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第8讲　一元二次方程及其应用
考点一　一元二次方程及其解法
定义及一般形式
定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是①　　　　的整式方程
一般 形式
解法
解法 适用情况或步骤
直接开 平方法 1.当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0). 2.形如(x+m)2=n(n≥0)的方程
因式 分解法 1.常数项为0,即方程ax2+bx=0(a≠0). 2.一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积
公式法 适用于所有一元二次方程,对于ax2+bx+c=0(a≠0),求根公式为②　　　　　　(b2-4ac≥0). 步骤: 1.使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式,方程的右边一定要化为0. 2.判断b2-4ac的正负,若b2-4ac③　　　　0,则原方程无实数根;若b2-4ac④　　　　0,则原方程有实数根,将a,b,c代入求根公式即可,代入公式时应注意其符号
配方法 适用于: 1.二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程. 2.各项的系数比较小且便于配方. 步骤:以2x2-8x+4=0为例. 1.变形:将二次项系数化为1,得x2-4x+2=0. 2.移项:将常数项移到方程的右边,得x2-4x=-2. 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2. 4.求解:用直接开平方法求解,得x1=2+,x2=2-
1.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为　　　　.
2.一元二次方程2x2-3x+1=x(x+1)化为一般形式是　　　　　　　.
3.(人教九上P25复习题21T1变式)按要求解下列一元二次方程:
(1)(2x+3)2=(3x+2)2(直接开平方法).
(2)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法).
(3)3x2+10=2x2+8x(公式法).
(4)x2-8x+1=0(配方法).
考点二　一元二次方程根的判别式
根的判别式:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.
根的情况与判别式的关系
(1)b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.
(2)⑤　　　　　　 方程有两个相等的实数根.
(3)⑥　　　　　　 方程无实数根.
4.(1)一元二次方程3x2-4x+1=0根的判别式b2-4ac的值是　　　　.
(2)若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根,则k的取值范围是　　　　.
考点三　一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦　　　　,x1·x2=⑧　　　　.
常见的转化模型
(1).
(2).
(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1.
利用根与系数的关系解题的前提是方程存在实数根,即根的判别式b2-4ac≥0.
5.(冀教九上P46习题A组T1变式)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两实数根.
(1)x1+x2=　　　　;x1x2=　　　　.
(2)若(x1+1)(x2+1)=8,求k的值.
考点四　一元二次方程的实际应用
变化率 问题 设a为原来的量,b为变化后的量, 当m为平均增长率,增长次数为2时,有a(1+m)2=b; 当m为平均下降率,下降次数为2时,有a(1-m)2=b
面积 问题 如图,设阴影部分的宽为x,图1中S空白=(a-2x)(b-2x);图2中S空白=(a-x)(b-x);通过平移的方法可得图3中S空白=(a-x)(b-x)
每每 问题 (1)常用公式:利润=售价-成本;总利润=每件利润×销售量. (2)每每问题中,单价每涨a元,少卖b件,若涨价y元,则少卖·b件
循环赛 问题 (1)单循环淘汰赛问题:设x队进行m场比赛,则=m. (2)互赠照片问题:全班x人,每人向其他人赠送一张,共赠送m张,则x(x-1)=m
6.(1)某商品经过连续两次降价,价格由100元降为64元.已知两次降价的百分率都是x,则x满足的方程是　　　　　　　.
(2)如图,某小区要在长为16 m,宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为　　　　m.
已知关于x的一元二次方程ax2-4x+1=0.
(1)若该方程有两个相等的实数根,则a的值为　　　　.
(2)若该方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围为　　　　　　.
(3)若该方程没有实数根,则a的取值范围为　　　　.
(4)若该方程有实数根,则a的取值范围为　　　　　　.
(1)(2)(3)(4)利用根的判别式结合相应情景求出a的值或取值范围.
若关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个实数根x1,x2,且x1+x2=x1x2,则m的值为　　　　.
由题意知方程有两个实数根,所以Δ≥0,所以m≥-,利用根与系数的关系及x1+x2=x1x2,可求m的值,注意验证m的值.
