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专题4　平面向量及其应用、复数
考点 考情考向 考频
平 面 向 量 平面向量的概念、运算 2022年新课标Ⅰ卷T3 2023年新课标Ⅱ卷T13 2024年新课标Ⅱ卷T3 3年3考
平面向量基本定理及坐标表示 2022年新课标Ⅱ卷T4 2023年新课标Ⅰ卷T3 2024年新课标Ⅰ卷T3 3年3考
平面向量的应用(解三角形) 2022年新课标Ⅰ卷T18 2022年新课标Ⅱ卷T18 2023年新课标Ⅰ卷T17 2023年新课标Ⅱ卷T17 2024年新课标Ⅰ卷T15 2024年新课标Ⅱ卷T15 3年6考
复数 2022年新课标Ⅰ卷T2 2022年新课标Ⅱ卷T2 2023年新课标Ⅰ卷T2 2023年新课标Ⅱ卷T1 2024年新课标Ⅰ卷T2 2024年新课标Ⅱ卷T1 3年6考
近三年的高考命题，本专题重点考查向量的模，向量的数乘运算和线性运算及几何意义、向量的数量积；复数的加减法、乘除法运算，共轭复数及复数的几何表示，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式．常以容易题或中档题形式考查复数与平面向量，以中档题形式考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时考查简单的三角恒等变换能力．本专题考查数学抽象与数学运算素养，考查数形结合与转化化归数学思想．
向量、解三角形和复数是每年高考的必考热点内容，从近几年高考来看，向量、解三角形和复数每年几乎均有一考题，考题难度为容易题或中档题，同时向量有时也作为一个已知条件在解答题中出现．向量、解三角形和复数是考生的主要得分点之一．
平面向量在高考中，主要考查平面向量基本定理，向量的基本运算，包括向量的线性运算和数量积运算，计算向量的模与夹角，向量的共线、垂直等．试题难度一般是容易或中档偏易．向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学的一个重要交汇点，突出向量的工具作用，应注意平面向量与平面几何、三角函数、解析几何等知识相联系的综合问题．
正弦定理、余弦定理在新课标中以中档难度的解答题形式命题，主要考查解三角形的知识、方法与技能，同时考查三角恒等变换的技能．复习应注意培养解三角形的综合应用与实际应用意识．
复数主要考查复数的概念(如模、共轭等)、复数的几何意义，重点考查复数的运算(主要是乘法、除法).试题多为容易题，主要分布在试卷的第1～3题或第12题的位置；同时可能命制多选题，位于第9题的位置．对复数的复习应掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件，掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则，重视复数相等的充要条件及应用．
第22讲　平面向量的概念及线性运算
[课标要求]　1.了解向量的实际背景(力、速度、位移)，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示和基本要素.2.掌握向量的加、减法的运算，并理解其几何意义.3.掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的含义．
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的__大小(叫做向量的模)__，有向线段的箭头所指的方向表示向量的__方向__．
(2)两个特殊向量
__长度为0__的向量叫做零向量，记作0.
__长度等于1个单位长度__的向量叫做单位向量．
(3)平行向量(或共线向量)
①方向__相同或相反__的__非零__向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做__共线__向量．
②规定0与任意向量平行．
③长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量．
2．向量的线性运算
(1)向量的加法
①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
②法则：向量的加法有__三角形__法则和__平行四边形__法则．
③几何意义：如下图所示．
④运算律：
a＋b＝__b＋a__；
(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__．
(2)向量的减法
①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__．
②法则：向量的减法符合三角形法则．
③几何意义：如下图所示．
(3)向量的数乘运算
①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(ⅰ)|λa|＝__|λ||a|__；
(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__；
当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__；
当λ＝0时，λa＝__0__．
②运算律
a，b，c为任意向量，λ，μ为实数．
λ(μa)＝__(λμ)a__；
(λ＋μ)a＝__λa＋μa__；
λ(a＋b)＝__λa＋λb__．
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__．
1．在平行四边形中，如图：
(1)若a，b为不共线的两个向量，则a＋b，a－b为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量．
(2)＝(a＋b).
(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).
2．在△ABC中：
(1)＝(＋＋)(向量式) G是△ABC的重心．
(2)G为△ABC的重心 ＋＋＝0.
(3)λ(＋)(λ≠0)所在直线(即∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心．
3．共线的有关结论：
(1)A，B，C三点共线 ，共线．
(2)＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.
4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
1．下列关于向量的描述正确的是(　　)
A．若向量a，b都是单位向量，则a＝b
B．若向量a，b都是单位向量，则a·b＝1
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
解析：D　对于A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同，均为1，方向不定，故向量a和b不一定相同，A错误；
对于B，因为a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，由cos θ∈[－1，1]知，a·b＝1不一定成立，B错误；
对于C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，C错误；
对于D，因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，D正确．故选D.
2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__________.
解析：　因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝.
3．(教材母题必修习题6.3T1)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
解析：B　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，
即－＝2(－)，
所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.
4．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且＝，＝＋λ，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为＝，所以＝，即＝2，又＝＋λ，所以＝＋2λ，因为点P是线段BD上一点，即B，P，D三点共线，所以＋2λ＝1，解得λ＝.故选A.
5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2＋＝2＋，则四边形ABCD的形状为__________.
解析：梯形　因为2＋＝2＋，
所以2(－)＝－，即2＝，
所以∥，且||＝||，
所以四边形ABCD是梯形．
探究点1　平面向量的概念
【例1】 (1)以下说法中，正确说法的个数是(　　)
①|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关
②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
④单位向量都是共线向量
⑤零向量的长度为 0，没有方向
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(多选)下列关于平面向量的说法中正确的是(　　)
A．已知a，b均为非零向量，则a∥b?存在唯一的实数λ，使得b＝λa
B．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
C．若a·c＝b·c且c≠0，则a＝b
D．若点G为△ABC的重心，则＋＋＝0
解析：(1)C　①正确，|a|与|b|是模长，与方向无关；
②错误，共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的；
③正确；
④错误，单位向量的定义只是模长为1，方向有无数种情况；
⑤错误，零向量也有方向，只是方向任意．故选C.
