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第6讲　一次方程(组)及其应用
考点一　等式的基本性质
性质1 等式两边加上(或减去)同一个数(或同一个整式),结果仍相等.即如果a=b,那么 a±c=①　　　 应用:解方程中的移项
性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等.即如果a=b,那么②　　　　=bc;如果a=b,那么(c≠0) 应用:解方程中去分母或系数化为1
1.下列变形错误的是(　　)
A.若m=n,则-3m=-3n
B.若m+2=n+2,则m=n
C.若3x=2,则x=
D.若m=-n,则m+n=0
考点二　一元一次方程及其解法
定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是③　　　　的整式方程
一般形式 ax+b=0(a,b是常数,且a≠0)
解题 步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 注:具体顺序依据具体题而定
2.解方程:=1.
考点三　二元一次方程(组)及其解法
二元一次方程(组)的概念
二元一 次方程 含有④　　　　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑤　　　　的整式方程,形如ax+by=c(a≠0,b≠0,a,b,c是常数)
二元一次 方程组 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组
二元一次方程组的解法
基本思想 消元,即把二元一次方程组转化为一元一次方程
消元方法 代入消元法、加减消元法
3.已知x,y满足方程组则x+y的值是　　　　.
4.解方程组:
(1)当方程组中有一个方程的未知数的系数为1或-1时,常用代入消元法.
(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时,常用加减消元法.
考点四　一次方程(组)的实际应用
列方程(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意,分清题中的已知量、未知量
设 设关键未知数,一般求什么,就设什么,也可设间接未知数
列 找出适当等量关系,列方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所解答案是否正确且是否符合题意
答 解答题需要作答,注意单位名称
基本等量关系
和(差) 关系 总量=各分量之和; 大数=小数+大数与小数的差
倍(分) 关系 几倍后的量=基础量×倍数; 分量=总量×分量所占总量的份数(比例)
购买问题 总价=单价×数量
利润 问题 (1)售价=标价×折扣, 销售额=售价×销量. (2)利润=售价-进价, 利润率=×100%
工程问题 工作量=工作效率×工作时间
行程 问题 (匀速 运动) 基本关系:s=vt. (1)相遇问题(同时出发):s甲+s乙=⑥　　　　,t甲=t乙. (2)追击问题:同时不同地:s甲=s乙+⑦　　　　,t甲=t乙. 同地不同时:甲出发t小时后乙出发,在B处乙追上甲,s甲=s乙,t甲=⑧　　　　. (3)环形跑道问题:关键是抓住各物体的运动时间和路程关系
5.如图,草船借箭是一个流行很广的故事.按照这个故事所说的,我们假定诸葛亮一共派出大小草船共20艘,回来清点发现小船平均每艘上借的箭约有4 800支,大船平均每艘上借的箭约有6 200支,已知一共借箭112 800支,设派出大船x艘,则下列说法正确的是(　　)
A.依题意得4 800x+6 200(20-x)=112 800 B.依题意得4 800(20-x)+6 200x=112 800
C.派出大船8艘 D.派出小船14艘
6.某电商平台决定举办促销活动,对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高60%后标价,又以九折优惠卖出,结果每个耳机仍可获利8元,若设这种耳机每个的成本为a元,则可列方程:
　　　　　　　.
7.2025年春讲,随着《哪吒2》电影的爆火,某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办.已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元,按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元.若设每个“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为x元、y元,根据题意,可列方程组为　.
已知方程组和方程组的解相同.
(1)方程2x+y=8的解有　　　　个,它的正整数解为　　　　　　　　　　　　.
(2)这个相同的解为　　　　.
(3)a=　　　　,b=　　　　.
(4)若(2)中的解也是方程3x+my-1=0的解,则m的值为　　　　.
(1)二元一次方程的解有无数个.由2x+y=8,得y=8-2x,由x,y为正整数可确定x的值,再求出对应的y的值,即可得符合条件的解.
(2)把方程2x+y=8和x-y=1组成新的方程组,求出方程组的解.
(3)把(2)中方程组的解代入ax-by=-8 和bx+ay=-1,组成新的方程组,求出方程组的解.
(4)把问题(2)中的解代入方程3x+my-1=0,从而转化为求一元一次方程的解.
古人曰:“读万卷书,行万里路.”经历是最好的学习,研学是最美的相遇.伴着三月的春风,哼着欢快的曲调,方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动,师生一起去参观博物馆.下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话:
王老师:“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用,60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”
小真:“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观,一天的租金共计5 100元.”
小萱:“如果我们七年级租用45座的客车a辆,那么还有15人没有座位;如果租用60座的客车可少租2辆,且正好坐满.”
