资源简介

第一讲　实数
考点一　实数的分类及正负数的意义
实数的分类
(1)按定义分
实数
常考无理数的四种类型:
a.π及化简后含π的数,如2π,π+3等.
b.开方开不尽的数,如,,,等.
c.虽有规律但是无限不循环小数,如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)等.
d.化简后含有根号的三角函数值,如sin 60°,tan 30°等.
(2)按正负分
实数
正负数的意义:正负数可以用于表示一组具有相反意义的量.如规定“盈利(+)”则“亏损(-)”,“胜(+)”则“负(-)”,“收入(+)”则“支出(-)”,“零上(+)”则“零下(-)”,“水位上升(+)”则“水位下降(-)”等.
(1)0是正数和负数的分界.
(2)非负数包含正数和0.
(3)-a不一定是负数,如-(-2)=2是正数.
1.(冀教八上P71练习T2变式)下面各数中:0.,,,0,,-1,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间依次多一个0),无理数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;正数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;负数有　　　　;既不是正数,也不是负数的有　　　　.
2.(人教七上P4练习T3变式)大年三十,米米一家在家庭微信群里抢红包,米米抢到了35元,微信账单显示+35元,妈妈发出了一个66元的红包,那么妈妈的微信账单会显示　　　　元,爸爸的微信账单显示+20元,表示　　　　　　.
考点二　实数的相关概念
数轴
(1)三要素:
(2)实数与数轴上的点是③　　　　的.
相反数
定义 只有④　　　　不同的两个数互为相反数
几何 意义 在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离⑤　　　　,即表示这两个数的点关于⑥　　　　对称
性质 (1)非零实数a的相反数为⑦　　　　,特别地,0的相反数是⑧　　　　. (2)实数a,b互为相反数 a+b=⑨　　　　,=⑩　　　(b≠0)
绝对值
定义 一般地,数轴上表示数a的点与　　　　的距离叫做数a的绝对值.数a的绝对值表示为　　　　
几何 意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离,离原点越远的点表示的数的绝对值越　　　
性质 |a|=绝对值具有非负性
绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即若|a|=|b|,则a=b或a+b=0.
倒数
定义 乘积是1的两个数互为倒数
性质 (1)非零实数a的倒数是　　　　. (2)实数a,b互为倒数 ab=　　　
特殊情况 　　　　没有倒数,倒数等于它本身的数是　　　　
3.(北师七上P32随堂练习T2变式)如图,数轴上有A,B,C,D四个点,请回答下列问题:
(1)到原点距离相等的两个点是　　　　和　　　　.
(2)点A位于-5和-4的正中间,则点A表示的数的倒数是　　　　.
(3)点D表示的数的相反数是　　　　.
(4)点B表示的数的绝对值是　　　　.
(5)若数轴上存在一点P,使BP=2BD,则点P表示的数是　　　　.
4.(人教七上P30练习T3变式)的倒数是　　　　,
0.5的倒数是　　　　,
-1的倒数是　　　　.
5.(冀教七上P56复习题A组T2改编)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2.
(1)直接写出a+b,cd,m的值.
(2)求m+3cd+的值.
考点三　科学记数法
　　用科学记数法把一个数表示成a×10n的形式时,关键是确定a和n的值.
确定a的值:　　　　≤|a|<　　　　.
确定n的值:当原数的绝对值≥10时,n为　　　　,n的值等于原数的整数位数减1或原数变为a时小数点向左移动的位数;当0<原数的绝对值<1时,n为　　　　,n的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前0的个数(包括小数点前面的0)或原数变为a时小数点向右移动的位数.
将用科学记数法表示的数a×10n还原成原数:当n为正整数时,只需将a的小数点向右移动n位,如果a中的位数不够,那么用“0”补位;当n为负整数时,只需在a前补|n|个0,小数点在第一个0后.
对于含计数(量)单位的数用科学记数法表示时,可先把计数(量)单位转换为数字,然后用科学记数法来表示.常考的计数单位有1千=103,1万=104,1亿=108等;常考的计量单位有1 mm=10-3 m,1 μm=10-6 m,1 nm=10-9 m等.
6.(1)用科学记数法表示下列各数:
①2 440 000=　　　　.
②0.000 000 004 5=　　　　.
③=　　　　.
④2×105+6×105=　　　　.
⑤12亿=　　　　.
(2)361 000 000用科学记数法表示为3.61×10n,则n的值为　　　　.
