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专题2　函数与基本初等函数
考点 考情考向 考频
基 本 初 等 函 数 函数的概念与表示 2022年新课标Ⅰ卷T12 2022年新课标Ⅱ卷T8 2023年新课标Ⅰ卷T11 2023年新课标Ⅱ卷T19 3年4考
函数的性质 2022年新课标Ⅰ卷T12 2022年新课标Ⅱ卷T8 2023年新课标Ⅰ卷T4、T11 2023年新课标Ⅱ卷T4 2024年新课标Ⅰ卷T6 2024年新课标Ⅱ卷T6 3年7考
二次函数、幂函数 2024年新课标Ⅰ卷T6 2024年新课标Ⅱ卷T6、T8 3年3考
指数与指数函数 2023年新课标Ⅰ卷T4 2024年新课标Ⅰ卷T6 3年2考
对数与对数函数 2023年新课标Ⅰ卷T10 2023年新课标Ⅱ卷T4 2024年新课标Ⅰ卷T6 2024年新课标Ⅱ卷T8 3年4考
函数的应用 2023年新课标Ⅰ卷T10 2023年新课标Ⅱ卷T11 3年2考
近三年的高考命题，本专题重点考查函数的定义域和性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)，指数与对数运算，二次函数、指数函数与对数函数的图象与性质，函数零点以及函数模型的应用，试题通常是中档题或难题．同时，函数的图象与性质往往渗透到其他知识模块中考查．
从近几年的高考考题分析，本章考查内容丰富，主要考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，考查函数的图象的识别，函数的零点，函数建模，抽象函数等主干知识．
直接考查基本初等函数的试题一般有1～2道，题型多为选择题或填空题．试题难度为容易题、中档题、难题的可能性均存在，对考生的能力要求较高，主要考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想方法，同时还考查考生的创新意识和应用意识．
函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了高中数学的全过程，是中学数学与高等数学的结合点，是进一步学习高等数学的重要基础．在复习本部分知识时，要注意以下几个方面：
1．加强对函数概念的理解，会求一些简单函数的定义域，能够利用解析式求函数的值，要特别注意加强对抽象函数的理解和应用．
2．函数的性质是高考的高频考点，有时涉及两个或两个以上的性质的综合考查，因此要切实掌握和理解函数的性质，能熟练地运用函数的性质解决求函数最值、比较大小、求函数零点、求参数范围及解函数不等式等相关问题．
3．在复习幂函数、指数函数、对数函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线；要注意掌握指数、对数的基本运算；要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及其变换，加强函数图象的应用意识．
4．对函数的零点及方程根的复习，要理解函数的零点、方程的实根和函数图象与x轴交点的横坐标的等价性，掌握函数零点存在定理，能通过数形结合思想判断函数零点或方程根的个数或范围．
第6讲　函数的概念及其表示
[课标要求]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
　　　　　　　　　　
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个__数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一__确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作__y＝f(x)，x∈A__，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__．
(2)函数有三个要素：__定义域__、__值域__和__对应关系__．
2．函数的表示
解析法，就是用__解析式__表示两个变量之间的对应关系．
图象法，就是用__图象__表示两个变量之间的对应关系．
列表法，就是列出__表格__来表示两个变量之间的对应关系．
3．分段函数
分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的__对应关系__的函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__并集__，其值域等于各段函数的值域的__并集__．
1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点(　　)
A．至少1个 B．至多1个
C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
解析：B　若1不在函数f(x)的定义域内，y＝f(x)的图象与直线x＝1没有交点；若1在函数f(x)的定义域内，y＝f(x)的图象与直线x＝1有1个交点，故选B.
2．(教材母题必修复习参考题3T1改编)函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是(　　)
A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－3，3)
C．(－∞，－3)
D．(－∞，3)
解析：B　由函数解析式有意义，得解得x<3且x≠－3，
所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).故选B.
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4
解析：A　(方法1)令2x＋1＝t，则x＝，
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.故选A.
(方法2)因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.
4．下列四组函数，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝x
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝·
解析：A　对于A，f(x)＝|x＋1|＝与g(x)＝的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，A正确；
对于B，f(x)＝＝|x|，与g(x)＝x的对应关系不同，所以不是同一函数，B错误；
对于C，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝x的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，C错误；
对于D，f(x)＝的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，g(x)＝·的定义域为{x|x≥2}，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，D错误．故选A.
5．已知函数f(x)＝若f(m)＝4，则m＝________．
解析：0或2　由题意可得或所以m＝0或m＝2.
　　
探究点1　函数定义域的意义及求法
【例1】(1)函数f(x)＝＋的定义域是______________．
(2)已知函数f(x＋1)的定义域是[1，7]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域是(　　)
A．[4，16]
B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[1，3]
D．[3，4]
解析：(1)(0，1)∪(1，2]∪[3，＋∞)　由函数解析式有意义，得

0故函数的定义域是(0，1)∪(1，2]∪[3，＋∞).
(2)C　函数f(x＋1)的定义域是[1，7]，则2≤x＋1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8.
函数h(x)＝f(2x)＋的解析式有意义，
必有解得1≤x≤3，
所以函数h(x)的定义域是[1，3].故选C.
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：有实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解．
(3)抽象函数
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
变式探究
1．函数f(x)＝＋ln (2x－x2)的定义域是__________．
解析：(1，2)　要使函数有意义，则解得12．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是____________________.
解析：(－∞，－6]∪[2，＋∞)
由题意得|x＋2|＋|x－m|≥4恒成立，
由于|x＋2|＋|x－m|≥|－2－m|＝|2＋m|，当x在－2和m之间(包括－2和m)时取等号，
所以(|x＋2|＋|x－m|)min＝|2＋m|.