命题点一　解一元二次方程
(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=(　　)
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
命题点二　一元二次方程根的判别式
(2025·河北样卷)关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0中,k<0.则该方程的根的情况是(　　)
A.没有实数根 B.有两个正实数根
C.两根之积为-6 D.两根之和为1
(2019·河北)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是(　　)
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根
命题点三　一元二次方程根与系数的关系
(2024·河北样卷)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　)
A.2 B.0 C.1 D.2或0
(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2025·泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为　　　　.
命题点四　一元二次方程的实际应用
(2025·云南)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是(　　)
A.6 000(1+x)2=6 200 B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200 D.6 000x2=6 200
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①2　②x=　③<　④≥　⑤b2-4ac=0　⑥b2-4ac<0　⑦-　⑧
即时练
1.2　解析:∵方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,∴m+2≠0且|m|=2,解得m=2.
2.x2-4x+1=0　解析:一元二次方程2x2-3x+1=x(x+1)化为一般形式是x2-4x+1=0.
3.解:(1)(2x+3)2=(3x+2)2,
开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2.
解得x1=1,x2=-1.
(2)3x(x-1)=2(x-1),
整理,得3x(x-1)-2(x-1)=0.
因式分解,得(x-1)(3x-2)=0.
∴x1=1,x2=.
(3)3x2+10=2x2+8x,
整理,得x2-8x+10=0.
∵a=1,b=-8,c=10,
∴Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0.
∴方程有两个不相等的实数根,x==4±.
∴x1=4+,x2=4-.
(4)x2-8x+1=0,
移项,得x2-8x=-1.
配方,得x2-8x+42=-1+42,
即(x-4)2=15.
由此可得x-4=±.
解得x1=4+,x2=4-.
4.(1)4
(2)k<-1　解析:∵一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根,∴Δ=(-2)2-4×1×(-k)=4+4k<0,∴k<-1.
5.解:(1)2k+2　k2+2
(2)∵(x1+1)(x2+1)=8,
即x1x2+x1+x2+1=8,
∴k2+2+2k+2+1=8,
整理,得k2+2k-3=0,
解得k1=-3,k2=1.
∵此一元二次方程有两个实数根,
∴Δ=[-2(k+1)]2-4×1×(k2+2)≥0,解得k≥,
∴k的值为1.
6.(1)100(1-x)2=64　解析:根据题意得第一次降低后的售价是原来的(1-x),那么第二次降低后的售价是原来的(1-x)2,列方程得100(1-x)2=64.
(2)2　解析:设小路的宽为x m,则花坛的长为(16-2x)m,宽为(12-2x)m,由题意,得(16-2x)·(12-2x)=×16×12,整理得x2-14x+24=0,解得x=2或x=12(舍去),∴小路的宽为2 m.
重点难点·一题串讲
例1:(1)4　(2)a<4且a≠0　(3)a>4　(4)a≤4且a≠0
例2:3
河北中考·考向体验
1.C　解析:根据题意,得a2-2a=1,解得a=1±.∵a>0,∴a=+1.故选C.
2.C　解析:∵Δ=[-(k+1)]2-4×1×(-6)=(k+1)2+24>0,∴方程有两个不相等的实数根,故A错误;设x1,x2是一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的两个实数根,∴x1+x2=k+1,x1·x2=-6,故C正确,D错误;两根的符号相反,故B错误.故选C.
3.A　解析:将x=-1代入x2+4x+c'=0,得c'=3.∵c'比c小2,∴c=5.∴原方程为x2+4x+5=0,b2-4ac=42-4×1×5=-4<0.∴原方程不存在实数根.故选A.
4.B　解析:设x1,x2为方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根.由题意,得x1+x2=-(a2-2a).∵x1,x2互为相反数,∴x1+x2=-(a2-2a)=0,∴a=0或a=2.当a=2时,原方程无实数根,∴ a=0.故选B.
5.C　解析:原方程x(x+2)-3=0展开并整理为标准形式:x2+2x-3=0,其中a=1,b=2,c=-3.∴m=-=-=-2,n==-3.∴点(m,n)即(-2,-3)在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C.
6.10　解析:将x=α代入原方程得2α2-6α-1=0,∴2α2-6α=1.∵一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,∴α+β=3,∴2α2-3α+3β=(2α2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10.
7.A

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