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第9讲　一元一次不等式(组)及其应用
考点一　不等式的基本性质
性质1 不等式两边加上(或减去)同一个数(或同一个整式),不等号的方向不变,即如果a>b,那么a±c>b±c 应用:解不等式中的移项
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向①　　　　,即如果a>b,c>0,那么ac②　　　　bc或③　　　　 应用:解不等式中的去分母(或系数化为1)
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向④　　　　,即如果a>b,c<0,那么ac⑤　　　　bc或⑥　　　　 应用:解不等式中的去分母(或系数化为1)
运用不等式的基本性质3时,不等号方向要改变.
1.(人教七下P120习题9.1T4变式)如果x>y,那么下列正确的是(　　)
A.x+5≤y+5 B.x-5C.5x>5y D.-5x>-5y
2.已知a>b,则一定有-8a-1□-8b-1,“□”中应填的符号是　　　　.(填“>”或“<”)
考点二　一元一次不等式的解法及其解集
一元一次不等式:只含有⑦　　　　个未知数,且未知数的次数是⑧　　　　的不等式,叫做一元一次不等式,其一般形式是ax+b>0或ax+b<0(a≠0).
一元一次不等式的解法步骤及解集表示
解法步骤 (1)去分母.(2)去括号.(3)移项.(4)合并同类项.(5)系数化为1(特别注意性质3的变号)
解集在数 轴上的 表示 x”“<”时画空心圆圈;定方向:小于向左画折线,大于向右画折线
x⑨　　　　a
x>a
x⑩　　　　a
3.已知(m+3)x|m|-2+2>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为　　　　.
4.如图,数轴上所表示的关于x的不等式的解集为　　　　.
5.解不等式,将解集在数轴上表示出来.
(1)4x+5≥6x-3.
(2)-1>.
考点三　一元一次不等式组的解法及其解集
解一元一次不等式组的步骤
(1)解每一个一元一次不等式.
(2)在数轴上表示各不等式的解集.
(3)确定公共部分.
(4)写出不等式组的解集.
不等式组的解集类型及表示
类型(a>b) 在数轴上的表示 口诀 解集
同大取大
同小取小 x大小小大 取中间
大大小小 取不了 无解
解一元一次不等式组,通常采用“分而解,合而定”的方法,即先单独解每一个不等式,然后确定这几个不等式的解集的“公共部分”.在确定这几个不等式的解集的“公共部分”时,可以借助“数轴法”或“口诀法”确定不等式组的解集.
6.若关于x的不等式组的解集表示在数轴上如图所示,则这个不等式组的解集为　　　　.
7.解不等式组请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①,得　.
(2)解不等式②,得　.
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
(4)原不等式组的解集是　　　　.
考点四　一元一次不等式(组)的实际应用
列不等式解应用题的基本步骤为:(1)审题.(2)设未知数.(3)列不等式.(4)解不等式.(5)检验并写出答案.
解决不等式的实际应用问题时,常见的关键词与不等号的对应表:
常见关键词 不等号
大于,多于,超过,高于 >
小于,少于,不足,低于 <
至少,不低于,不小于,不少于
至多,不高于,不大于,不超过
列不等式(组)解应用题的关键是根据题意找出题目中的不等关系或隐含的不等关系,再根据相应的关系列出不等式(组).有时在解出不等式(组)之后,还要根据实际情境适当取舍,选出符合要求的答案来.例如:人数必为正整数,当x表示人数且x≥3时,则x的最小值为4,即至少有4人.
8.(1)“x与y的5倍的和是非负数”用不等式可表示为　　　　.
(2)今年3月份,小丽种了一棵高75 cm的小树,假设小树平均每月长高2 cm,x月后这棵小树的高度不超过100 cm,所列不等式为　　　　.
(3)某次知识竞赛共有25道选择题,答对一题得4分,答错或不答一题扣1分.若小明希望得分不少于80分,则他至少需要答对　　　　道题.
9.在学校读书讲活动中,老师把一些图书分给勤奋小组的同学们.如果每人分5本,那么剩余12本;如果每人分8本,那么最后一人虽分到书但不足8本,问勤奋小组的人数是多少 设勤奋小组有x人,则可列不等式组为　　　　　　　　　.
嘉淇解不等式组时,发现常数“□”印刷不清楚.
(1)嘉淇先解不等式-1,解题过程如下:
解:去分母,得2(x-2)<3(x+1)-1. 第一步
去括号,得2x-2<3x+1-1. 第二步
移项、合并同类项,得-x<-2. 第三步
两边都除以-1,得x<1. 第四步
①请指出他解答过程中从第　　　　步开始出现错误;
②写出正确的解答过程,并把解集在数轴上表示出来.
(2)他把“□”猜成3,请你解不等式组
(3)王老师将题目做了一下变式,若不等式组
的解集为x>-1,请求常数“□”的取值范围.
(4)从的整数解中,任意抽取一个,若抽到的解是正整数的概率为,则常数a的取值范围为　　　　.
(1)①根据解不等式的步骤进行判断;②直接根据不等式的解法求解.
(2)分别解出两个不等式的解集求出公共部分即可.
(3)先解不等式组中的两个不等式,再根据解集为x>-1,确定“□”的取值范围即可.