所以|2＋m|≥4，
所以2＋m≥4或2＋m≤－4，
即m≥2或m≤－6，
故实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
探究点2　函数的表示
【例2】 (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)的解析式是________________．
(2)若函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，则f(2)＝(　　)
A．－ B．
C． D．
(3)(2025·浙江嘉兴月考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝x3f()(x≠0)，f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，则f(3)＝(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：(1)f(x)＝x2－x＋1　令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
由题意可知，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，得所以
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)A　因为函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，　①
所以f()＋2f(x)＝＋1，　②
联立①②得
解得f(x)＝－＋，
所以f(2)＝－＋＝－.故选A.
(3)D　因为f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，
令x＝y＝0，则f(0)＝0，
令x＝1，y＝－1，
则f(1)＋f(－1)－2＝f(0)＝0.
又f(x)＝x3f()，令x＝－1，
则f(－1)＝0，所以f(1)＝2.
又f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)＋2＝6，
令x＝1，y＝2，则f(3)＝f(1)＋f(2)＋4＝2＋6＋4＝12.故选D.
函数解析式的常用求法
(1)待定系数法，若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法．
(2)换元法，已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)方程组法，求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f(x)的解析式．
变式探究
3．(2024·江苏南通二模)已知f(x)对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f()＝2，则f(4)＝(　　)
A．4 B．8
C．64 D．256
解析：D　由f(x＋y)＝f(x)·f(y)，当y＝x时，有f(2x)＝f 2(x).
又f()＝2，所以f(4)＝f 2(2)＝f 4(1)＝f 8()＝28＝256.故选D.
4．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意的x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝__________.
解析：1－log3x(答案不唯一)　由题意可知，f(x)＋f(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1，
所以满足条件的一个函数可取f(x)＝1－log3x.
5．(多选)(2025·北京东城月考)设a为常数，f(0)＝，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x)，则(　　)
A．f(a)＝
B．f(x)＝
C．f(x＋y)＝2f(x)f(y)
D．满足条件的f(x)不止一个
解析：ABC　已知f(0)＝，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x).
对于A，令x＝y＝0，则＝f(0)＝f(a)＋f(a)＝f(a)，即f(a)＝，A正确．
对于B，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(a)＋f(0)f(a－x)＝f(x)＋f(a－x)，故f(x)＝f(a－x)，
令x＝y，则f(2x)＝f(x)f(y)＋f(y)f(x)＝2f(x)f(y)＝2f 2(x)≥0，故f(x)非负；
令y＝a－x，则f(a)＝f 2(x)＋f 2(a－x)＝2f 2(x)＝，解得f(x)＝±，
又f(x)非负，故可得f(x)＝，B正确．
对于C，由B项分析可得f(x＋y)＝2f(x)f(y)，C正确．
对于D，由B项分析可得满足条件的f(x)只有一个，D错误．故选ABC.
探究点3　分段函数
【例3】 (1)(2024·全国模拟预测)设函数f(x)＝若f(f(2))＝，则a＝________．
(2)(2024·吉林模拟预测)已知f(x)＝若f(a)＝1，则a＝(　　)
A．1 B．4
C．1或4 D．2
(3)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝则f(f())＝________，不等式f(x)解析：(1)2　函数f(x)＝
有f(2)＝－2×2－1＝－5，
则f(f(2))＝f(－5)＝a-5＝＝，解得a＝2.
(2)B　当a<1时，f(a)＝2a-1＝1，
则a－1＝0，解得a＝1(舍去)；
当a≥1时，f(a)＝＝1，则＝2，解得a＝4.故选B.
(3)1　(－∞，－)∪(，＋∞)
由题意可知，f(f())＝f(1)＝1.
因为f(x)当|2x|<1，即－当即x∈(－1，－]∪[，1)时，可得1<(2x)2，
解得x>或x<－，所以x∈(－1，－)∪(，1)；
当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时，则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x2)＝4x2，符合题意．
综上所述：不等式f(x)(1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．
(2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式．自变量的值不确定时，要分类讨论．
变式探究
6．设函数f(x)＝则f(8)＝(　　)
A．10 B．9
C．7 D．6
解析：C　因为f(x)＝
则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C.
7．已知f(x)＝满足f(a)A．(－∞，－2)∪(0，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，0)∪(0，2)
D．(－2，0)∪(2，＋∞)
解析：D　当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a，所以f(a)当a≥0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，
所以f(a)0，解得a>2.
所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞).故选D.
　　　　　　　　　　
1．函数y＝ln (x＋1)＋的定义域是（　　）
A．[－1，2） B．(－1，2)
C．（－1，2] D．[－1，2]
解析：B　由函数解析式有意义，得解得－12．函数f(x)＝＋的定义域是（　　）
A．[1，＋∞）
B．[－1，＋∞）
C．(－∞，1)∪(1，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：D　由函数解析式有意义，得解得x>1，故函数的定义域是(1，＋∞).故选D.
3．设M＝{x|0≤x≤4}，N＝{y|－4≤y≤0}，函数f(x)的定义域是M，值域是N，则f(x)的图象可以是（　　）
解析：B　因为定义域是{x|0≤x≤4}，A错误；因为值域是{y|－4≤y≤0}，D错误；因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，C错误．故选B.
4．下列函数中，与函数f(x)＝x2是同一个函数的是（　　）
A．f(x)＝(x＋1)2
B．f(x)＝x·
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：D　f(x)＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞），
对于A，f(x)＝(x＋1)2与f(x)＝x2的对应关系不同，故不是同一个函数；
对于B，f(x)＝x·的值域为R，故不是同一个函数；
对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，故不是同一个函数；
对于D，f(x)＝＝＝x2，故与f(x)＝x2是同一个函数．故选D.
5．若函数f(x)的定义域是[1，3]，则函数g(x)＝的定义域是（　　）
A．（1，2] B．（1，5]
C．[1，2] D．[1，5]
解析：A　因为函数f(x)的定义域是[1，3]，则在函数g(x)＝中，必有解得16．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋3，若f(t)＝4，则f(－t)＝（　　）
A．－4 B．－2
C．2 D．0
解析：C　因为f(－x)＝－ax3－bx－＋3，所以f(x)＋f(－x)＝6，即f(t)＋f(－t)＝6.