根据以上对话,解答下列问题:
(1)参加此次活动的七年级师生共有　　　　人.
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元
(3)若租用一种或两种客车均可,要使每位师生都有座位,且每辆客车恰好坐满,问有几种租车方案 哪一种租车方案最省钱
(1)根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆,那么还有15人没有座位;如果租用60座的客车可少租2辆,且正好坐满”,可得出关于a的一元一次方程,解之即可求出a的值,再将其代入45a+15中,即可得出结论.
(2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元,45座客车每辆每天的租金是y元,根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元”“租用4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观,一天的租金共计5 100元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
(3)设租用60座客车m辆,45座客车n辆,根据租用的客车要使每位师生都有座位,且每辆客车恰好坐满,可得出关于m,n的二元一次方程,结合m,n均为自然数,可得出各租车方案,再求出各租车方案所需租车费用,比较后即可得出结论.
命题点一　等式的基本性质
(2024·河北样卷)等式就像平衡的天平,能运用等式的基本性质说明如图事实的是(　　)
A.如果a=b,那么ac=bc(a,b,c均不为0)
B.如果a-c=b-c,那么a=b(a,b,c均不为0)
C.如果a=b,那么a+c=b+c(a,b,c均不为0)
D.如果a+c=b+c,那么a=b(a,b,c均不为0)
(2018·河北)有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等.现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是(　　)
A B
C D
命题点二　一元一次方程及其解法
(2024·河北样卷)试卷上有一道解方程的题:+1=x,□处在印刷时被油墨盖住了,查后面的答案知这个方程的解是x=-2,那么□处应该是(　　)
A.7 B.5 C.2 D.-2
(2025·河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为a,b.如图,将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起,形成长为81的纸条,则a+b=　　　　.
(2024·河北样卷)若“△”表示一种新运算,规定a△b=a×b-(a+b).
(1)计算:-3△5.
(2)计算:2△[(-4)△(-5)].
(3)若(-2)△(1+x)=-x+6,求x的值.
命题点三　二元一次方程(组)及其解法
(2025·台湾)若二元一次联立方程式的解为则a+2b之值为何 (　　)
A.33 B.9 C.-3 D.-27
(2025·凉山州)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,则x+y的平方根是(　　)
A.8 B.±8 C.±2 D.2
命题点四　一次方程(组)的实际应用
(2025·河北样卷)我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何 这道题大致意思是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份井外余绳四尺;如果将绳子折成四等份,那么每等份井外余绳一尺.问井深多少尺 下列说法正确的是(　　)
A.设井深为x尺,所列方程为3(x+4)=4(x-1)
B.设绳子的长为x尺,所列方程为x+4=x+1
C.绳子的长是32尺
D.井深为8尺
(2022·河北)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则正确的是(　　)
A.依题意3×120=x-120
B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120
C.该象的重量是5 040斤
D.每块条形石的重量是260斤
(2023·河北)某磁性飞镖游戏的靶盘如图,珍珍玩了两局,每局投10次飞镖,若投到边界则不计入次数,需重新投,计分规则如下:
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1 -2
在第一局中,珍珍投中A区4次,B区2次,脱靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分.
(2)第二局,珍珍投中 A区k次,B区3次,其余全部脱靶,若本局得分比第一局提高了 13 分,求k的值.
(2025·河北)一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0~100 ℃(本题涉及的温度均在此范围内),原长为l m的铜棒、铁棒受热后,伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y=αlx,其中α为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数αCu=1.7×10-5(单位:/℃);原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10-3 m.
(1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃,求该铜棒的伸长量.(用科学记数法表示)
(2)求铁的线膨胀系数αFe;若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×10-4 m,求该铁棒温度的增加量.
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃,求该铁棒温度的增加量.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①b±c　②ac　③1　④两　⑤1　⑥sAB
⑦sAC　⑧t乙+t
即时练
1.C
2.解:去分母,得3(2x-1)-(x+1)=9,
去括号,得6x-3-x-1=9,
移项,得6x-x=9+3+1,
合并同类项,得5x=13,
系数化为1,得x=.
3.2　解析:两个方程相加得3x+3y=6,∴x+y=2.
4.解:
②×5,得10x-5y=80,③
③-①,得7x=77,
解得x=11,
将x=11代入②,得22-y=16,
解得y=6,
故原方程组的解为
5.B　解析:设派出大船x艘,则派出小船(20-x)艘,依题意得4 800(20-x)+6 200x=112 800,解得x=12,20-12=8,∴派出大船12艘,派出小船8艘.故选B.