(4)分别求出不等式组中的不等式的解集,再根据概率的值求出常数a的取值范围.
命题点一　不等式的基本性质
(2021·河北)已知a>b,则一定有-4a□-4b,“□”中应填的符号是(　　)
A.> B.< C.≥ D.=
(2024·河北样卷)若要使a-5>b-5成立,则a,b的关系正确的是(　　)
A.a>b B.a命题点二　一元一次不等式的解法及其解集
(2024·河北)下列数中,能使不等式5x-1<6成立的x的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2020·河北)已知两个有理数:-9和5.
(1)计算:.
(2)若再添一个负整数m,且-9,5与m这三个数的平均数仍小于m,求m的值.
(2022·河北)整式3-m的值为P.
(1)当m=2时,求P的值.
(2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值.
命题点三　
(2024·河北样卷)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为(　　)
A　 B
C　 D
(2025·南充)不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是　　　　.
(2025·内江)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是　　　　.
(2025·河北)(1)解不等式2x≤6,并在如图所给的数轴上表示其解集.
(2)解不等式3-x<5,并在如图所给的数轴上表示其解集.
(3)直接写出不等式组的解集.
命题点四　
(2019·河北)语句“x的与x的和不超过5”可以表示为(　　)
A.+x≤5 B.+x≥5
C.≤5 D.+x=5
(2021·河北)已知训练场球筐中有A,B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌乒乓球有x个.
(1)淇淇说:“筐里B品牌乒乓球是A品牌乒乓球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)据工作人员透露:B品牌乒乓球比A品牌乒乓球至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌乒乓球最多有多少个.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①不变　②>　③>　④改变　⑤<　⑥<　⑦一　⑧1　⑨≤　⑩≥　x≥a
b即时练
1.C　2.<　3.3　4.x≤3
5.解:(1)∵4x+5≥6x-3,
∴4x-6x≥-3-5,
-2x≥-8,
x≤4.
解集在数轴上表示如下:
(2)∵-1>,
∴3(x-3)-6>2(x-5),
3x-9-6>2x-10,
3x-2x>-10+9+6,
x>5.
解集在数轴上表示如下:
6.17.解:(1)x≤3
(2)x≥-1
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示:
(4)-1≤x≤3
8.(1)x+5y≥0
(2)75+2x≤100
(3)21　解析:设要答对x道题,则答错或不答(25-x)道题,由题意可得4x+(-1)×(25-x)≥80,解得x≥21.
9.　解析:勤奋小组有x人,∵如果每人分5本,那么剩余12本,∴图书的总数为5x+12,∵如果每人分8本,那么最后一人虽分到书但不足8本,∴可列不等式组为0<5x+12-8(x-1)<8,即
重点难点·一题串讲
例:解:(1)①一
②去分母,得2(x-2)<3(x+1)-6.
去括号,得2x-4<3x+3-6.
移项、合并同类项,得-x<1.
系数化为1,得x>-1.
解集在数轴上表示如图:
(2)解不等式①,得x>-1.
解不等式②,得x>2.
∴不等式组的解集为x>2.
(3)设常数“□”为m,解不等式2(x-m)>x-4,得x>2m-4.∵不等式-1的解集为x>-1,不等式组的解集为x>-1,∴-1≥2m-4.∴m≤.
(4)3河北中考·考向体验
1.B　解析:不等式a>b两边同乘-4,不等号的方向改变,所以-4a<-4b,所以“□”中应填的符号是“<”.故选B.
2.A　解析:根据不等式的基本性质1,由a-5>b-5,可得a>b.故选A.
3.A　解析:解不等式5x-1<6,得x<.故选A.
4.解:(1)=-2.
(2)由题意,得-2.所以负整数m的值为-1.
5.解:(1)P=3×-2=1-6=-5.
(2)由数轴知,P≤7,即3-m≤7,解得m≥-2.∵m为负整数,
∴m=-1或-2.
6.B　解析:由x+1≥3,得x≥2.由-2x-6>-4,得x<-1.∴其解集在同一条数轴上表示出来为.故选B.
7.m≤3　解析:由x-3>-1得x>2,由-x<-m+1得x>m-1,∵不等式组的解集为x>2,∴m-1≤2,解得m≤3.
8.-17≤P<-7　解析:∵G(x,y)=x+3y,∴关于a的不等式组
即为
解不等式①,得a≤1,解不等式②,得a>.∵不等式组有3个整数解,∴整数解为-1,0,1,∴-2≤<-1,∴-17≤P<-7.
9.解:(1)2x≤6,
系数化为1,得x≤3,
解集在数轴上表示如图.
(2)3-x<5,
移项,得-x<5-3,
合并同类项,得-x<2,
系数化为1,得x>-2,
解集在数轴上表示如图.
(3)不等式组的解集为-210.A　解析:“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5.故选A.
11.解:(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x,解得x=33.又∵x为整数,∴x=33不合题意.∴淇淇的说法不正确.
(2)A品牌乒乓球有x个,则B品牌乒乓球有(101-x)个,依题意,得101-x-x≥28.解得x≤36.又∵x为整数,∴x可取的最大值为36.
∴A品牌乒乓球最多有36个.