(2)AD　对于A，若a，b均为非零向量，则a∥b?存在唯一的实数λ，使得b＝λa，A正确；
对于B，若向量，共线，则点A，B，C，D在同一直线上，或A，B，C，D为平面四边形的四个顶点，B错误；
对于C，若a·c＝b·c且c≠0，则c·(a－b)＝0，不一定有a＝b，可能存在c⊥(a－b)，C错误；
对于D，点G为△ABC的重心，延长AG交BC于M，可得M为BC的中点，即有＝2＝2×(＋)＝＋，即为＋＋＝0，D正确．故选AD.
分析有关向量的概念问题，应注意向量有关概念的5个关键点：(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等．
变式探究
1．下列有关平面向量的命题正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a与b共线且模长相等，则a＝b
C．若|a|>|b|且a与b方向相同，则a>b
D．(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立
解析：D　对于A，取b＝0，满足a∥b，b∥c，但a，c不一定共线，A错误；
对于B，若a与b共线且模长相等，则a＝b或a＝－b，B错误；
对于C，任何两个向量不能比大小，C错误；
对于D，(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立，D正确．故选D.
2．(多选)给出下列命题，正确的有(　　)
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
解析：BC　零向量是有方向的，其方向是任意的，A错误；
因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形，B正确；
因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时才成立，C正确；
当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线，D错误．故选BC.
探究点2　平面向量的线性运算
【例2】 (1)在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且＝2，则＝(　　)
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
(2)(多选)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　)
A．＝
B．＋＝＋
C．＝－
D．＝＋
(3)如图，点O是△ABC的重心，点D是边BC上一点，且＝4，＝m＋n，则＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：(1)D　因为D是BC的中点，
所以＝＋.
因为＝2，
所以＝＝＋，
则＝－＝－＋.故选D.
(2)AB　由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且与方向相同，则＝，A正确；
由图可知，＋＝，＋＝，所以＋＝＋，B正确；
－＝，C错误；
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，D错误．故选AB.
(3)C　如图所示，延长AO交BC于E，已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，可得＝2，且＝(＋)，又由＝4，可得D是BC的四等分点，
则＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－＋，
因为＝m＋n，
所以m＝－，n＝，
所以＝－.故选C.
平面向量的线性表示应注意：(1)目标明确，注意寻找需要表示的向量与已知向量的联系；(2)构造三角形(平行四边形)，创造利用向量加法、减法及数乘向量的条件；(3)注意平面几何知识的运用，如利用三角形中位线定理、相似三角形的性质等．
变式探究
3．如图所示，在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若＝a，＝b，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－a＋b B．a＋b
C．－a＋b D．a＋b
解析：A　＝－＝－＝(＋)－＝－＋(－)＝－＋＝－a＋b，故选A.
4．如图，在△ABC中，＝3，P为CD上一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　已知P为CD上一点，设＝λ，
因为＝3，所以＝，
则由向量的加法与减法运算可得
＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)＋λ.
因为＝m＋，
所以解得故选B.
5．在△ABC中，＝，＝(＋)，点P为AE与BF的交点，＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　)
A．0 B．
C． D．
解析：B　因为＝(＋)，所以F为AC的中点．又B，P，F三点共线，故可设＝k，即－＝k(－)，
整理得＝k＋(1－k)＝(1－k)＋k.
因为＝，所以－＝－，即＝＋，
又A，P，E三点共线，可得＝m＝m(＋)＝m＋m，
所以解得
所以＝＋，则λ＝，μ＝，故λ－μ＝.故选B.
探究点3　向量共线定理及应用
【例3】 (1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向共线，则实数λ的值为(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
(3)已知O，A，B，C是平面上的4个定点，A，B，C不共线，若点P满足＝＋λ(＋)，其中λ∈R，则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
解析：(1)A　依题意＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，＝＋＋＝3a＋6b＝3，
所以，共线，所以A，B，D三点共线，A正确．
＝＋＝－4a＋8b，则，不共线、，不共线，B、D错误．
＝＋＝2a＋4b，则，不共线，C错误．故选A.
(2)A　因为c与d同向共线，所以存在μ(μ>0)使得c＝μd，
即λa＋b＝μ[a＋(2λ－1)b]＝μa＋μ(2λ－1)b，
又向量a，b不共线，
所以
解得λ＝－(舍去)或λ＝1.故选A.
(3)A　如图，取线段BC的中点E，则＋＝2.
动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈R，
则－＝2λ，即＝2λ，所以∥，
又AP∩AE＝A，所以A，E，P三点共线，即点P的轨迹是直线AE，一定通过△ABC的重心．故选A.
(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点．
A，B，C三点共线 ，共线．
(2)证明两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b＝λa(a为非零向量)，则a与b共线．
(3)注意如下结论的运用：①若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.②＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
变式探究
6．(2024·黑龙江双鸭山一中高三校考)如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．12
C．32 D．16
解析：C　因为＝，所以＝，
因为＝x＋y，所以＝x＋3y，
因为A，D，E三点共线，所以x＋3y＝1，x>0，y>0，
所以＋＝(＋)(x＋3y)＝20＋＋≥20＋2＝20＋12＝32，
当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，所以＋的最小值是32.故选C.
7．如图所示，O点在△ABC内部，D，E分别是AC，BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　由＋2＋3＝0可得＋＝－2(＋)，
又因为D，E分别是AC，BC边的中点，
所以＋＝2，＋＝2，
所以2＝－4，即＝－2，
所以O，D，E三点共线，且＝，所以E到AC的距离与O到AC的距离之比也为，
又△AEC的面积与△AOC的面积都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为.故选A.
8．(多选)(2024·辽宁二模)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则(　　)
A．O，P，G三点共线
B．＝2
C．2＝＋＋
D．点P在△ABC的内部
解析：AC　＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，
因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＝3，
所以O，P，G三点共线，A正确，B错误；
＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋3，
因为＝＋＋，
所以(＋＋)＋3＝－＋3＝2，
即2＝＋＋，C正确；
因为＝3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，D错误．故选AC.