又因为f(t)＝4，所以f(－t)＝2.故选C.
7．（多选）函数f(x)＝(x≠0)，则下列等式成立的是（　　）
A．f(x)＝f（） B．－f(x)＝f（）
C．＝f（） D．f(－x)＝－f(x)
解析：AD　因为f（）＝＝＝f(x)，所以A成立，B、C不成立．
又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以D成立．故选AD.
8．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　．
解析：[－1，2]　由题意得(m＋1)x2－(m＋1)x＋≥0在R上恒成立．
当m＋1＝0，即m＝－1时，>0恒成立，符合题意，
当m＋1≠0时，
只需
解得－1综上，m∈[－1，2].
9．（2024·河南南阳高三期末）已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝的定义域是（　　）
A．{x|x<0}
B．{x|x<0且x≠－2}
C．{x|－1D．{x|0解析：B　要使f(x)＝lg 有意义，
则>0，即(1－x)(1＋x)>0，
解得－1所以函数f(x)的定义域是(－1，1).
要使g(x)＝有意义，
则
解得x<0且x≠－2，
所以函数g(x)的定义域是{x|x<0且x≠－2}．故选B.
10．（2025·重庆质检）已知函数f(x)＝则f(x)解析：（－，＋∞）　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)解得－当01，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
所以当0当x>1时，f(x)综上，不等式f(x)11．已知f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　．
解析：f(x)＝x2＋x
由题意可得
2×②－①可得3f(x)＝x2＋3x，
故f(x)＝x2＋x.
12．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f(a)＝　　　　．
解析：　若0由f(a)＝f(a＋1)，得＝2(a＋1－1)，即a＝4a2，
解得a＝0（舍去）或a＝；
若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，该方程无解．
综上可知，a＝，所以f(a)＝f（）＝＝.
13．对任意实数x，y，都有f(x＋y)－2f(y)＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　．
解析：f(x)＝x2＋3x
因为f(x＋y)－2f(y)＝x2＋2xy－y2＋3x－3y对任意实数x，y都成立，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0，
再令y＝0，得f(x)－2f(0)＝x2＋3x，所以f(x)＝x2＋3x.
14．设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为（　　）
A．2 B．1
C． D．－
解析：B　由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x＝±1.
因此当x≤－1或x≥1时，x2≥1，－x2≤－1，所以2－x2≤1，fM(x)＝2－x2；
当－1＜x＜1时，x2＜1，所以－x2＞－1，所以2－x2＞1，fM(x)＝1.
所以fM(0)＝1，故选B.
第7讲　函数的值域与最值
[课标要求]　1.掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值.2.建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题．
　　　　　　　　　　
1．函数的值域
值域是__函数值__的取值范围，它是由__定义域和对应关系__所确定的，所以求值域时要注意__定义域__．
2．函数的最值
最值 最大值 最小值
条件 设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1) x∈D，都有__f(x)≤M__； x0∈D，使得__f(x0)＝M__ (2) x∈D，都有__f(x)≥M__； x0∈D，使得__f(x0)＝M__
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
3.求函数值域或最值的常用方法
求函数的值域与最值没有通用的方法，要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用各种方法求解．常见的方法有：
(1)配方法——常用于二次型函数；
(2)分离常数法——常用于分式型函数，且分子次数不低于分母次数；
(3)不等式法——常用于函数是n项的和或积的形式；
(4)换元法、数形结合法以及利用函数的单调性法等．
　　
1．基本函数的值域
(1)一次函数y＝kx＋b (k≠0)的值域为__R__．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：
当a＞0时，值域为__[，＋∞)__；
当a＜0时，值域为__(－∞，]__．
(3)反比例函数y＝(x≠0)的值域为y∈R，且__y≠0__．
(4)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__．
(5)对数函数y＝logax (a＞0，且a≠1，x＞0)的值域为__R__．
(6)正、余弦函数的值域为__[－1，1]__，正切函数的值域为__R__．
2．若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)1．已知函数f(x)的定义域为R，M为常数．若p：对 x∈R，都有f(x)≥M；q：M是函数f(x)的最小值，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　对 x∈R，都有f(x)≥M M是函数f(x)的最小值；M是函数f(x)的最小值 对 x∈R，都有f(x)≥M.
所以p是q的必要不充分条件．故选B.
2．函数y＝的值域是(　　)
A．R
B．{y|y≠－1，y∈R}
C．{y|y≠2，y∈R}
D．{2}
解析：C　因为y＝＝＝2－，
又因为－≠0，所以2－≠2，即y≠2.故选C.
3．(教材母题必修3.2例5改编)设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝(　　)
A．4 B．6
C．10 D．24
解析：C　因为f(x)＝＝2＋，所以f(x)在[3，4]上是减函数．
所以m＝f(4)＝4，M＝f(3)＝6.所以M＋m＝6＋4＝10.故选C.
4．(2024·北京卷)若函数f(x)＝的值域为(0，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．(－1，0)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：D　当x<1时，函数f(x)＝－x＋2在(－∞，1)上单调递减，f(x)在(－∞，1)上的值域是(1，＋∞)，
因为函数f(x)在R上的值域是(0，＋∞)，
则函数f(x)＝在[1，＋∞)上的值域包含(0，1]，
显然a>0，否则当x≥1时，≤0，不符合题意，
于是函数f(x)＝在[1，＋∞)上单调递减，其值域为(0，a]，因此(0，1] (0，a]，则a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，＋∞).故选D.
5．已知x∈[－3，－1]，则函数y＝x＋＋2的最大值为________，最小值为________．
解析：－2　－3
函数y＝x＋＋2在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，
当x∈[－3，－1]时，函数y＝x＋＋2在[－3，－2]上单调递增，在[－2，－1]上单调递减，
即当x＝－2时，ymax＝－2，而当x＝－3时，y＝－，当x＝－1时，y＝－3，则ymin＝－3，
所以函数y＝x＋＋2的最大值为－2，最小值为－3.
