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第三讲　二次根式
考点一　二次根式的相关概念及性质
相 关 概 念 (1)二次根式:形如(a≥0)的式子. (2)有意义的条件:被开方数①　　　　　　. (3)最简二次根式满足的两个条件: a.被开方数不含分母(即分母中不含根号). b.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
性 质 (1)双重非负性:≥0且a≥0. (2)()2=a(a②　　　　). (3)=|a|= (4)·(a≥0,b≥0). (5)(a≥0,b>0)
1.式子,,,,中,最简二次根式有　　　　个.
2.(1)计算:()2+()2=　　　　.
(2)若代数式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　　　　.
(3)实数a在数轴上的位置如图所示,化简:|a-1|+=　　　　.
考点二　二次根式的运算
加减法 先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘法 ·=⑤　　　　(a≥0,b≥0)
除法 =⑥　　　　(或)(a≥0,b>0)
混合 运算 与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号)
(1)乘法公式在二次根式运算中的应用:()2=a±2+b;()()=a-b.
(2)二次根式的运算,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式.
(3)若分母中含有二次根式,则需将二次根式化为分母是有理数的形式,即(a≥0,b>0)或(a>0,b>0,a≠b).
3.计算:
(1)3×2=　　　.
(2)(-2)2=　　　　,=　　　　,=　　　　.
4.(人教八下P15习题16.3 T4变式)计算:
(1).
(2)(3+2)2-(4+)×(4-).
考点三　二次根式的估值
确定二次根式的值 在哪两个相邻整数之间 确定二次根式的值离哪个整数较近
步骤 举例 步骤 举例
(1)平方. (2)找两数:找与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数. (3)开方. (4)定范围 ()2=6; ⑦　　　　<6<⑧　　　　; ⑨　　　　<<⑩　　　　, 即　 　<<　　　; 在　　　　和 　　　　之间 (1)找相邻整数. (2)求相邻整数的平均数. (3)求这个平均数的平方. (4)比大小,定结果:若平均数的平方大于二次根式的平方,则该二次根式离较小的那个整数近,否则离较大的那个整数近 2<<3; = 　　　　; 　 =　　　　; 　　　　>6, 则离 　　　　较近
(1)记住常见的二次根式的大概值,可提升解题速度,如:
≈1.414,≈1.732,≈2.236,≈2.449,≈2.646.
(2)若n<(3)立方根的估值,与二次根式的估值方法类似,只是将“平方”改为“立方”.
5.(人教七下P47习题6.1 T6变式)实数的值在(　　)
A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
6.(1)已知m为整数,且2(2)写出一个比大且比小的整数:　　　　.
(3)估计的值应在　　　　之间.
7.2介于整数　　　　和　　　　之间,与整数　　　　离得较近;2-3的整数部分是　　　　,小数部分是　　　　.
如图所示的是5×5的正方形网格,每一个小正方形的边长均为1,正方形ABCD的顶点均在格点处.
(1)边AB的长位于两个连续整数　　　　和　　　　之间.
(2)对角线AC的长的整数部分是　　　　,小数部分是　　　　.
(3)设正方形ABCD的面积为S,若S<+3(4)若要在正方形ABCD中画出一个可以在其内部自由旋转的矩形,且该矩形的长是宽的2倍,求矩形的长的最大整数值.
(1)首先根据勾股定理求出AB的长,再根据二次根式的估值,求出AB的长位于哪两个连续整数之间.
(2)首先根据正方形的边长AB求出对角线AC的长,再根据二次根式的估值,确定其整数部分和小数部分.
(3)首先根据正方形的边长AB求出正方形ABCD的面积,再根据二次根式的估值,求出a的取值范围.
(4)首先设出矩形的长和宽,然后根据对角线的长与正方形的边长之间的大小关系求出矩形的长和宽的取值范围,从而确定矩形的长的最大整数值.
命题点一　二次根式的相关概念及性质
(2024·河北样卷)代数式中x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2021·河北)与结果相同的是(　　)
A.3-2+1 B.3+2-1
C.3+2+1 D.3-2-1
命题点二　二次根式的运算
(2022·河北)下列正确的是(　　)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
(2025·河北)计算:()()=(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
(2023·河北)若a=,b=,则等于(　　)
A.2 B.4
C. D.
(2020·河北)已知=a=b,则ab=　　　　.
命题点三　二次根式的估值
(2024·河北)已知a,b,n均为正整数.
(1)若n<(2)若n-1<【详解答案】
教材考点·深度梳理
①大于或等于0　②≥0　③a　④-a　⑤　⑥　⑦4　⑧9　⑨　⑩　2　3　2　3　2.5　2.52　6.25　6.25　2　n
-n
即时练
1.1　解析:是最简二次根式;不是最简二次根式;不是最简二次根式;=2不是最简二次根式;=0.9不是最简二次根式.
2.(1)29　解析:原式=24+5=29.
(2)x≥-且x≠1　解析:∵有意义,∴3x+2≥0且x-1≠0,
解得x≥-且x≠1.
(3)1　解析:由已知得10,a-2<0,则|a-1|+=a-1+|a-2|=a-1+2-a=1.
3.(1)30　(2)20　　2
解析:(1)3×2=30.
(2)(-2)2=20;
=3-2;
=2.
4.解:(1)
=2-3
=12-3
=9.
(2)(3+2)2-(4+)(4-)
=9+12+20-(16-7)
=20+12.
5.B
6.(1)3　解析:∵9<10<16,∴3<<4,∵2(2)3(答案不唯一)　解析:∵1<3<4,16<17<25,∴1<<2,4<<5,∴比大且比小的整数可以为3.
(3)4和5　解析:原式==1+,∵9<12<16,∴3<<4,∴4<1+<5,∴估计的值应在4和5之间.
7.6　7　7　3　2-6
解析:∵(2)2=44,36<44<49,∴6<2<7.=6.5,6.52=42.25>36,则2离整数7较近.
∵3<2-3<4,∴其整数部分是3,小数部分是2-3-3=2-6.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)3　4
(2)5　-5
(3)100(4)设该矩形的宽为x,则长为2x,∴矩形的对角线长为x.∵该矩形可以在正方形ABCD内部自由旋转,∴矩形的对角线长小于或等于正方形的边长,即x≤,解得x≤,∴矩形的长2x≤,∵8<<9,∴3.2<<3.6,∴矩形的长的最大整数值为3.
河北中考·考向体验
1.A　解析:由题意,得3-x≥0且x-1≠0,解得x≤3且x≠1.故选A.
2.A　解析:=2.3-2+1=2,故A符合题意;3+2-1=4,故B不符合题意;3+2+1=6,故C不符合题意;3-2-1=0,故D不符合题意.故选A.
3.B　解析:A.,故A错误;B.=2×3,故B正确;C.=92=81,故C错误;D.,故D错误.故选B.
4.B　解析:()()=()2-()2=10-6=4.故选B.
5.A　解析:∵a=,b=,∴=
=2.故选A.
6.6　解析:=3=2,∴a=3,b=2,∴ab=6.
7.(1)3　(2)2　解析:(1)∵9<10<16,∴3<<4.∵n<(2)∵n-1<

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