1．下列命题中：
①零向量的长度为0；
②零向量的方向任意；
③单位向量都相等；
④与非零向量a共线的单位向量为±.
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：C　①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题．故选C.
2．如图所示，设e1，e2是两个垂直的单位向量，则a－b＝（　　）
A．2e1－3e2 B．－2e1＋3e2
C．3e1－2e2 D．－3e1＋2e2
解析：A　由题意得，a＝3e1＋e2，b＝e1＋4e2，故a－b＝3e1＋e2－(e1＋4e2)＝2e1－3e2.故选A.
3．设a，b是非零向量，“＝”是“a＝b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　由＝表示单位向量相等，得a，b同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a＝b.
由a＝b表示a，b同向且模相等，
得＝，
所以“＝”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.
4．设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是（　　）
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：B　因为＝3e，＝－3e，
所以＝3e＝－，
即∥，||＝||＝|3e|＝3|e|＝3，
所以四边形ABCD是平行四边形，
因为||＝3，即||＝||，所以四边形ABCD是菱形．故选B.
5．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m＝（　　）
A．3 B．2
C．1 D．－2
解析：A　因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，
＝＋＝2a＋6b，
所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以解得m＝3.故选A.
6．(多选)(2024·重庆万州校考)下列各式中能化简为的是（　　）
A．＋＋
B．＋＋＋
C．＋＋
D．－＋
解析：ABC　对于A，＋＋＝＋＋＝，A正确；
对于B，＋＋＋＝＋(＋＋)＝，B正确；
对于C，＋＋＝＋＋＝，C正确；
对于D，－＋＝＋，D错误．故选ABC.
7．(2025·山东烟台高三期中)设D为△ABC所在平面内一点，＝2，E为BC的中点，则＝（　　）
A．＋ B．＋
C．－ D．－
解析：A　如图，因为E为BC的中点，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故选A.
8．已知向量＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b).则A，B，D三点的位置关系是______________；若＝x－，则x的值为__________．
解析：共线　1
因为＝＋＝a＋5b＝，故A，B，D三点共线．
因为＝－(＋)＝a－13b，x－＝－x－＝(2x－1)a－(8x＋5)b，
则有a－13b＝(2x－1)a－(8x＋5)b，
即解得x＝1.
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋(b－2c)＋c＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析：B　因为a＋(b－2c)＋c＝0，
所以(a－c)＋(b－c)＝0，
所以a－c＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，
故△ABC为等边三角形．故选B.
10．如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点(|AN|<|NM|)，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）
A． B．
C．－ D．－
解析：C　因为N是AM的一个三等分点(|AN|<|NM|)，所以＝.
因为M是边CD的中点，
所以＝＝.
又＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝－＋，
所以λ＋μ＝－＋＝－.故选C.
11．已知△ABC的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足＝3，＝2，连接AD，BE交于点F，则△ABF的面积为________.
解析：4　由＝3，＝2，
得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
设＝λ，所以＝＝＋＝＋＝＋，
如图，由于A，F，D三点共线，
所以＋＝1 λ＝，所以＝.
由＝3得＝，
所以S△ABE＝S△ABC＝6，
由＝得S△ABF＝S△ABE＝4.
12．在△ABC中，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的动点，若＝λ＋μ，则λ2＋μ2的取值范围是__________.
解析：(1，)　由题意设＝m，m∈(0，1)，
因为＝，
所以＝＝(－)，
所以＝＋＝＋(－)＝(1＋)－.
又＝λ＋μ，则
所以λ2＋μ2＝1＋m＋m2＝[(m＋)2－]＋1.
又因为m∈(0，1)，所以λ2＋μ2∈(1，)，
所以λ2＋μ2的取值范围为(1，).
13．图1是世界最高桥——北盘江第一桥．图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别).在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，·＝0.根据物理学知识得(＋)＋(＋)＝2，则CD＝（　　）
　
A．28 m B．20 m
C．31 m D．22 m
解析：D　因为·＝0，
所以PB⊥PC.
因为PO⊥BC，所以△POC∽△BOP，
所以＝，所以PO2＝OB·OC.
因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m.
设M，N分别为AB，CD的中点，连接PM，PN，如图所示．
因为(＋)＋(＋)＝2，
所以＋＝2，所以O为MN的中点．
因为AB＝8 m，BO＝16 m，
所以OM＝20 m，所以ON＝20 m，
所以CN＝ON－OC＝20－9＝11 m，
所以CD＝2CN＝22 m．故选D.
14．(2024·江苏高三校联考阶段练习)已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则点O是△ABC的（　　）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：B　在AB，AC上分别取点D，E，使得＝，＝，
则||＝||＝1.
以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且＝＋＝＋.
所以AF为∠BAC的平分线．
因为a＋b＋c＝0，
所以a＋b(＋)＋c(＋)＝0，
即(a＋b＋c)＋b＋c＝0，
所以＝＋＝(＋)＝.
所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上．同理可得O在其他两角的平分线上，
所以O是△ABC的内心．故选B.
第23讲　平面向量基本定理及坐标表示
[课标要求]　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
　
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个__基底__．
注意：(1)构成基底的两向量不共线；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
2．平面向量的正交分解
(1)把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)向量的直角坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴__方向相同__的两个__单位__向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，__(x，y)__就叫做向量a的坐标．
3．平面向量的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__；
(2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__；
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(λx，λy)__；
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__．
4．平面向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__．
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x2，y2≠0，则a∥b ＝.
3．中点与重心的坐标公式
(1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)；
(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，).
1．(教材母题必修6.3.3练习T2)已知A(－1，1)，B(－3，4)，平面向量的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－3)
C．(2，－3) D．(－2，3)
解析：D　由已知得＝(－3，4)－(－1，1)＝(－2，3)，故选D.
2．(教材母题必修6.3例4改编)已知向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则|a＋b|＝________．
解析：　因为向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则a＋b＝(－2，3)，|a＋b|＝＝.
