)与的最简公分母为　　　　.
6.按要求填空:
(1)=　　　　(不改变分式的值,把分子、分母中的各项系数化为整数且为最简分式).
(2)约分:=　　　　.
(3)通分:=　 ,=　　　 　.
考点三　分式的运算
乘除 (1)分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母,即·=　　　　(a≠0, c≠0). (2)分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即=　　　　　　 (a≠0,c≠0,d≠0)
乘方 分式的乘方就是把分子、分母分别乘方,即=　　　　(n为整数,a≠0)
加减 (1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,即=　　　　. (2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减,即=　　　　. 当整式与分式进行加减运算时,要将整式看作分母为1的分式,然后进行通分
混合运算 分式的运算顺序与实数的运算顺序相同,要注意运算结果要化为　　　　　　　
分式化简求值的一般步骤
(1)有括号先计算括号内的.
(2)除法运算转化为乘法运算.
(3)分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解.
(4)约分.
(5)进行加减运算时,对于异分母分式,先进行通分,转化为同分母分式,此时分母不变,分子合并同类项,最终化成最简分式.
(6)将所给数值代入最简分式求值,代入数值时注意使原分式有意义.
7.计算:
(1)=　　　　. (2)·=　　　.
(3)·=　　　　. (4)·=　　　　.
(5)-=　　　　. (6)=　　　　.
8.当x=+1时,代数式的值为　　　　.
9.先化简,再求值,其中-2≤a≤2且a为整数,请你从中选取一个合适的数代入求值.
已知A=,B=.
(1)嘉嘉说:“A,B都是分式.”淇淇说:“A是整式,B是分式.”则针对以上说法,下列判断正确的是(　　)
A.嘉嘉的说法正确
B.淇淇的说法正确
C.淇淇的说法不正确
D.嘉嘉和淇淇的说法都不正确
(2)A的值等于0时,m的值为　　　;B有意义时,m满足的条件为　　　　　.
(3)若B为负数,求m的取值范围.
(4)设y=,若m为整数,求正整数y的值.
(5)当m>0时,比较A-B与0的大小,并说明理由.
(6)化简:·A-B.
(1)根据分式的定义进行判断即可.
(2)A的值等于0时,分子等于0;B有意义的条件是分母不等于零.
(3)B为负数时,分子和分母异号,故进行分类讨论.
(4)先对y进行化简得y=,若y是正整数,则m+1一定是正整数且是4的因数,从而求出y的值.
(5)利用分式的减法法则进行计算,从而求出A-B的值,然后根据分式的正负情况判断大小.
(6)根据分式混合运算顺序进行化简即可.
命题点一　分式的相关概念及基本性质
(2020·河北改编)若a≠b,根据分式的基本性质对分式变形,下列正确的是(　　)
A. B.
C. D.
(2024·河北样卷)使式子有意义的x的取值范围是　　　　.
命题点二　分式的运算
一、分式的化简
(2023·河北)化简x3()2的结果是(　　)
A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6
(2024·河北)已知A为整式,若计算的结果为,则A=(　　)
A.x B.y C.x+y D.x-y
(2018·河北)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
接力中,自己负责的一步出现错误的是(　　)
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
二、分式的化简求值
(2025·河北)若a=-3,则=(　　)
A.-3 B.-1
C.3 D.6
(2021·河北)由()值的正负可以比较A=与的大小,下列正确的是(　　)
A.当c=-2时,A=
B.当c=0时,A≠
C.当c<-2时,A>
D.当c<0时,A<
(2019·河北)如图,若x为正整数,则表示的值的点落在(　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①字母　②公因式　③不等于　④B≠0,C≠0且D≠0　⑤等于　⑥等于
⑦不等于　⑧整式　⑨不变　⑩公因式
同分母　最高次幂的积　最小公倍数　高　　·　　　
最简分式或整式
即时练
1.3　2.2
3.(1)≠3　(2)=-3　(3)
4.C
5.(1)2(x-1)　(2)(x-1)2
6.(1)　(2)-
(3)　
解析:(1)分式的分子和分母乘2,可得原式=,分式的分子和分母再乘10,可得原式=.
(2)原式可化为,分式的分子和分母除以2a(1-a),可得原式=-.
(3)4-9m2=(2+3m)(2-3m),9m2-12m+4=(3m-2)2=(2-3m)2,∴两分式的最简公分母为(2+3m)(2-3m)2,∴,.
7.(1)　(2)y　(3)　(4)-x
(5)a　(6)
解析:(1)原式=·.
(2)原式=·=y.
(3)原式=·.
(4)原式=··=-x.
(5)原式==a.
(6)原式=.
8.　解析:
=·,
当x=+1时,原式=.
9.解:
=
=·
=-.
当a=0时,原式=-.(答案不唯一)
重点难点·一题串讲
例:解:(1)B　(2)-1　m≠-1
(3)由题意可得,<0,
∴或
解得-1(4)y=,
∵m为整数,y为正整数,
∴y的值为4或2或1.
(5)A-B≥0.理由如下:
A-B==
.
∵m>0,∴m+1>0,(m-1)2≥0,
∴≥0,即A-B≥0.
(6)·A-B
=()·
=·
=2+m-
=
=
=.
河北中考·考向体验
1.D　2.x<
3.A　解析:x3()2=x3·=xy6.故选A.
4.A　解析:∵,
∴,
即,
∴,
∴Ax=x2,∴A=x.故选A.
5.D　解析:·=-·=-·=-,∴乙和丁错误.故选D.
6.B　解析:,当a=-3时,原式==-1.故选B.
7.C　解析:,当c=-2时,2+c=0,A无意义,故A选项错误,不符合题意;当c=0时,=0,A=,故B选项错误,不符合题意;当c<-2时,>0,A>,故C选项正确,符合题意;当-28.B　解析:=1-.∵x为正整数,∴1-<1,当x=1时,原式的值最小,为.∴≤1-<1,∴表示原式的值的点落在段②.故选B.

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