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4.5 函数模型及其应用 第一课时
一
几种函数增长快慢的比较
　　当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数y=logax都是增函数；我们早已熟悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0时是［0，+∞)上的增函数. 这些函数的函数值y都随着自变量x的增长而增长．
　　增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长．同为增长，但增长的快慢可能不同．这好比赛跑，有冠军亚军，也有排不上名次的．
　　赛跑有赛跑的规则．到最后跑到前面的才是胜利者．
一
几种函数增长快慢的比较
　　　　比较　　　和　　　在[0，＋∞)上增长的快慢.
　解　如图4.5-1所示．
例
1
图4.5-1
一
几种函数增长快慢的比较
　　开始　　　 一路领先，但越来越慢； 匀速前进；在x＝16处两者相等．
　　当x＞16时，x2＞16x，两边开方得　　　 ，即一直有 ，而且前者与后者之比 越来越大，所以 增长得更快．
　　开运动会常常要分组选拔，函数赛跑也可以先分组比一比．我们考虑五类在(0，＋∞)上递增的函数：
　　指数函数y＝ax(a＞1)算A组；幂函数y＝xα(α＞1)算B组；一次函数y＝kx＋b (k＞0)算C组；幂函数y＝xα(0＜α＜1)算D组；对数函数y＝logax(a>1)算最后一组，E组．
一
几种函数增长快慢的比较
　　同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓．
　　从图4.5-2(1)看出，A组内，a越大跑得越快；E组内，a越小跑得越快．
　　从图4.5-2(2)看出，B组和D组一起比赛，都是α越大跑得越快．
图4.5-2
一
几种函数增长快慢的比较
　　现在来看C组，一次函数y＝kx＋b (k>0).
　　如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常数．起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变．从图象上看，是两条平行直线．
　　如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的跑得就快．不管起跑时落后有多少，系数大的总能后来居上，而且将遥遥领先．在方格纸上画几个一次函数的图象便能看出这个规律.
　　小组选拔赛的情形一目了然．组与组之间的比赛呢？
　　上面已经对B，D两组做了比较．
　　数学上可以证明，B组的任一个成员y＝xα(α＞1)总比C组的y＝kx＋b (k>0)增长得快．
一
几种函数增长快慢的比较
　　　　比较y=x1.0001和y=100x+1000在[0，＋∞)上增长的快慢.
　解　当x>1000时，有101x>100x+1 000，因而有
　于是，对任意正数M >1，当x>(101M)10000>1000时，有
　这表明无论M多大，当x大到一定程度，y=x1.0001就会比y=100x+1000的M倍还大.
例
2
一
几种函数增长快慢的比较
　　可见，当幂指数大于1时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大，只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多.
　　类似地，C组的函数总比D组增长得快．
　　总之，指数增长最快，对数增长最慢．
　　在区间(0，＋∞)上，a>1，a>0，总会存在一个x0，当x> x0时，就有logax一
几种函数增长快慢的比较
　　指数增长快，大家印象比较深；对数增长慢，一般不大注意．
　　一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为底的对数，上百万人口的城市，要发展到上千万，才需要把电话号码增加一位．所以电话号码的升位是一个城市的大事，也说明对数的增长多么艰难．
　　查英汉词典，从几万个单词中查一个单词，或从几十万个单词中查一个单词，用的工夫差不多，都要不了多久．这是因为，由于合理编排，查字典的工作量是字数的对数函数，字数增长几倍，多查几秒而已．
一
几种函数增长快慢的比较
　　在互联网上搜索资料或在计算机上查找数据，
能迅速地从海量数据中找到有关的网页或文件．
这也是因为，数据经过合理组织，搜索工作量是
数据量的对数函数．
　　但要注意，这里讲的是自变量足够大的情形．具体问题要具体分析：自变量变化范围有多大，能不能提供空间让指数函数表演一番？在银行存上10000元，设年利率为3%，每年自动转存，n年后连本带利是10000(1＋0.03)n元. 这笔钱的增长是指数增长．算一算，多少年才能成为亿万富翁？
一
几种函数增长快慢的比较
　　函数增长快慢的比较，还可以看速度的变化，看它是越跑越快呢，还是越跑越慢．
　　计算速度的简单办法，是看单位时间内走过的路程．例如当自变量加1时，看函数值改变多少，也就是看f(x＋1)－f(x)的大小．
　　下面，每组派一个代表来比较．先看函数值的比较表：
一
几种函数增长快慢的比较
　　再看增长量的比较表，分析这五个函数增长速度的变化各有什么特点.
一
几种函数增长快慢的比较
　　从表中最后两行可以看出，　　　和　　　　这两个函数的增长量都随着x的增加而变小．但是，这两个函数增长速度的快慢，暂时还看不出明显的差别．作为练习，可以在计算机上算算看.
　　比较函数增长的快慢，有些情形从图上很难看出来.