3．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(　　)
A．e2和e1＋e2
B．e1和e1－e2
C．2e1－4e2和－e1＋2e2
D．e1＋2e2和2e1＋e2
解析：C　对于A，令e2＝m(e1＋e2)，则m不存在，所以e2，e1＋e2不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令e1＝n(e1－e2)，则n不存在，所以e1，e1－e2不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，因为2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令e1＋2e2＝t(2e1＋e2)，则t不存在，所以e1＋2e2，2e1＋e2不共线，可以作为基底，D错误．故选C.
4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：D　因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)，所以2a＋b＝(－2，6).又(2a＋b)∥c，所以－2×3－6x＝0，x＝－1.故选D.
5．(2024·辽宁大连期末)在△ABC中，若＝m，＝＋λ，则λ＝________．
解析：　由＝m，
得＝＋＝(1＋)，
则＝，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
故故λ＝.
探究点1　平面向量基本定理及应用
【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2)(2024·常德市一中校阶段考)直角梯形ABCD中，角B为直角，＝3，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：(1)B　因为E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，
所以＝，＝.
设＝λ，
则＝λ(＋)＝λ(＋3).
因为E，F，P三点共线，
所以λ＋3λ＝1，
解得λ＝，
于是＝λ(＋)＝(＋)＝a＋b.故选B.
(2)B　如图，因为＝3，＝－2，
所以＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋＋＋
＝＋＋＋×，
可得＝＋，＝＋，
又＝x＋y，
所以x＋y＝＋＝.故选B.
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
变式探究
1．如图，点D，E分别是AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋b
C．a＋b D．－a＋b
解析：C　因为点D，E分别是AC，BC的中点，F是DE的中点，
所以＝＋＝＋ ＝＋，即＝a＋b.故选C.
2．(2024·广东惠州模拟预测)在△ABC中，M是AB的中点，＝3，CM与BN相交于点P，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________．
解析：
如图，由M是AB的中点，得＝2，
由＝3，得＝，
因为＝λ＋μ，
所以＝2λ＋μ，且＝λ＋μ，
由CM与BN相交于点P可知，点P在线段CM上，也在线段BN上，
由三点共线可得解得
所以λ＋μ＝＋＝.
探究点2　平面向量的坐标运算
【例2】 (1)(2024·河北保定联考)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).若a＝mb＋nc，则m＋n的值为______________；若(a＋kc)∥2b－a，则实数k的值为______________．
解析：(1)A　因为a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，
所以c＝ma＋nb＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)，
所以解得
所以＋＝＋＝.故选A.
(2)　－
因为向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，且a＝mb＋nc，
所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，
所以解得
所以m＋n＝＋＝.
由题意得a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
因为(a＋kc)∥2b－a，
所以2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－.
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来求解．
变式探究
3．(2024·广东深圳模拟预测)已知点A(2，6)，B(－2，－3)，C(0，1)，D(，6)，则与向量＋2同方向的单位向量为(　　)
A．(，) B．(，)
C．(，－) D．(－，)
解析：A　由题意得＝(－4，－9)，＝(，5)，
所以＋2＝(3，1)，
从而与向量＋2同方向的单位向量为
＝(3，1)＝(，).故选A.
4．(2024·广东中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是______________．
解析：(1，)　如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(3，0)，C(1，1)，D(0，1)，直线BD的方程为＋＝1，化简得x＋3y－3＝0，所以点C到BD的距离d＝＝，
可得以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝.
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(0，1)，＝(3，0)，
因为＝α＋β(α，β∈R)，
所以(x，y)＝α(0，1)＋β(3，0)＝(3β，α)，
可得x＝3β且y＝α，P的坐标为(3β，α)，
因为P在圆内，(3β－1)2＋(α－1)2<，
设α＋β＝t，则α＝t－β，代入上式化简整理得
10β2－(2t＋4)β＋t2－2t＋<0，
若要上述不等式有实数解，则Δ＝(2t＋4)2－4×10×(t2－2t＋)>0，
化简得3t2－8t＋5<0，解得1所以α＋β的取值范围是(1，).
探究点3　平面向量坐标运算的综合应用
【例3】 (1)(2024·广西南宁期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1，
∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，其中2λ＋μ＝3，则||的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·四川成都石室中学一模)在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作，点P在线段BC上，点Q在上，则|＋|的取值范围是____________．
解析：(1)A　在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°，
由正弦定理可得＝，
即＝，解得sin ∠OAB＝1，
因为0°<∠OAB<180°，则∠OAB＝90°，所以△OAB为等腰直角三角形．
以O为原点，OB所在直线为x轴，以OB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
过A作AM⊥OB于B，则OM＝AM＝，
则点A的坐标为(，)，
所以＝(，)，＝(，0)，
因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
则＝λ(，)＋μ(，0)＝(λ＋μ，λ)，
则||＝
＝.
因为2λ＋μ＝3，则μ＝3－2λ，代入上式可得
||＝＝＝，
所以当λ＝时，||min＝＝，故选A.
(2)[0，]　以M为原点，MC，MA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为AB＝AC＝2，所以BC＝2，BM＝CM＝，A(0，)，由于点Q在上，不妨设Q(cos θ，sin θ)，θ∈[0，]，P(a，0)，其中－≤a≤，
＋＝(a，－)＋(cos θ，sin θ)＝(a＋cos θ，－＋sin θ)，
所以|＋|
＝，
　　可看作上的点Q(cos θ，sin θ)到点R(－a，)的距离，
由于点R(－a，)在线段y＝(－≤x≤)上运动，
故当点R(－a，)运动到点E(－，)时，距离最大，为CE，连接CE，CF，
则CE＝＝＝，
当点R(－a，)运动到点A(0，)时，距离最小，为0.
综上可知，|＋|∈[0，].
(1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．
(2)求有关向量的坐标或点的坐标时，常利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解．
(3)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解．因此，在求解时，要注意方法的选择．
变式探究
5．(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　　)
A．1 B．
C． D．3
解析：AB　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设AB＝6，AD＝3m，m>0，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，3m)，E(3，0)，M(2，m)，N(1，2m)，
则＝(2，m)，＝(1，2m)，＝(－6，3m)，＝(6，0).