探究点1　求函数的值域或最值
【例1】 (1)下列函数中最小值为6的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋6
B．y＝|cos x|＋
C．y＝3x＋
D．y＝ln x＋
(2)已知函数f(x)＝x＋(a>0).
(ⅰ)当a＝1，x∈(0，＋∞)时，则函数f(x)的值域为________；
(ⅱ)当a＝2，x∈[1，3]时，则函数f(x)的最大值为________．
(3)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．[－，] B．[－，0]
C．[0，1] D．[0，]
解析：(1)C　对于A，y＝x2＋2x＋6＝(x＋1)2＋5，最小值为5，故错误；
对于B，令t＝|cos x|∈(0，1]，则y＝t＋在(0，1]上单调递减，其最小值为10，故错误；
对于C，y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时，等号成立，故正确；
对于D，当0(2)(ⅰ)[2，＋∞)　(ⅱ)5　函数f(x)的图象如下：
(ⅰ)根据函数的图象可得f(x)的值域为[2，＋∞).
(ⅱ)根据函数的图象可得f(x)在[1，2)上为减函数，在[2，3]上为增函数，所以f(x)max＝max{f(1)，f(3)}＝5.
(3)C　令x＝cos θ，θ∈[0，π]，
则f(x)＝g(θ)＝，其几何意义是单位圆(在x轴及其上方)上的动点M(cos θ，sin θ)与点A(2，1)连线的斜率k，由图象得0≤k≤1，即函数f(x)的值域为[0，1]，故选C.
(1)求函数的值域、最值的常用方法：
①配方法——转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法．
②分离常数法——分式型函数常用此法．
③利用函数的单调性．
④利用基本不等式．
⑤换元法——对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．
(2)求函数的值域时，应先考虑定义域，运用换元法时，要注意换元前后变量的取值范围．
变式探究
1．函数y＝(x>1)的值域是____________．
解析：[0，＋∞)　因为x>1，则x－1>0，
可得y＝
＝(x－1)＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以函数的值域为[0，＋∞).
2．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　)
A．F(x)的最大值为3，最小值为1
B．F(x)的最大值为2－2，无最小值
C．F(x)的最大值为7－2，无最小值
D．F(x)的最大值为3，最小值为－1
解析：C　在同一坐标系中先作出f(x)＝3－2|x|与g(x)＝x2－2x的图象，然后根据定义作出F(x)的图象(图中实线部分).
由图象可知，当x<0时，y＝F(x)取得最大值，由3－2|x|＝x2－2x得x＝2－或x＝2＋(舍去)，此时函数F(x)有最大值3＋2(2－)＝7－2，无最小值．故选C.
3．已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域是(1，4]，值域是[3，＋∞)，设函数f(x)的定义域是A，值域是B，则A∩B＝(　　)
A． B．[4，7]
C．[2，7] D．[2，]
解析：C　因为g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域是(1，4]，值域是[3，＋∞)，
所以f(2x－1)的定义域是(1，4]，值域是[2，＋∞).
由1＜x≤4得1＜2x－1≤7，所以f(x)的定义域是(1，7]，值域是[2，＋∞)，
则A＝(1，7]，B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，7].故选C.
探究点2　函数最值的综合应用
【例2】 (1)(2024·河北保定期中)设函数f(x)＝(2≤x≤a)，其中实数a>2.若f(x)的值域是[9，11]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，4] B．[4，6]
C．(2，8] D．[4，8]
(2)设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则实数a的一个取值为________；实数a的最大值为________.
解析：(1)D　函数f(x)＝＝x＋＋1，由对勾函数的性质可知，f(x)在[2，4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，且注意到f(2)＝11，f(4)＝9，f(8)＝11，
所以所求实数a的取值范围是[4，8].故选D.
(2)0(答案不唯一)　1　若a＝0，f(x)＝所以f(x)min＝0.
若a<0，当x若a>0，当xf(a)＝－a2＋1，
当x≥a时，f(x)min＝
所以－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2，
解得0综上可得0≤a≤1，所以实数a的最大值为1.
(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域．
(2)函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域．最值可由值域得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件．
(3)函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式、立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题．
变式探究
4．已知函数f(x)＝ax－＋(a>0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为______．
解析：2　f(x)＝ax－＋(a>0)，所以f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝a＋，
所以g(a)＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号，所以g(a)的最小值为2.
5．(2024·厦门模拟)已知函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对 x1∈[－1，2]， x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[1，2)
C．(0，] D．[，＋∞)
解析：C　若对 x1∈[－1，2]， x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，
只需函数y＝g(x)的值域为函数y＝f(x)的值域的子集即可．
函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]的值域为[－1，3].
当a>0时，g(x)＝ax＋2单调递增，由x∈[－1，2]可得其值域为[2－a，2＋2a]，
要使[2－a，2＋2a] [－1，3]，
需解得0综上，实数a的取值范围为(0，].故选C.
探究点3　恒成立问题
【例3】 (1)已知函数f(x)＝若对任意的x∈(t2－4，t2)，不等式f(x＋t)<4f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　)
A．(0，1)
B．[0，1]
C．(，)
D．[，]
(2)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，] B．(－∞，]
C．(－∞，] D．(－∞，]
解析：(1)B　函数f(x)＝由二次函数的图象和性质可知，
当x<0时，f(x)为减函数，且f(x)>0；当x≥0时，f(x)为减函数，且f(x)≤0，
所以f(x)在R上为减函数．
当x<0时，f(2x)＝(2x)2＝4x2＝4f(x)；
当x≥0时，f(2x)＝－(2x)2＝－4x2＝4f(x)，
所以4f(x)＝f(2x)，不等式f(x＋t)<4f(x)等价于f(x＋t)则x＋t>2x在x∈(t2－4，t2)上恒成立，即t>x在x∈(t2－4，t2)上恒成立，
得t≥t2，解得0≤t≤1.故选B.
