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第二讲　实数的大小比较及运算
考点一　实数的大小比较
数轴法 当数轴上的正方向为从左到右时,数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数①　　　
性质法 正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小
作差法 (1)a-b>0 ②　　　　　.(2)a-b<0 ③　　　　　.(3)a-b=0 ④　　　　　
平方法 a2>b2 a>b(a>0,b>0)(常应用在无理数估值及含有无理数的大小比较中)
作商法 若a>0,b>0,则(1)>1 a>b.(2)=1 a=b.(3)<1 a倒数法 若ab>0,则 a⑤　　　　b
特殊 值法 给字母取符合条件的数值,再代入验证比较大小
(1)若一组数据中有正数、0和负数,判断最大的数直接在正数中比较,判断最小的数直接在负数中比较.
(2)进行大小排序时,先排序正数,再排序负数,根据正数>0>负数进行最终排序,也可将数在数轴上表示出来,从左到右,数越来越大.
1.(冀教七上P15例1变式)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是(　　)
A.a<-2　
B.b<2
C.aD.-a>b
2.(冀教八上P78练习T2变式)比较下列各组数的大小,用“>”“<”或“=”连接.
(1)3　　　　2.
(2)-3　　　 .
(3)1　　　 .
考点二　实数的运算
运算法则
加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值⑥　　　　;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值⑦　　　　较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得⑧　　　　;一个数同0相加,仍得这个数
减法 减去一个数,等于加上这个数的⑨　　　　,即a-b=a+(-b)
乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘,都得0,即
除法 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数,都得0;一个数除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即a÷b=a·　　　　(b≠0)
乘方 an表示n个相同的因数a相乘,即an=
常见实数的运算
运算 法则
零次幂 a0=　　　　(a≠0)(注:an-n=an÷an=1)
负整数 指数幂 a-p=　　　　(a≠0,p为正整数),特别地,a-1=　　　　(a≠0)
-1的奇 偶次幂 (-1)n=
去绝对 值符号 (1)|a-b|= 如 (2)若|x|=a(a≠0),则x=　　　
常见的 开方 =2,=　　　　,=4,=3,=2,=5,=2,=　　　　,=　　　　,=-4
实数混合运算的解题步骤
(1)将每个小项的值计算出来,一般涉及的有乘方、-1的奇偶次幂、零次幂、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方运算等.
(2)根据实数的运算顺序计算:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先计算括号里面的,同级运算按照从左到右的顺序进行运算.
(3)计算结果.
运算律
加法 交换律:a+b=b+a;结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
乘法 交换律:ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc);分配律:a(b+c)=ab+ac
在实数的运算中往往可以采用简便运算来简化计算,常见的方法如下:
(1)先“凑十”“凑百”“凑千”,然后利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算.
(2)先将算式中所有的小数或分数凑成整数,再进行计算.
(3)直接利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算.
(4)(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0)能运用分配律,a÷(b-c)不能运用分配律.
3.(人教七上P51复习题1 T5变式)计算:
(1)1-6=　　　　.
(2)(-2)×(-4)=　　　　.
(3)(-18)÷3=　　　　.
(4)-12×2÷=　　　.
(5)0×2 026=　　.
4.计算:-2cos 30°+|-|-(4-π)0=　　　.
5.简便计算:
(1)-9×42.
(2)9982.
(3)99.
(4)(-5)×8××(-1.25).
(5)4.61×-5.39×+3×.
(6)(3+2)(3-2).
(7)(-48)×(-).
(8)-101×190+1012+952.
(9)×(1- )×…×.
在数学活动课上,李老师设计了一个游戏活动,四名同学分别代表一种运算,四名同学可以任意排列,每次排列代表一种运算顺序,剩余同学中,一名同学负责说一个数,其他同学负责运算,运算结果既对又快者获胜,可以得到一个奖品.
下面我们用四个卡片代表四名同学(如图):
(1)列式,并计算:
①-10只经过B,D的顺序运算后,结果是多少
②-3经过A,B,C,D的顺序运算后,结果是多少
③5经过B,C,A,D的顺序运算后,结果是多少
(2)探究:数a经过D,C,A,B的顺序运算后,结果是45,a是多少
(1)根据题意,可以列出相应的算式,从而可以求得相应的结果.
(2)根据题意,可以得到关于a的方程,从而可以求得a的值.