设＝x，0≤x≤1，
则＝＋＝＋x＝(6－6x，3mx).
因为＝λ＋μ，
所以(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1，2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)，
所以
整理得λ＋μ＝2－x.
因为x∈[0，1]，所以λ＋μ＝2－x∈[1，2].故选AB.
6．(2024·福建福州第一中学校期末考)在平面直角坐标系Oxy中，角α的终边与单位圆O的交点为E，将向量逆时针方向旋转90°，得到向量，记A(1，0)，B(0，－1).则向量与的位置关系是________；|＋|的最大值为____________．
解析：共线　2＋
向量与共线，理由如下：角α的终边与单位圆O的交点为E，则E(cos α，sin α)，所以＝(cos α，sin α)，
又将向量逆时针方向旋转90°得到向量，
所以＝(cos (α＋)，
sin (α＋))＝(－sin α，cos α)，
又A(1，0)，B(0，－1)，
则＝(cos α－1，sin α)，＝(－sin α，cos α＋1)，
因为(cos α－1)(cos α＋1)－sin α(－sin α)＝0，
所以∥，即向量与共线．
因为＝(cos α－1，sin α)，＝(－sin α－1，cos α)，
所以＋＝(－sin α＋cos α－2，sin α＋cos α)，
所以|＋|
＝
＝
＝，
所以当α－＝＋2kπ，k∈Z，
即α＝＋2kπ，k∈Z时，sin (α－)有最大值1，
所以|＋|的最大值为＝＝2＋.
向量的新定义问题
【典例剖析】 (多选)(2024·广东广州三模)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a b；当x1A．若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则a?b
B．若a b且λa μb，则λ≥μ
C．若a b，则对于任意向量c，都有a－c b－c
D．若a b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·c
解析：AC　对于A，若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则所以a b，A正确；
对于B，取a＝(1，1)，b＝(－1，－1)，λ＝－1，μ＝2，满足a b，则λa＝(－1，－1)，μb＝(－2，－2)，满足λa μb，但λ<μ，B错误；
对于C，若a b，则x1≥x2，且y1>y2，设c＝(x0，y0)，
则a－c＝(x1－x0，y1－y0)，b－c＝(x2－x0，y2－y0)，
可知所以a－c b－c，C正确；
对于D，取a＝(－2，－2)，b＝c＝(－1，－1)，可知a b，但a·c＝4，b·c＝2，即a·c>b·c，D错误．故选AC.
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力．
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（　　）
A．(2，2) B．(－2，－2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
解析：D　因为A(2，2)，B(1，1)，所以＝(－1，－1).故选D.
2．已知向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝（　　）
A．(－2，－4) B．(2，4)
C．(6，10) D．(－6，－10)
解析：B　＝－＝(2，4).故选B.
3．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，)，则与向量2a－b共线的单位向量为（　　）
A．(，－)
B．(－，)
C．(，－)或(－，)
D．(，－)或(－，)
解析：D　由题意可知，2a－b＝(1，－)，所以|2a－b|＝2.
与2a－b共线的单位向量为±＝±(，－).故选D.
4．(2024·山东潍坊二模)在△ABC中，BD＝BC，点E是AD的中点，记＝a，＝b，则＝（　　）
A．－a＋b B．－a＋b
C．－a－b D．a－b
解析：B　由题设＝(＋)＝(＋)＝[＋(＋)]＝－＋，所以＝－a＋b.故选B.
5．已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为（　　）
A．(1，4) B．(1，5)
C．(2，4) D．(2，5)
解析：B　因为A(－1，－2)，B(3，－1)，所以＝(4，1).
由四边形ABCD为平行四边形可得＝，
设D(x，y)，又C(5，6)，则(5－x，6－y)＝(4，1)，所以x＝1，y＝5，即D的坐标为(1，5).故选B.
6．已知点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为（　　）
A．(3，1) B．(1，－1)
C．(3，1)或(1，－1) D．(3，－1)或(－1，1)
解析：C　设P(x，y)，因为A(2，0)，B(4，2)，所以＝(2，2)，＝(x－2，y).
因为||＝2||，所以＝±2，
所以或
所以或故选C.
7．在△ABC中，E在边BC上，且EC＝3BE，D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若＝x＋y，则3x＋4y＝（　　）
A． B．－
C．3 D．－3
解析：C　因为A，P，E三点共线，
设＝t(0则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝t＋(－t)，
又因为＝x＋y，
所以x＝t，y＝－t，即3x＋4y＝3.故选C.
8．已知向量a＝(－1，2)，b＝(x，6)，若(a－2b)∥(2a－b)，则x＝________．
解析：－3　由题意得a－2b＝(－1，2)－2(x，6)＝(－1－2x，－10)，
2a－b＝(－2，4)－(x，6)＝(－2－x，－2).
又(a－2b)∥(2a－b)，
所以－10(－2－x)＝－2(－1－2x)，
解得x＝－3.
9．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：ABD　因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．
10．(2024·江苏南通二模)如图，点C在半径为2的上运动，∠AOB＝，若＝m＋n，则m＋n的最大值为（　　）
A．1 B．
C． D．
解析：C　以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有＝(2，0)，＝(1，).
设∠AOC＝α，则＝(2cos α，2sin α).
由题意可知
所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin (α＋).
因为α∈[0，]，所以α＋∈[，]，
故m＋n的最大值为.故选C.
11．在△ABC中，||＝2，＝，O是△ABC所在平面内一点，4＋2＋3＝0，则||等于__________．
解析：　由4＋2＋3＝0，可得＝－(4＋2)，
因为＝，可得－＝＝(－)，
所以＝＋＝－(4＋2)＋＝(－)＝，
又因为||＝2，所以||＝||＝.
12．若向量a＝(x，2)，b＝(－3，y)，c＝(－1，－2)，且(a－c)⊥(b＋c)，则|a－b|的最小值为________.
解析：　由题设，a－c＝(x＋1，4)，b＋c＝(－4，y－2)，
又(a－c)⊥(b＋c)，
所以(a－c)·(b＋c)＝－4(x＋1)＋4(y－2)＝0，则x－y＋3＝0.