一
几种函数增长快慢的比较
　　图4.5-3是函数y=1.01x和y=2x的图象，仅仅从这个图，看得出y=1.01x后来能远远超过y=2x吗？
图4.5-3
一
几种函数增长快慢的比较
　　图4.5-4是函数 和y=log1.05x的图象，仅仅从这个图，看得出 后来能远远超过y=log1.05x吗？
图4.5-4
一
几种函数增长快慢的比较
　　1.在银行存10000元，假设年利率为2%，每年结算自动转存. 多少年达到10万元？多少年达到100万元？
　　2.用不等式推理或借助计算机，比较函数y=log2x和　　　增长的快慢.
　　3.用不等式推理或借助计算机，比较函数y=1.01x和y=x3增长的快慢.
练 习
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谢谢观看4.5 函数模型及其应用 第一课时教学设计
一、内容分析
本节课是高中数学第一册《第4章幂函数、指数函数和对数函数》的第五课，也是学生学习完常见的几种函数及其性质后的拓展学习. 本课时内容结合实际生活中的例子，体会不同增长的函数模型的意义及增长差异，要求学生利用函数图象及数据表格，从特殊到一般，比较一次函数、指数函数、幂函数和对数函数的增长快慢. 课程标准对本节课内容提出具体要求，即结合现实情境中的具体问题，了解不同增长规律的函数模型，数形结合，借助信息技术比较其增长速度的差异.
二、教学目的
通过实例理解 “对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义，借助信息技术，比较一次函数、指数函数、幂函数和对数函数的增长快慢.
三、重点难点
重点：函数增长快慢比较的常用途径.
难点：了解影响函数增长快慢的因素.
四、核心素养
○直观想象、●数学运算、●数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、●数学建模．
五、教学准备
课件；
联网演示电脑.
六、教学流程
情景引入 -> 微课学习-> 新知探索--> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
㈠ 情景引入 情景问题：观察下面的实例：（1）奥运赛场中的百米赛跑，运动员开始都在加速，有的跑在前面，有的落在后面，经过途中跑，前后的运动员可能换位，到最后跑到前面的才是胜利者. （2）当底数时，指数函数和对数函数都是增函数；我们熟悉的一次函数，当时也是增函数；幂函数，当时是区间上的增函数，虽然它们都是增函数，同为增长，但增长的快慢可能不同. 引导学生交流讨论：如何判断函数增长的快慢，用什么方法去比较几个函数增长的快慢？ 1.故事情景激发学习兴趣.2.通过实例结合图象，帮助学生理解 “直线上升”、“指数爆炸”等术语的含义. 3分钟
㈡ 微课学习 微课：《【趣味微课】4.5.1几种函数增长快慢的比较》借助图象和表格依次比较一次函数、指数函数、幂函数和对数函数的增长快慢 播放微课，适当时机暂停，或板书知识点，或引导学生思考与回答问题；或解决学生疑惑. 利用形象生动的微课，帮助理解新知. 10分钟
㈢ 新知探索 从已学过的函数图像入手比较同种函数和不同种函数增长的快慢1.画出幂函数的图像,比较增长快慢.请学生探究：画出指数函数和对数函数的图像，比较其增长快慢. 师：从幂函数图象可以发现什么变化规律？生：由图象可知，在要领先于，但是当时，前者就要落后于后者。的 增长速度要远远快于。 举函数实例，由特殊到一般，结合图象探究规律. 5分钟
㈣ 典例剖析 例1．比较函数和在上增长的快慢。比较函数和在上增长的快慢。总结当足够大时，一般的，指数函数增长速度大于幂函数的增长速度大于一次函数增长速度大于对数函数的增长速度。函数增长的快慢不等于函数值的大小，其函数值的大小还取决于初始参数或比较函数增长的快慢时有些情形从图上很难看出来，可以借助表格或者GGb动态演示观察。 师生合作探究两个不同种函数的变化快慢，得出结论:当,函数增长较快；当,函数增长较快；2. 计算函数增量，从数学的角度准确的感知几种函数增长的快慢函数增长快慢的比较还可以看速度的变化。计算速度的简单办法，是看单位时间内走过的路程，例如当自变量加1时，看函数值改变多少，也就是看的大小。下面，每组派一个代表来比较。先看几组函数值的比较表：再看增长量的比较表：从表中可看出，增长速度最快，增长速度次之，线性函数增长速度不变，后两行增长速度看不出明显差别，可以用绘图软件扩展自变量的范围来看其增长速度。 例1比较容易从图象上看出来变化快慢的一次函数和幂函数，帮助学生直观感受.例2用不同的方法比较三种函数的变化快慢，得出结论. 15分钟
㈤ 练习巩固 练习：在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象并比较它们的增长快慢： 给出练习，学生借助信息技术在学案、或书、或练习纸上写出答案. 利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 通过实践探究，帮助学生进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤 5分钟
㈥ 归纳小结 本节课你有哪些收获？ 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
观察图象，比较同种函数增长的快慢：幂函数指数函数对数函数 观察图象，比较不同种函数增长的快慢：和
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