(2)B　因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1).
因为x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)∈[－，0].
所以x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈[－，0]；
所以x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]，
函数f(x)的大致图象如图．
当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，解得x1＝，x2＝，
若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m≤.
则实数m的取值范围是(－∞，].故选B.
(1)恒成立问题常转化为最值问题．一般地，若f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)min>A；若不等式f(x)(2)含参数问题的处理常采用分离变量法，分离变量后，转化为函数的最值问题．
变式探究
6．已知函数f(x)＝ex＋ae-x，若f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析：[3，＋∞)
由已知得ex＋≥2恒成立，
即a≥－(ex)2＋2ex恒成立，
因此a≥(－(ex)2＋2ex)max.
令g(x)＝－(ex)2＋2ex＝－(ex－)2＋3，
当ex＝，即x＝ln 时，g(x)max＝3，所以a≥3.
故实数a的取值范围是[3，＋∞).
7．若对任意x∈R，不等式3x2－2ax≥|x|－恒成立，则实数a的取值范围是______________．
解析：[－1，1]　已知3x2－2ax≥|x|－ 2ax≤3x2－|x|＋.
当x>0时，2a≤(3x－1＋)min，
而3x－1＋＝3x＋－1≥2－1＝2，当且仅当x＝时等号成立，
所以2a≤2，即a≤1.
当x＝0时，不等式恒成立．
当x<0时，2a≥(3x＋1＋)max，
而3x＋1＋＝1－[(－3x)＋(－)]≤－2，当且仅当x＝－时等号成立，所以2a≥－2，即a≥－1.
综上所述，－1≤a≤1，故实数a的取值范围是[－1，1].
　　　　　　　　　　
1．函数f(x)＝＋2x的值域为（　　）
A．[－1，＋∞） B．[0，＋∞）
C．[1，＋∞） D．[2，＋∞）
解析：D　令x－1≥0，解得x≥1，又函数f(x)在[1，＋∞）上为增函数，所以f(x)∈[2，＋∞），即函数f(x)的值域为[2，＋∞），故选D.
2．函数y＝(x>0)的最小值为（　　）
A．6 B．4
C．5 D．3
解析：A　因为x>0，所以y＝＝x＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝，即x＝2时取等号．
所以函数的最小值为6.故选A.
3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为　　　，最小值为　　　．
解析：1　0　作出函数f(x)的图象（如图）.
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
4．函数f(x)＝在（－1，4]上的值域为　　　　　　．
解析：[－3，1]　y＝2x＋1在(－∞，0)上单调递增，y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3图象的对称轴是x＝2，在[0，2）上单调递减，在（2，4]上单调递增，
且f(0)＝1，f(2)＝－3，f(－1)＝－1，f(4)＝1，
所以当x＝0时，函数f(x)取得最大值1，当x＝2时，函数f(x)取得最小值－3.
5．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[－2，2） B．(－2，2)
C．[1，2） D．（0，2]
解析：A　当x≥1时，y＝2x≥2.
由于函数f(x)＝的值域为R，
所以当x<1时，f(x)＝(4－2a)x＋3a的值域B应满足B(－∞，2).
即解得
所以实数a的取值范围是[－2，2）.故选A.
6．（多选）已知函数f（＋1）＝2x＋－1，则（　　）
A．f(3)＝9
B．f(x)＝2x2－3x(x≥0)
C．f(x)的最小值为－1
D．f(x)的图象与x轴有1个交点
解析：ACD　令t＝＋1≥1，得＝t－1，则x＝(t－1)2，
得f（＋1）＝f(t)＝2(t－1)2＋(t－1)－1＝2t2－3t，
故f(x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞），f(3)＝9，A正确，B错误．
f(x)＝2x2－3x＝2（x－）2－，
所以f(x)在[1，＋∞）上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝－1，f(x)的图象与x轴只有1个交点，C、D正确．故选ACD.
7．函数y＝x＋2的最大值为_________．
解析：2　设＝t(t≥0)，
所以x＝1－t2.
所以y＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，
所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
8．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是　　　　　.
解析：1　在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．
易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
9．已知函数f(x)＝x＋，x1，x2∈[，3]，则|f(x1)－f(x2)|的最大值为（　　）
A． B．
C． D．1
解析：A　由对勾函数的性质可得f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f(x)在[，3]上，f(x)min＝f(1)＝2，
f(x)max＝max{f（），f(3)}＝，
所以|f(x1)－f(x2)|max＝f(x)max－f(x)min＝－2＝，故选A.
10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[－2，8]，则下列函数中值域也为[－2，8]的是（　　）
A．y＝3f(x)＋1 B．y＝f(3x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(2x)|
解析：B　根据函数f(x)的定义域为R，值域为[－2，8]，
可得，y＝3f(x)＋1的值域为[－5，25]，
y＝－f(x)的值域为[－8，2]，
y＝|f(2x)|的值域为[0，8]，
y＝f(3x＋1)的值域为[－2，8]，故选B.
11．已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞），f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是　　　　　　.
解析：[，2]　①当x>0时，f(x)≤|x|，即－x2＋2x－2a≤x，
整理可得a≥－x2＋x，
由恒成立的条件可知a≥（－x2＋x）max(x>0).
结合二次函数的性质可知，
当x＝时，（－x2＋x）max＝－＋＝，则a≥.
②当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|，
即x2＋2x＋a－2≤－x，
整理可得a≤－x2－3x＋2，
由恒成立的条件可知a≤(－x2－3x＋2)min(－3≤x≤0).
结合二次函数的性质可知，当x＝－3或x＝0时，(－x2－3x＋2)min＝2，则a≤2.
综合①②可得实数a的取值范围是[，2].
12．设f(x)＝当a＝时，f(x)的最小值是　　　　　；若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是　　　　　.