又a－b＝(x＋3，2－y)，则|a－b|＝，
所以要求|a－b|的最小值，即求定点(－3，2)到直线x－y＋3＝0的距离，
所以|a－b|min＝＝.
13．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与和的夹角分别为30°和90°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋2μ＝________．
解析：8　如图所示，过点C作向量，的平行线与OA，OB的延长线分别交于D，E两点，
所以四边形ODCE为平行四边形，则＝＋，
因为向量与和的夹角分别为30°和90°，
即∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，
则∠OCD＝90°，∠OCE＝30°，
在Rt△OCD中，||＝2，∠AOC＝30°，
所以||＝＝4，
在Rt△OCE中，||＝2，∠OCE＝30°，
所以||＝||·tan 30°＝2×＝2，
又由||＝||＝1，可得＝4＋2.
又因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋2μ＝8.
14．(多选)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0，1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的的有（　　）
A．{(x，y)|y≥ex}
B．{(x，y)|y≥ln x}
C．{(x，y)|x＋2y－1≥0}
D．{(x，y)|x2＋y2≤1}
解析：ACD　设＝a，＝b，＝ta＋(1－t)b，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示．
　　
　　
观察A、B、C、D所对应阴影知，B不符合题意，A、C、D符合题意．故选ACD.
第24讲　平面向量的数量积
[课标要求]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量数量积与向量投影的关系.3.掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算.4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.5.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
1．两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)__叫做向量a，b的夹角．特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作__a⊥b__．
2．向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量__|a||b|cos_θ__叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos_θ__．
规定：0与任一向量的数量积为__0__．
3．向量数量积的几何意义
设两个非零向量a，b，它们的夹角是θ， e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b__投影__，叫做向量a在向量b上的__投影向量__．记作|a|cos θe.
4．向量数量积的性质
a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ.
(1)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__；特别地，a·a＝__a2＝|a|2__或|a|＝____.
(2)a·b＝0 __a⊥b__．
(3)cos θ＝____．
(4)|a·b|__≤__|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝__b·a__(交换律).
(2)(λa)·b＝__λ(a·b)__＝__a·(λb)__(λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__．
6．向量数量积的坐标表示
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__．
(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝__x2＋y2__，|a|＝____．
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____，此为两点间的距离公式．
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b __x1x2＋y1y2＝0__．
(5)若a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝____．
1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：D　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D.
2．(2024·海南校考阶段练习)已知a＝(2，1)，b＝(3，0)，则向量a在向量b方向上的投影向量为____________．
解析：(2，0)　由题意，a＝(2，1)，b＝(3，0)，|b|＝＝3，所以向量a在向量b方向上的投影向量为·＝×＝(3，0)＝(2，0).
3．(教材母题必修习题6.3T2改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(　　)
A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角
解析：A　如图，因为∠AOB＝120°，
所以∠OAC＝60°，
在△OAC中，
由余弦定理得OC＝，
所以OA2＋OC2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，故F1与F3成90°角．故选A.
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
解析：B　因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B.
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为________．
解析：　由＝2，得＝，
则＝m＋＝m＋×＝m＋，
又C，P，D三点共线，则m＋＝1，解得m＝，
则·＝(＋)·＝·＋2＝×4×3×＋×42＝.
探究点1　向量的数量积
【例1】 (1)已知e是单位向量，且|2e－a|＝，a＋2e在e上的投影向量为5e，则a与e的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
(2)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝6，＝3，则· ＝(　　)
A．12 B．16
C．14 D．10
(3)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：(1)B　因为e是单位向量，且|2e－a|＝，两边平方得
4e2－4a·e＋a2＝10，
即a2－4a·e＝6，(*)
由a＋2e在e上的投影向量为5e，可得·e＝5e，
所以(a＋2e)·e＝5，即a·e＝3，
代入(*)可得，a2＝18，即|a|＝3，
所以cos 〈a，e〉＝＝＝，
因为〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝.故选B.
(2)A　如图，＝－＝－－，
＝＋＝－，
所以·＝(－－)·(－)
＝－·＋2－2＋·
＝－·＋2－2
＝－×6＋16－×9
＝－2＋16－2＝12.故选A.
(3)A　＝(m－n)＋(2n－m－1)，
即－＝(m－n)＋(2n－m－1)，
所以＝(m－n)＋(2n－m)，
因为⊥，
所以·＝[(m－n)＋(2n－m)·]·(－)
＝(2m－3n)·－(m－n)2＋(2n－m)2
＝(2m－3n)||||cos 60°－(m－n)·||2＋(2n－m)·||2
＝(2m－3n)×3×2×－9(m－n)＋4(2n－m)
＝6m－9n－9m＋9n＋8n－4m
＝－7m＋8n＝0，
解得＝.故选A.
求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义a·b＝|a||b|cos θ；②利用基向量，结合向量的运算律；③利用向量的坐标运算．
变式探究
1．已知||＝，||＝，且，的夹角为，则在上的投影向量为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：D　由题意得·＝(－)·＝2－·＝6＋××＝9，
则在上的投影向量为·＝·＝.故选D.
2．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋3b，＝2a－b，＝，则||＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：A　因为向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，
所以a·b＝|a||b|cos ＝1×2×(－)＝－1，
又因为＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝(2a－b)＋(2a＋3b)
＝2a＋b，
所以||＝
＝
＝＝2.故选A.
3．在△ABC中，A＝，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且满足2AD＝DB＝2，AE＝EC＝2，CD交BE于F，设＝a，＝b，则·＝________.
解析：　设＝λ，＝μ，λ，μ∈(0，1).
因为＝＋＝＋λ
＝＋λ(＋)
＝＋λ(－＋)
＝＋λ，
＝＋＝＋μ
＝＋μ(＋)
＝＋μ(－＋)
＝＋μ，
所以?
因为A＝，AB＝3，AC＝4，
因此·＝(＋)·(－＋)
＝－2＋2－·，
＝－×9＋×16－×3×4×
＝.