命题点一　实数的大小比较
(2024·河北)如图显示了某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是(　　)
A. B.
C. D.
命题点二　实数的运算
一、实数的简单运算
(2022·河北)与-3相等的是(　　)
A.-3- B.3-
C.-3+ D.3+
(2025·河北)从-5 ℃上升了5 ℃后的温度,在温度计上显示正确的是(　　)
A B C D
(2021·河北)能与-相加得0的是(　　)
A.- B.
C.- D.-
(2021·河北)若取1.442,计算-3-98的结果是(　　)
A.-100 B.-144.2
C.144.2 D.-0.014 42
二、实数的复杂运算
(2019·河北)有个填写运算符号的游戏:在“1　2　6　9”中的每个　内,填入+,-,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2-6-9.
(2)若1÷2×6　9=-6,请推算　内的符号.
(3)在“1　2　6-9”的　内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
(2025·河北)(1)一道习题及其错误的解答过程如下:
计算:(-6)×.
解:(-6)×
=-6×+6×-6× 第一步
=-3+4-5 第二步
=-4. 第三步
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
(2)计算:|2-|-(-2)2×.
(2024·河北)如图,有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为0,x,12.
(1)计算A,B,C三点所对应的数的和,并求的值.
(2)当点A与点D上下对齐时,点B,C恰好分别与点E,F上下对齐,求x的值.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①大　②a>b　③a
⑥相加　⑦减去　⑧0　⑨相反数
⑩ab　-ab　　1　
　-1　1　a-b　b-a
3-　2-　±a　2　-2　-3
即时练
1.C　
2.(1)>　(2)<　(3)<
解析:(1)(3)2=18,(2)2=12,
∵18>12,∴3>2.
(2)|-3|=3,||=|-|=,33=27,()3=25,∵27>25,∴3>,∴-3<.
(3)1-,∵3<<4,∴3-<0,∴<0,∴1<.
3.(1)-5　(2)8　(3)-6　(4)6　(5)0
4.2　解析:原式=3-2×-1=3--1=2.
5.解:(1)-9×42
=-×42
=-
=-(420-2)
=-418.
(2)9982
=(1 000-2)2
=1 0002-2×1 000×2+22
=996 004.
(3)99
=-
=-
=-
=-9 999.
(4)(-5)×8××(-1.25)
=×[8×(-1.25)]
=9×(-10)
=-90.
(5)4.61×-5.39×+3×
=4.61×+5.39×-3×
=×(4.61+5.39-3)
=×7
=3.
(6)(3+2)(3-2)
=(3)2-(2)2
=18-12
=6.
(7)(-48)×
=(-48)×+(-48)×-(-48)×
=36-40+28
=24.
(8)-101×190+1012+952
=1012-2×101×95+952
=(101-95)2
=62
=36.
(9)×(1-)×…×
=×(1+)×…×
=×…×
=
=.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)①-10-(-5)+6=1.
②[(-3)×2-(-5)]2+6
=(-6+5)2+6
=(-1)2+6
=1+6
=7.
③[5-(-5)]2×2+6
=(5+5)2×2+6
=102×2+6
=100×2+6
=200+6
=206.
(2)由题意知,(a+6)2×2-(-5)=45,
∴(a+6)2×2=40,
∴(a+6)2=20,
∴a+6=±2,
∴a1=2-6,a2=-2-6.
即a是2-6或-2-6.
河北中考·考向体验
1.A　解析:∵这5天日最低气温分别为-2 ℃,-4 ℃,0 ℃,1 ℃,-1 ℃,-2>-4,-4<0<1,1>-1,∴气温变化为先下降,然后上升,再上升,再下降.观察选项可知只有A选项的图形符合题意.故选A.
2.A　3.B
4.C　解析:能与-()相加得0的数是0-[-()]=.故选C.
5.B　解析:原式=(1-3-98)×=-100×1.442=-144.2.故选B.
6.解:(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12.
(2)∵1÷2×6□9=-6,
∴1××6□9=-6.
∴3□9=-6.∴□内的符号是“-”.
(3)这个最小数是-20.
7.解:(1)原计算在第一步开始出现错误;
正确的解答过程如下:
(-6)×
=-6×-6×+6×
=-3-4+5
=-2.
(2)|2-|-(-2)2×
=2--4×
=1-.
8.解:(1)∵点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,
∴A,B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30,
∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36,
∴.
(2)由数轴,得DE=x-0=x,DF=12-0=12,
由题意,得,∴,
∴x=2.

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