解析：　[0，]
由题意知f(x)＝
当x≤0时，f(x)＝（x－）2≥（0－）2＝；
当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号．
所以函数f(x)的最小值为.
当x>0时，f(x)≥2，此时最小值为2.
当x≤0时，若a<0，则当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．
若a≥0，函数f(x)的最小值为f(0)＝a2，要使f(x)的最小值为f(0)，则f(0)＝a2≤2，即0≤a≤.
故实数a的取值范围为[0，].
13．（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（　　）
A．f(x)＝ B．f(x)＝|x|
C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋
解析：ABD　对于A，f(x)＝，当定义域分别为(－1，0)与(0，1)时，值域均为(1，＋∞)，所以f(x)＝可构造同族函数，A正确；
对于B，f(x)＝|x|，当定义域分别为[－1，0]与[0，1]时，值域均为[0，1]，所以f(x)＝|x|可构造同族函数，B正确；
对于C, f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，C错误；
对于D，f(x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当定义域分别为[，1]与[1，2]时，值域均为[2，]，D正确．故选ABD.
14．定义在R上的函数f(x)对一切实数x，y都满足f(x)≠0，且f(x＋y)＝f(x)f(y).已知f(x)在(0，＋∞)上的值域为(0，1)，则f(x)在R上的值域是（　　）
A．R B．(0，1)
C．(0，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
解析：C　因为定义在R上的函数f(x)对一切实数x，y都满足f(x)≠0，且f(x＋y)＝f(x)f(y)，
令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)f(0)，
所以f(0)＝1，
再令y＝－x，可得f(0)＝f(x)f(－x)＝1，
所以f(－x)＝.
又f(x)在(0，＋∞)上的值域为(0，1)，
因此f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
则f(x)在R上的值域是(0，＋∞).故选C.
第8讲　函数的单调性及应用
[课标要求]　1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.能运用函数的单调性解决最值和不等式问题．
　　　　　　　　　　
1．函数的单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
如果__ x1，x2__∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)__＜__f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是__增函数__．
如果__ x1，x2__∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)__＞__f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是__减函数__．
2．函数的单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上__单调递增__或__单调递减__，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__．如果函数是增函数，则称区间D为__增区间__；如果函数是减函数，则称区间D为__减区间__．
3．单调函数的图象特征
增函数的图象是__上升__的(如图1)，减函数的图象是__下降__的(如图2).
　　
1．单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是__增函数__；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是__减函数__．
2．判断单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)为__增(减)__函数．
(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为__减(增)__函数．
(3)y＝f(g(x))是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f(g(x))为__增函数__；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f(g(x))为__减函数__．
(4)已知函数y＝f(x)，给定区间D，若对D内任意的x，f′(x)>0，则函数在区间D上单调__递增__ ；若对D内任意的x，f′(x)<0，则函数f(x)在区间D上单调__递减__．
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
解析：A　当x∈(0，＋∞)时，y＝与y＝－x单调递减，所以y＝－x在(0，＋∞)上单调递减．故选A.
2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：B　由题意，可得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，
所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
二次函数y＝x2－2x－3图象的对称轴为x＝1，且在(－∞，－1]∪[3，＋∞)上的单调递增区间为[3，＋∞).
根据复合函数的单调性，
可知函数f(x)＝的单调递增区间是[3，＋∞).故选B.
3．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)内的减函数，则f(a2－a＋1)与f()的大小关系为(　　)
A．f(a2－a＋1)≥f()
B．f(a2－a＋1)≤f()
C．f(a2－a＋1)＝f()
D．不确定
解析：B　因为a2－a＋1＝(a－)2＋≥，又f(x)是区间(0，＋∞)内的减函数，所以f(a2－a＋1)≤f().故选B.
4．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：D　因为函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，
所以函数y＝x(x－a)＝(x－)2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，
所以实数a的取值范围是[2，＋∞).故选D.
5．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)解析：[1，)　
由题意，得解得1≤x<，故满足条件的x的取值范围是[1，).
　　　　　　　　　　
探究点1　单调性的判定与证明
【例1】 已知函数f(x)＝(a为常数且a≠0)，试判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性．
解析：任取x1，x2，使得－10.
f(x1)－f(x2)＝－
＝，
因为－1所以x1x2＋1>0，x－1<0，x－1<0，
所以>0，
所以当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，故此时函数f(x)在(－1，1)上是减函数，
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，故此时函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
综上所述，当a>0时，f(x)在(－1，1)上为减函数，
当a<0时，f(x)在(－1，1)上为增函数．
利用定义证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1变式探究
1．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足下列条件：
①f(2)＝0；②x>1，f(x)<1；③任意x，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)－1.
(1)求f()的值；
(2)判断并证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(3)解不等式f(x)>4x＋2.
解析：(1)因为任意x，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)－1，所以令x＝y＝1，得f(1)＝1，
令x＝，y＝2，得f(×2)＝f()＋f(2)－1，
因为f(2)＝0，所以f()＝2.
(2)结论：f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x2>x1>0，则>1，
因为任意x，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)－1，
所以当x＝x1，y＝时，f(x2)＝f(x1·)＝f(x1)＋f()－1.
因为>1，所以f()<1，所以f()－1<0，
所以f(x2)＝f(x1)＋f()－1所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(3)f()＝f(×)＝f()＋f()－1＝3.
设F(x)＝f(x)－4x－2，x∈(0，＋∞)，
由(2)可知函数F(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，又因为F()＝f()－4×－2＝0，
所以，当00；当x>时，F(x)<0.
所以不等式f(x)>4x＋2的解集为{x|0探究点2　函数单调性(区间)的判断
【例2】 (1)(2024·贵州贵阳模拟)函数f(x)＝ln (2x2－3x＋1)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，) B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(3)已知函数f(x)＝满足 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0，则实数a的取值范围是____________．
解析：(1)B　在函数f(x)＝ln (2x2－3x＋1)中，由2x2－3x＋1>0得x<或x>1，则f(x)的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)，函数u＝2x2－3x＋1在(－∞，)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y＝ln u在u∈(0，＋∞)上单调递增，于是得f(x)在(－∞，)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，).故选B.