探究点2　平面向量数量积的应用
【例2】 (1)如图，一条河的南北两岸平行．游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则其航行速度的大小为(　　)
A．2 km/h B．2 km/h
C．2 km/h D．14 km/h
(2)在△ABC中，·＋2＝0，·＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形
D．等腰(非直角)三角形
(3)(2024·湖南长沙三模)在△ABC中，已知2·＝||||＝32，B解析：(1)A　设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，
由题意得，(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋v＝10×4×cos θ＋16＝0，则cos θ＝－，
(v1＋v2)2＝v＋v＋2v1·v2＝100＋16－2×10×4×＝84，则|v1＋v2|＝2(km/h).故选A.
(2)A　因为·＋2＝0，
即(＋)·＝0，即·＝0，
所以⊥，即AC⊥BC，
则∠ACB＝，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以·＝1×1×cos ∠CAB＝，
又∠CAB∈(0，)，所以∠CAB＝，所以∠CBA＝，
所以△ABC是等腰直角三角形．故选A.
(3)　设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由2·＝||||得2bccos A＝bc，
所以cos A＝.
又A∈(0，π)，因此A＝，B＝－C.
由||||＝32，
得bc＝a2，
于是sin Csin B＝sin2A＝，
所以sinCsin (－C)＝，
所以2sin Ccos C＋2sin2C＝，
所以sin 2C＋(1－cos 2C)＝，
即sin (2C－)＝0.
因为A＝，所以0所以－<2C－<，
所以2C－＝0或2C－＝π，
所以C＝或C＝.
又因为B所以A＝，C＝，B＝，
则sin C＝.
(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求平面向量夹角的方法：
①定义法：利用向量积的定义可知，cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|三个量或者找出这三个量之间的关系．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)注意：①夹角的范围为[0，π]；②计算模时，要特别注意|a|＝的应用，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法．
变式探究
4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　)
A．24 J B．24 J
C．24 J D．24 J
解析：D　
以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，
所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，4＋2)，
又因为位移s＝(4，4)，
所以F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24(J)，
故这三个力的合力F所做的功是24 J．故选D.
5．已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且，则点O为△ABC的________心．
解析：外　在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB，
由＋＝，
得(＋)·(－)＝·(－)＝·＝0，
则2＝2，即||＝||，
又＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋，显然⊥，
同理得||＝||，因此点O为△ABC的外心．
6．(2024·黑龙江哈尔滨期中)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，若|AB|＝|AC|＝1，·＝－，则∠BAC的大小为________．
解析：　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
＝＋＝－＝(－)－×(＋)＝－＋，
设＝a，＝b，
则|a|＝|b|＝1，＝a＋b，＝－a＋b，
所以·＝(a＋b)·(－a＋b)
＝－a2－a·b＋b2
＝－－cos∠BAC＋＝－，
得cos∠BAC＝，
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.
探究点3　平面向量数量积的综合应用
【例3】 (1)如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是__________.
(2)(2024·四川成都三模)已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为S1，S2.若S1＝|·|·|·|，则S2的取值范围是(　　)
A．[，) B．[－1，)
C．[，) D．[－1，)
解析：(1)－2　因为O为AB的中点，
所以＋＝2，
从而(＋)·＝2·＝－2||·||.
又||＋||＝||＝2为定值，
再根据||·||≤()2＝1，可得－2||·||≥－2，所以当且仅当||＝||＝1时，即P为OC的中点时等号成立，
所以(＋)·的最小值是－2.
(2)D　如图，设|AM|＝x，|AN|＝y，x，y∈(0，1)，
则S1＝xy，S2＝1－xy－(1－x)－(1－y)＝，
由平面向量数量积的运算可得
|·|＝|(＋)·|＝|·|＝||·||＝1－x，
|·|＝|(＋)·|＝|·|＝||·||＝1－y，
又S1＝|·|·|·|＝(1－x)(1－y)，
所以xy＝(1－x)(1－y)，即x＋y＝1＋xy，即1＋xy≥2，当且仅当x＝y时取等号，
又xy>0，即0<≤2－，即0则S2＝＝＝－xy∈[－1，).故选D.
(1)向量的数量积的综合问题，常常涉及平面向量的基本定理、向量数量积的定义及向量数量积的运算律等基础知识，要求有较强的运算求解能力．
(2)向量数量积的计算有两个最基本的方法，其一是基向量法，其二是坐标法．当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般通过建立平面直角坐标系的方法转化为向量的坐标运算．
变式探究
7．(2024·北京阶段练习)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝30°，则|c|的最大值等于__________．
解析：2　设＝a，＝b，＝c，
因为|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，
所以cos∠AOB＝＝－ ∠AOB＝150°，
又〈a－c，b－c〉＝30°，
所以cos∠ACB＝30°，所以点A，O，B，C共圆，如图所示．
要使|c|最大，即|OC|为直径，在△AOB中，
由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos∠AOB＝7 AB＝，
又由正弦定理得2R＝＝2，
即|c|的最大值等于2.
8．(2024·新疆联考期末)已知O为△ABC的外心，且＝λ＋(1－λ).若向量在向量上的投影向量为μ，其中μ∈[，]，则cos ∠AOC的取值范围为(　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析：D　因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ，又因为O为△ABC的外心，所以△ABC为直角三角形且AB⊥AC，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，如图所示．
因为在上的投影向量为μ，
所以在上的投影向量
＝－＝μ－＝(μ－)，
又因为||＝||，
所以cos ∠AOC＝＝＝2μ－1，
因为μ∈[，]，所以2μ－1∈[，]，
即cos ∠AOC的取值范围为[，].故选D.
1．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝（　　）
A． B．
C． D．
解析：B　因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×(－)＋4＝3，
所以|a＋2b|＝.
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，k)且a⊥(2a－b)，则实数k＝（　　）
A．－14 B．－6
C．6 D．14
解析：D　因为a＝(2，1)，b＝(－2，k)，
所以2a－b＝(6，2－k)，
又因为a⊥(2a－b)，所以2×6＋1×(2－k)＝0，解得k＝14.故选D.
3．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝（　　）
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：C　因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.故选C.
