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第7讲　分式方程及其应用
考点一　分式方程的定义及其解法
分式方程 的定义 分母中含有①　　　　的方程叫做分式方程
分式方程 的解法 基本 思路 把分式方程转化为②　　　　方程,即分式方程③　　　　方程
一般 步骤 (1)去分母,方程两边同乘各分式的最简公分母,化为整式方程. (2)解整式方程. (3)检验:将解得的整式方程的根代入最简公分母,若不为0,则是原分式方程的根;若为0,则为增根,应舍去,分式方程无解
分式方程 的增根 定义 当去分母后所得整式方程的根使分式方程中分母的值为0时,分式方程无解,这样的根叫做分式方程的增根
检验 方法 (1)利用方程的解的定义进行检验. (2)将解得的整式方程的根代入最简公分母,看计算结果是否等于0,若等于0,则为增根
产生 原因 增根是由于“去分母”造成的.去分母时,方程两边同乘的最简公分母为0时,对于整式方程来说,求出的根能使整式方程成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根
(1)去分母时,不要漏乘没有分母的项.
(2)分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为零的根.
1.下列方程:
①=2,②=3,
③,
④=5,⑤+1=0,其中,是关于x的分式方程的有　　　　.(填序号)
2.已知关于x的分式方程无解,则m的值为　　　　.
3.(冀教八上P20习题A组T1变式)解方程:.
考点二　分式方程的实际应用
用分式方程解实际问题的一般步骤
实际问题列分式方程解方程双检验答
常见的分式方程解题模型及数量关系
行程问题 =时间
工程问题 =工作完成时间(当题干中没有给出具体工作总量时,默认工作总量为1)
购买(利润)问题 =数量,=单价
双检验——(1)检验是否是分式方程的解.
(2)检验是否符合实际情况.
4.某船往返于某段河流,顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同,已知水流速度为每小时1千米.设船的静水速度是每小时x千米,根据题意,可列方程为　　　　　　.
5.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程为　 .
(多维设问)嘉淇准备完成题目:解分式方程:=2-,发现数字◆印刷不清楚.
(1)他把“◆”猜成5,请你解方程:=2-.
(2)若方程的解为x=0,则“◆”是几
(3)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几
(4)若这个方程=2-的解为正数,求m的取值范围.
(5)延伸:关于x的方程=2有整数解,直接写出整数m的值.
(1)直接根据解分式方程的步骤进行求解.
(2)把x=0代入分式方程求出“◆”的值.
(3)分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解得到x=3,将x的值代入去分母后的整式方程求出“◆”的值.
(4)分式方程的解为正数的意思是分式方程有解,即分母不等于零,且方程的解是正数,即x>0.据此列出不等式求解,从而确定m的取值范围.
(5)解这个分式方程可得x关于m的分式,若方程有整数解,则分子是分母的整数倍,故可求出整数m的值.
命题点一　分式方程及其解法
(2025·遂宁)若关于x的分式方程-1无解,则a的值为(　　)
A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3
(2023·河北)根据下表中的数据,写出a的值为　　　　,b的值为　　　　.
代数式 x
2 n
3x+1 7 b
a 1
(2025·河北样卷)习题课上,数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程:
习题1:计算.
解:
=·(x2-1)+·(x2-1) 第一步
=1+x(x-1) 第二步
=1+x2-1 第三步
=x2. 第四步
习题2:解方程=1.
解:方程两边同乘(x2-1),得
=x2-1, 第一步
1+x(x+1)=x2-1, 第二步
x=-2. 第三步
经检验,x=-2是原方程的解. 第四步
(1)分别写出习题1,习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的.
(2)从以上两道习题中任选一题,写出正确的解答过程.
命题点二　分式方程的实际应用
(2024·河北样卷)某工厂计划生产1 500个零件,但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数.在这个题目中,若设实际每天生产零件x个,可得方程=10,则题目中用“……”表示的条件应是(　　)
A.每天比原计划多生产5个,结果延期10天完成
B.每天比原计划多生产5个,结果提前10天完成
C.每天比原计划少生产5个,结果延期10天完成
D.每天比原计划少生产5个,结果提前10天完成
(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百公里的耗油费比耗电费约多50元,求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元,可列分式方程为　　　　　　　　.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①未知数　②整式　③整式
即时练
1.⑤
2.-1　解析:方程去分母得x-1=-m,解得x=1-m,当x=2时分母为0,分式方程无解,即1-m=2,解得m=-1.
3.解:去分母,得3(x+3)=5(x+1),
去括号,得3x+9=5x+5,
移项、合并同类项,得-2x=-4,
系数化为1,得x=2,
经检验,x=2是原方程的根.
4.
5.=30
重点难点·一题串讲
例:解:(1)方程整理,得=2+,去分母,得x=2(x-3)+5,解得x=1.检验:当x=1时,x-3≠0.
∴原分式方程的解为x=1.
(2)设原题中“◆”是a,
方程整理,得0=2+,
解得a=6,∴“◆”是6.
(3)设原题中“◆”是b,
方程整理,得=2+,
去分母,得x=2(x-3)+b,
由分式方程无解,得x=3.
把x=3代入整式方程,得b=3,
∴原题中“◆”是3.
(4)方程两边同乘(x-3),得x=2(x-3)+m,解得x=6-m.
∵方程=2-的解为正数,
∴6-m>0且6-m≠3,
解得m<6且m≠3.
(5)整数m的值为3,4,0.
解析:原分式方程去分母,得mx-1-1=2(x-2),
整理,得(m-2)x=-2.
当m≠2时,x=.
∵方程有整数解,∴m-2=±1或m-2=±2,
解得m=3,1,4,0.
∵x-2≠0,∴x≠2,∴≠2,∴m≠1,∴m=3,4,0.
河北中考·考向体验
1.D　解析:-1,,×(2-x)=×(2-x),3-ax=-a+x-2,ax+x=a+5,(a+1)x=a+5,因为关于x的分式方程无解,所以有=2或a+1=0,解得a=3或a=-1.故选D.
2.　-2　解析:当x=n时,3x+1=b,即3n+1=b,当x=2时,=a,即a=.当x=n时,=1,即=1,解得n=-1.经检验,n=-1是分式方程的解.∴b=3×(-1)+1=-2.
3.解:(1)习题1从第一步开始出现错误,习题2从第二步开始出现错误.
(2)习题1:
=
=
=.
习题2:=1,
方程两边同乘(x2-1),得1+x(x-1)=x2-1,
解得x=2.
经检验,x=2是原分式方程的解.
(答案不唯一,任选其一即可)
4.B　5.

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