(2)B　因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，
则需满足
解得－1≤a≤0，即实数a的取值范围是[－1，0].故选B.
(3)(0，]　因为对 x1，x2∈R，且x1≠x2都有>0成立，所以函数在R上单调递增，所以解得0(1)确定函数单调性的四种方法
①定义法：利用定义判断，一般证明初等函数型函数的单调性常用此法．
②导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
③图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点，一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
④性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
(2)利用单调性求参数
①依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
变式探究
2．y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为__________.
解析：(－∞，－1]，[0，1]　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，函数的图象如图．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数．
3．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．[1，4]
C．[4，＋∞)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析：D　函数f(x)＝的图象如图所示．
由图可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，
因为函数f(x)在(a，a＋1)上单调递增，所以a＋1≤2或a≥4，所以a≤1或a≥4.故选D.
4．(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是____________．
解析：[，1)　由函数的解析式可得f′(x)＝ax ln a＋(1＋a)x ln (1＋a)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，则(1＋a)x·ln (1＋a)≥－ax ln a，即()x≥－在区间(0，＋∞)上恒成立，
故()0＝1≥－，
而1＋a∈(1，2)，故ln (1＋a)>0，
故
即
故≤a<1，
所以实数a的取值范围是[，1).
探究点3　函数单调性的综合应用
【例3】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足当x1≠x2时，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，若a＝f(log50.5)，b＝f(log0.5)，c＝f(20.5)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
(2)(2024·江苏宿迁一模)已知函数f(x)＝2x－3-x，则不等式f(x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(3)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：(1)C　由题设(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
所以函数f(x)是R上的减函数．
因为0>log50.5＝log5>log5＝－，
log0.5＝log2()-120.5>0，所以log0.5又因为函数f(x)是R上的减函数，
所以f(log0.5)>f(log50.5)>f(20.5)，即b>a>c，故选C.
(2)A　(方法1)函数f(x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3-x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f(x)是R上的增函数，由f(x2)(方法2：特值法)当x＝0时，f(0)(3)A　由f(x)＝x＋得f′(x)＝，当x∈[，1]时，f′(x)<0，
所以f(x)在[，1]上单调递减，所以f(1)＝5是函数f(x)的最小值，
当x∈[2，3]时，g(x)＝2x＋a为增函数，所以g(2)＝a＋4是函数g(x)的最小值，
又因为 x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
可得f(x)在[，1]上的最小值不小于g(x)在[2，3]上的最小值，即5≥a＋4，解得a≤1，故选A.
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
变式探究
5．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)解析：A　对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，
则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．
又3>2>1，则f(3)6．已知函数f(x)＝的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，3]
B．[3，＋∞)
C．(0，3]
D．(－∞，1]∪[3，＋∞)
解析：A　当x>1时，f(x)＝x＋－3a≥2－3a＝6－3a，当且仅当x＝3时取等号，故此时f(x)的最小值为f(3).
当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，
当a≥1时，f(x)在(－∞，1]上单调递减，此时最小值为f(1)＝3－2a，要使f(x)的最小值为f(1)，则f(1)≤f(3)，即3－2a≤6－3a，解得1≤a≤3，
当a<1时，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增，此时最小值为f(a)，不满足f(x)的最小值为f(1).
综上，1≤a≤3，故选A.
7．定义min{a，b}＝若f(x)＝min{x2，2－x2}，关于函数f(x)有以下三个结论：①该函数的值域为[1，＋∞)；②该函数在[－1，0]上单调递减；③若方程f(x)＝m恰有四个不等的实数根，则实数m的取值范围是(0，1).其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：C　令x2≥2－x2，得x≥1或x≤－1，
则f(x)＝min{x2，2－x2}
＝
则函数f(x)在(－1，0]上单调递减．
当x＝－1时，x2＝2－x2＝1，所以该函数在[－1，0]上单调递减，故②正确；
当－1当x≥1或x≤－1时，f(x)＝2－x2∈(－∞，1]，所以函数f(x)的值域为(－∞，1]，故①错误；
方程f(x)＝m实根的个数，即为函数y＝f(x)和直线y＝m的图象交点的个数，
作出两个函数的图象如图所示，
由图可知两函数图象有4个交点时，实数m的取值范围是(0，1)，故③正确．
所以正确结论的个数是2.故选C.
　　　　　　　　　　
1．已知函数f(x)＝ln (x2－4x－5)，则f(x)的单调递减区间为（　　）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(5，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：D　令u＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
又因为x2－4x－5>0，所以x>5或x<－1，
故u＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减．
又因为f(t)＝ln t为增函数，
所以函数f(x)＝ln (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减．故选D.
2．（2024·福建三明期中）函数f(x)＝32x2－ax在区间(2，4)上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．(－∞，8] B．（－∞，8)
C．[16，＋∞） D．(16，＋∞)
解析：C　设t＝2x2－ax，因为函数f(x)在区间(2，4)上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得，函数t＝2x2－ax在区间(2，4)上单调递减，所以≥4，解得a≥16，故选C.
3．（2024·江西卷）函数f(x)＝x2－2|x|＋5的单调递增区间是（　　）
A．(－∞，－1)和(0，1)
B．(－∞，－1)和(1，＋∞)
C．[－1，0]和[1，＋∞）
D．(－1，0)和(0，1)
解析：C　f(－x)＝(－x)2－2|－x|＋5＝x2－2|x|＋5＝f(x)，
则f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，如图所示．
当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋5，对称轴为x＝1，所以f(x)在[1，＋∞）上单调递增，在[0，1]上单调递减；
则当x≤0时，f(x)在[－1，0]上单调递增，在（－∞，－1]上单调递减，
则有f(x)的递增区间为[－1，0]，[1，＋∞）.故选C.