7.将6.5×107还原成原数为　　　　,将6.05×10-7还原成原数为　　　　.
考点四　近似数和精确度
近似数:与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数,如:π取3.14,身高约168 cm,这里说的3.14和168都是近似数.
精确度:近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示.一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.
实际生活情境中有时还用到进一法和去尾法,如租车等取整数的情形.
8.用四舍五入法,对下列各数按要求取近似数.
(1)0.632 8精确到0.01为　　　　.
(2)130.96精确到十分位为　　　　.
(3)1 249 882精确到千位为　　　　.
考点五　平方根、算术平方根、立方根
平方根 实数a(a≥0)的平方根为　　　　;正数有两个平方根,且互为　　　　;0的平方根为　　　　;负数没有平方根
算术平 方根 实数a(a>0)的算术平方根为　　　　;0的算术平方根为　　　　;负数没有算术平方根
立方根 实数a(a为任意实数)的立方根为
(1)算术平方根等于它本身的数是0,1;立方根等于它本身的数是0,±1.
(2)所有的数都有一个立方根,且与原数同号.
9.填空:
(1)81的平方根是　　　　;
的算术平方根是　　　;
-27的立方根是　　　　.
(2)=　　　　;
±=　　　　;
=　　　　.
考点六　非负数
非负数 在实数范围内,正数和0统称为非负数,常见的非负数: (1)任意实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0. (2)任意实数a的偶次方是非负数,即a2n≥0,n为正整数. (3)任意非负数a的n次算术根是非负数,即≥0(a≥0),常考≥0(a≥0)
非负数 的和 若几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0,如: (1)若a2+b2=0,则a=0且b=0. (2)若|a|+|b|=0,则a=0且b=0. (3)若=0,则a=0且b=0. (4)若a2+|b|+=0,则a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　
10.若|a-2|++(c-4)2=0,则a-b+c=　　　　.
11.若=n2+2n+1=0,则mn=　　　　.
如图,在数轴上a,b,c三个数所对应的点分别为A,B,C.已知b是最小的正整数,且a,c满足|a+2|与(c-7)2互为相反数,请回答问题:
(1)a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.
(2)点A与点B之间的距离为　　　　个单位长度.
(3)若将数轴折叠,使点A与点C重合,则点B与数　　　　对应的点重合.
(4)若将OB(O为原点)分成200等份,则离原点最近的点表示的数用科学记数法可表示为　　　　.
(5)点P为一动点,其表示的数为x,当点P在A,B之间(包括A,B)运动时,请化简式子:|x+2|-|x-1|-|x+5|.(请写出化简过程)
(6)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点C以每秒1个单位长度的速度向右运动,假设经过t秒,点B与点C之间的距离为BC,点A与点B之间的距离为AB,则BC=　　　　,AB=　　　　,并求出BC-AB的值.
(1)∵|a+2|与(c-7)2互为相反数,
∴|a+2|+(c-7)2=0.
(2)根据(1)中A,B表示的数确定距离的值.
(3)因为将数轴折叠,使点A与点C重合,由(1)知a,c,则可求出AC的中点.根据点B和与点B重合的点的中点与点A和点C的中点相同,即可求出与点B重合的点.
(4)根据题意知此数是绝对值小于1的分数,先将分数化成小数,再用科学记数法表示.
(5)根据点P的位置,可以确定x的范围,然后根据|a|的符号法则得出结果.
(6)数轴上两点M,N表示的数分别是m,n,则M,N两点之间的距离MN=|m-n|.
命题点一　实数的分类及正负数的意义
(2019·河北)规定:(→2)表示向右移动2,记作+2,则(←3)表示向左移动3,记作(　　)
A.+3 B.-3 C.- D.+
(2025·广州)下列四个选项中,负无理数的是(　　)
A.- B.-1 C.0 D.3
命题点二　实数的相关概念
(2025·青岛)-6的相反数为(　　)
A.-6 B.6 C.- D.
(2025·连云港)-5的绝对值是(　　)
A.5 B.-5 C. D.