4．已知平面向量a＝(1－x，－x－3)，b＝(1＋x，2)，a·b＝－4，则a＋2b与b的夹角为（　　）
A． B．
C． D．
解析：B　由a·b＝－4，得(1－x)(1＋x)－2(x＋3)＝－4，解得x＝－1，
故a＝(2，－2)，b＝(0，2)，则a＋2b＝(2，2)，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，
因为〈a＋2b，b〉∈[0，π]，
所以〈a＋2b，b〉＝.故选B.
5．已知△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，且＝2，＝，则·＝（　　）
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：B　·＝||||cos A＝4×6×＝12，
且＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以·＝·(＋)
＝·＋||2
＝×12＋×36＝14.故选B.
6．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，若b在a方向上的投影向量为a，则x的值为________.
解析：1　因为b在a上的投影向量为a，所以(b－a)⊥a，则a·(b－a)＝0.
因为a＝(2，1)，b＝(x，3)，所以b－a＝(x－2，2)，从而a·(b－a)＝2(x－2)＋1×2＝0，
解得x＝1.
7．(2024·四川南充二模)已知a，b为单位向量，且满足|a－b|＝，则|2a＋b|＝________．
解析：　因为a，b为单位向量，且满足|a－b|＝，所以a2－2a·b＋5b2＝6，
即1－2a·b＋5＝6，解得a·b＝0，
所以|2a＋b|＝＝.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，·＝2c2，则＝________．
解析：　在△ABC中，D是BC的中点，·＝(－)·(＋)＝2c2，
则2－2＝4c2，即b2－c2＝4c2，
因此b2＝5c2，所以＝＝.
9．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，下列命题中，是真命题的有（　　）
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
解析：BCD　对于A，若∠BCA是钝角，满足a·b>0，但△ABC是钝角三角形，A错误；
对于B，若a·b＝0，则⊥，即△ABC为直角三角形，B正确；
对于C，若a·b＝c·b，即b·(a－c)＝0，
则·(－)＝0，即·(＋)＝0，取AC的中点D，
则·＝0，所以BA＝BC，
即△ABC为等腰三角形，C正确；
对于D，若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，D正确．故选BCD.
10．已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b＋c|的取值范围是（　　）
A．[－1，＋1] B．[1，]
C．[，] D．[－1，1]
解析：A　如图，|a＋b|＝，
当c与a＋b同向时，|a＋b＋c|最大，为＋1；
当c与a＋b反向时，|a＋b＋c|最小，为－1.故选A.
11．(2024·福建厦门高三期中)设O为△ABC所在平面内一点，满足2－7－3＝0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（　　）
A．6 B．
C． D．4
解析：D　不妨设＝2，＝－7，＝－3，如图所示．
根据题意得＋＋＝0，
即点O是△A1B1C1的重心，
所以有S△OA1B1＝S△OA1C1＝S△OB1C1＝k，
又因为＝＝，＝＝，＝＝，
所以S△OBC＝k，S△OAB＝k，S△OAC＝k，
S△ABC＝S△OAB＋S△OAC－S△OBC＝(＋－)k＝k，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为＝4.故选D.
12．等边三角形ABC的面积为9，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则·的最小值为__________.
解析：－5－2　设等边三角形ABC的边长为a，则面积S＝a2＝9，解得a＝6.
以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝OC，
则A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，).
由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．
设N(x，y)，则x2＋(y－)2＝1，即x2＋y2－2y＋2＝0，且－1≤y≤1＋，
＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，
·＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2y－11≥2×(－1)－11＝－5－2.
13．(2024·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是（　　）
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
解析：D　依题意，如图建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，
因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，
所以＝(3－cos θ，－sin θ)，
＝(－cos θ，4－sin θ)，
所以·＝(3－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(4－sin θ)
＝cos2θ－3cosθ－4sin θ＋sin2θ
＝1－3cosθ－4sin θ
＝1－5sin (θ＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，
因为－1≤sin (θ＋φ)≤1，
所以－4≤1－5sin (θ＋φ)≤6，
即·∈[－4，6].故选D.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O，G，P，Q分别为△ABC所在平面内一点，且有||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，＋＋＝0，(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，a＋b＋c＝0，则点O，G，P，Q分别为△ABC的（　　）
A．垂心、重心、外心、内心
B．垂心、重心、内心、外心
C．外心、重心、垂心、内心
D．外心、垂心、重心、内心
解析：A　由||2＋||2＝||2＋||2，
得||2－||2＝||2－||2，
即(＋)·(－)＝(＋)·(－)，
则(＋)·＝·(＋) (＋－－)·＝0，
所以2·＝0，则⊥.
同理可得⊥，⊥，
即O是△ABC三边上高的交点，则O为△ABC的垂心．
由＋＋＝0，得＋＝－，
设AB的中点为M，则＋＝2＝－，即G，M，C三点共线，
所以G在△ABC的中线CM上，同理可得G在△ABC的其余两边的中线上，
即G是△ABC三边中线的交点，故G为△ABC的重心．
由(＋)·＝0，得2·＝0，即⊥，
又M是AB的中点，所以P在AB的垂直平分线上，
同理可得，P在BC，AC的垂直平分线上，
即P是△ABC三边垂直平分线的交点，故P是△ABC的外心．
如图，延长CQ交AB于点N，因为Q，C，N三点共线，
则设＝k(k<0)，
且＝＋＝k＋，＝＋＝k＋，
代入a＋b＋c＝0，得a(k＋)＋b(k＋)＋c＝0，
即(ak＋bk＋c)＋a＋b＝0，　①
又因为与共线，与，不共线，
则只能当ak＋bk＋c＝0且a＋b＝0时，①成立，
即a＝－b ＝＝，则＝，
由正弦定理得＝，
又∠ANC＋∠BNC＝π，则sin ∠ANC＝sin ∠BNC，
即sin ∠ACN＝sin ∠BCN，又0<∠ACB<π，所以∠ACN＝∠BCN，
则CN是∠ACB的平分线，即点Q在∠ACB的平分线上，
同理可得，Q在∠ABC，∠BAC的平分线上，
即Q是△ABC内角平分线的交点，故Q是△ABC的内心．故选A.

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