6.(1+60%)a×0.9-a=8
7.
重点难点·一题串讲
例1:(1)无数　
解析:由2x+y=8得y=8-2x,
∵x,y为正整数,∴
解得0(2)　解析:∵方程组
和方程组的解相同,∴方程2x+y=8和方程x-y=1有相同的解,联立解得
(3)-2　1　解析:由(2)可得方程组解得
(4)-4　解析:把x=3,y=2代入方程,得3×3+2m-1=0,解得m=-4.
例2:解:(1)420
解析:根据题意得45a+15=60(a-2),解得a=9,∴45a+15=45×9+15=420,∴参加此次活动的七年级师生共有420人.
(2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元,45座客车每辆每天的租金是y元,
根据题意得
解得
答:客运公司60座客车每辆每天的租金是900元,45座客车每辆每天的租金是750元.
(3)设租用60座客车m辆,45座客车n辆,
根据题意得60m+45n=420,
∴m=7-n.
又∵m,n均为自然数,
∴或或
∴共有3种租车方案,
方案1:租用60座客车7辆,所需租车费用为900×7=6 300(元);
方案2:租用60座客车4辆,45座客车4辆,所需租车费用为900×4+750×4=6 600(元);
方案3:租用60座客车1辆,45座客车8辆,所需租车费用为900×1+750×8=6 900(元).
∵6 300<6 600<6 900,
∴租车方案1最省钱.
河北中考·考向体验
1.D　
2.A　解析:设“”“”“”的质量分别为x,y,z.由A可得2x=3y;由B可得2z+x=2z+2y,从而有x=2y;由C可得z+x=z+2y,从而有x=2y;由D可得2x=4y,从而有x=2y,综上,只有A与其他三项不同.故选A.
3.B　解析:设□内的数字为y,将x=-2代入原方程,则+1=-2,解得y=5.故选B.
4.99　解析:由题意可知重叠部分为a=b,设重叠部分的长度为k,则a=3k,b=k,重叠后的总长度为a-k+(b-k)+k=81,即a+b-k=81,代入a=3k,b=k得3k+k-k=81,解得k=18,∴a+b=81+k=99.
5.解:(1)-3△5=(-3)×5-(-3 +5)=-15-2=-17.
(2)2△[(-4)△(-5)]=2△[(-4)×(-5)-(-4-5)]=2△29=2×29-(2+29)=27.
(3)根据题意可得-2(1+x)-(-2+1+x)=-x+6,
去括号,得-2-2x+2-1-x=-x+6.
移项,得-2x-x+x=6+2-2+1.
合并同类项,得-2x=7.
系数化为1,得x=-.
6.B　解析:把代入
得
①+②得60a=120,∴a=2,把a=2代入①得37×2+2b=81,∴b=3.5,∴a+2b=2+2×3.5=9.故选B.
7.C　解析:∵(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,∴
①-②,得x+y=8,∴x+y的平方根是±=±2.故选C.
8.D　解析:设井深为x尺,则3(x+4)=4(x+1),故选项A错误,不符合题意;设绳子的长为x尺,则x-4=x-1,故选项B错误,不符合题意;解方程3(x+4)=4(x+1)得,x=8,∴井深为8尺,绳长为3×(8+4)=36(尺),故选项C错误,不符合题意;选项D正确,符合题意.故选D.
9.B　解析:由题意得出等量关系为20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重,∵搬运工体重均为120斤,每块条形石的重量是x斤,∴20x+3×120=(20+1)x+120,∴A选项不正确,B选项正确;由题意可知一块条形石的重量=2个搬运工的体重,∴每块条形石的重量是240斤,∴D选项不正确;由题意得大象的重量为20×240+360=5 160(斤),∴C选项不正确.故选B.
10.解:(1)由题意,得4×3+2×1+4×(-2)=6(分).
答:珍珍第一局的得分为6分.
(2)由题意,得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13.
解得k=6.
11.解:(1)0.6×50×1.7×10-5=5.1×10-4(m).
答:该铜棒的伸长量为5.1×10-4 m.
(2)2.5×αFe×(80-20)=1.8×10-3,
解得αFe=1.2×10-5/℃,
设该铁棒温度的增加量为x1,根据题意得,1×1.2×10-5×x1=4.8×10-4,
解得x1=40 ℃.
答:铁的线膨胀系数αFe=1.2×10-5/℃,该铁棒温度的增加量为40 ℃.
(3)设该铁棒温度的增加量为x2,根据题意得,
1.7×10-5(x2-20)=1.2×10-5x2,
解得x2=68 ℃.
答:该铁棒温度的增加量为68 ℃.

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