(2025·资阳)已知数轴上点A所表示的数是,则与点A相距2个单位长度的点表示的数是(　　)
A.+2或-2 B.2+或2-
C.+2 D.-2
(2021·河北)如图,将数轴上-6与6两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则下列结论正确的是(　　)
A.a3>0 B.|a1|=|a4|
C.a1+a2+a3+a4+a5=0 D.a2+a5<0
命题点三　科学记数法
(2023·河北)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于9.46×1012 km,下列正确的是(　　)
A.9.46×1012-10=9.46×1011
B.9.46×1012-0.46=9×1012
C.9.46×1012是一个12位数
D.9.46×1012是一个13位数
(2022·河北)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为(　　)
A.4×104 m2 B.16×104 m2
C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2
(2019·河北)一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为(　　)
A.5×10-4 B.5×10-5
C.2×10-4 D.2×10-5
(2020·河北)已知光速为300 000 km/s,光经过t s(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n km,则n可能为(　　)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
(2021·河北)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元.
(1)用含m,n的代数式表示Q.
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
命题点四　近似数和精确度
(2024·河北样卷)5.0×102精确到(　　)
A.十分位 B.个位 C.十位 D.百位
命题点五　平方根、算术平方根、立方根
(2025·青海)4的算术平方根是　　　　.
(2025·长春)8的立方根是　　　　.
命题点六　非负性的应用
(2025·广安)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(a,b),且a,b满足(a-2)2+|b+3|=0,则点A在第　　　　象限.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①无限不循环小数　②0　③一一对应　④符号　⑤相等　⑥原点　⑦-a　⑧0　⑨0　⑩-1　原点　|a|　大　a -a　　1　0　±1　1　10　正整数　负整数　±　相反数　0　　0　0　0 0
即时练
1.,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间依次多一个0)
0.,,,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间依次多一个0)
,-1　0
2.-66　抢到了20元红包
3.(1)B　D　(2)-　(3)-2　(4)2
(5)-10或6
4.　2　-
5.解:(1)a+b=0,cd=1,m=±2.
(2)当m=2时,原式=2+3×1+=2+3+0=5;
当m=-2时,原式=-2+3×1+=-2+3+0=1.
综上,m+3cd+的值为5或1.
6.(1)①2.44×106　②4.5×10-9
③10-4　④8×105　⑤1.2×109
(2)8
7.65 000 000　0.000 000 605
8.(1)0.63　(2)131.0　(3)1.250×106
9.(1)±9　2　-3　(2)6　±0.9　-2
10.9　解析:∵|a-2|++(c-4)2=0,∴a-2=0,b+3=0,c-4=0,∴a=2,b=-3,c=4,∴a-b+c=2-(-3)+4=9.
11.2　解析:∵=n2+2n+1=0,
∴m+2=0,n2+2n+1=(n+1)2=0,
∴m=-2,n=-1,∴mn=-2×(-1)=2.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)-2　1　7　(2)3　(3)4
(4)5×10-3
(5)根据题意可得-2≤x≤1,
∴原式=x+2+x-1-x-5=x-4.
(6)6+t　3+t
解析:经过t秒,点A表示的数是-2-t,点C表示的数是7+t,∴BC=7+t-1=6+t,AB=1-(-2-t)=3+t.
BC-AB=6+t-(3+t)=3.
河北中考·考向体验
1.B　2.A　3.B　4.A
5.A　解析:数轴上点A表示的数是,与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧.当该点在点A右侧时,表示的数为+2.当该点在点A左侧时,表示的数为-2.因此,该点表示的数为+2或-2.故选A.
6.C　解析:-6与6两点间的线段的长度=6-(-6)=12,六等分后每个等分的线段的长度=12÷6=2,∴a1,a2,a3,a4,a5表示的数分别为-4,-2,0,2,4,A.a3=0,故该选项错误;B.|-4|≠2,故该选项错误;C.-4+(-2)+0+2+4=0,故该选项正确;D.-2+4=2>0,故该选项错误.故选C.
7.D　解析:9.46×1012=9 460 000 000 000,是一个13位数.故选D.
8.C　解析:(4×102)×(4×102)=16×104=1.6×105(m2).故选C.
9.D　解析:=0.000 02=2×10-5.故选D.
10.C　解析:当t=1时,光的传播距离为1×300 000=3×105(km),则n=5;当t=10时,光的传播距离为10×300 000=3×106(km),则n=6.∵1≤t≤10,∴n可能为5或6.故选C.
11.解:(1)由题意可得Q=4m+10n.
(2)当m=5×104,n=3×103时,Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105.
12.C　13.2　14.2
15.四　解析:∵(a-2)2+|b+3|=0,∴a-2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,∴点A的坐标为(2,-3),在第四象限.

展开更多......

收起↑