4．（多选）若函数y＝f(x)在R上为减函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的值可以是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：AB　根据题意， 函数y＝f(x)在R上为减函数， 且f(2m)>f(－m＋9)，则有2m<－m＋9, 解得 m<3，所以A、B正确，C、D错误．故选AB.
5．已知函数f(x)＝是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[1，3） B．[1，2]
C．[2，3） D．(0，3)
解析：B　因为f(x)＝是定义在R上的增函数，
所以解得1≤a≤2.故选B.
6．若f(x)是定义域为(0，＋∞)的减函数，且对任意实数x∈(0，＋∞)都有f(f（x)－）＝＋1（无理数e＝2.71828…），则f(ln 2)＝（　　）
A．3 B．
C．e＋1 D．
解析：B　因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的减函数，所以f(x)－为定值．设t＝f(x)－，由题意知f(t)＝＋1.又因为f(x)＝＋t，令x＝t，得f(t)＝＋t＝＋1，所以t＝1，所以f(x)＝＋1，所以f(ln 2)＝＋1＝.故选B.
7．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝　　　　　.
①定义域为R；
②值域为(－∞，1)；
③对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
解析：f(x)＝1－（答案不唯一）
f(x)＝1－，定义域为R.
因为>0，所以f(x)＝1－<1，即值域为(－∞，1)；
又f(x)是增函数，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有>0.
8．已知函数f(x)＝若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x2－x1)[f(x1)－f(x2)]>0成立，那么实数a的取值范围是（　　）
A．(0，3) B．(0，3]
C．（0，2) D．（0，2]
解析：D　因为对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有(x2－x1)[f(x1)－f(x2)]>0，
则函数f(x)为减函数，
所以解得09．“b≤1”是“函数f(x)＝
在(－2，＋∞)上为单调函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B　依题意，函数f(x)在(－2，＋∞)上为单调函数，
由于y＝log2(x＋2)＋b在（－2，0]上单调递增，所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，
所以b>0且1＋b≤2，即010．（2024·陕西一模）已知定义在R上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，且f(x)＋f(－x)＝0.若f(1)＝－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是（　　）
A．[1，3] B．[－2，1]
C．[0，4] D．[－1，2]
解析：A　因为定义在R上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x).
因为f(1)＝－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝1，
由|f(x－2)|≤1，得－1≤f(x－2)≤1，
所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以－1≤x－2≤1，得1≤x≤3，故选A.
11．如果函数f(x)在区间I上是增函数，而函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为（　　）
A．[1，＋∞） B．[0，]
C．[0，1] D．[1，]
11．解析：D　因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞）上是增函数，
又当x≥1时，＝x－1＋.
（方法1：利用“对勾函数”）
因为x＝时，即x＝时，取到最小值，
所以在[1，]上单调递减，即[1，]为“缓增区间”．
（方法2：利用导数）
令g(x)＝x－1＋(x≥1)，
g′(x)＝－＝，
由g′(x)≤0，得1≤x≤.
即函数在区间[1，]上单调递减，
故“缓增区间”为[1，].故选D.
12．设函数f(x)＝若a＝ln 2，b＝30.2，c＝log0.32，则（　　）
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
解析：D　因为f(x)＝
又y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，
则g(x)＝－2x＋2－x在(0，＋∞)上单调递减，且g(0)＝－20＋20＝0.
又h(x)＝－x3在(－∞，0)上单调递减，且h(0)＝－03＝0，
所以f(x)在R上单调递减．
又因为30.2>30＝1，即b>1，
0＝ln 1log0.32所以b>a>c，所以f(b)13．下列函数中，对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，同时满足性质①(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，②f（）<的函数是（　　）
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝
C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝ex
解析：B　因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f(x)＝2x＋1与f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，A、D错误；
因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，
f（）<，
所以f(x)的图象在(0，＋∞)上是凹形曲线，
而f(x)＝－x2的图象在(0，＋∞)上是凸形曲线，C错误；
而f(x)＝的图象在(0，＋∞)上是凹形曲线，同时在(0，＋∞)上单调递减，B正确．故选B.
14．已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．[1，e2] B．[e，2e]
C．[e，e2] D．[e，＋∞）
解析：C　令函数g(x)＝，h(x)＝.要满足条件，必须g(x)在(0，a)上单调递减，h(x)在(a，＋∞)上单调递减，且g(a)≥h(a).
易知g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
h′(x)＝，令h′(x)>0，即1－ln x>0，解得0e，
可得h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以a≥e.
g(a)－h(a)＝(a>0)，
令≥0，即2－ln a≥0，解得0所以实数a的取值范围是[e，e2].故选C.
第9讲　函数的奇偶性、周期性与对称性
[课标要求]　1.了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义.2.会判定一些简单函数的奇偶性.3.能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题．
　　　　　　　　　　
1．函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．
(1)函数的奇偶性的定义
①设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝－f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做奇函数．
②设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且__f(－x)＝f(x)__成立，那么函数f(x)就叫做偶函数．
显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的__必要__条件．
(2)奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于__原点__对称；偶函数的图象关于__y__轴对称．
2．周期函数
(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数f(x)的__一个周期__．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中__存在一个最小__的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数的对称性
(1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点(，0)对称．
1．函数的奇偶性常用结论
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)在公共定义域内：
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数．
2．函数的周期性常用结论
对f(x)的定义域内的任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(4)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e-x
解析：D　y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．对于D，f(x)＝ex－e-x的定义域为R，f(－x)＝e-x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e-x为奇函数．故选D.
2．已知函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)－g(1)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：B　根据题意，f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(－1)＋g(－1)＝(－1)＋1＋1＝1，
又由函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f(－1)＋g(－1)＝f(1)－g(1)，故f(1)－g(1)＝1.故选B.
3．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x(1＋x)，则当x>0时，f(x)＝(　　)
A．x(1－x) B．－x(1＋x)
C．－x(1－x) D．x(1＋x)
解析：C　当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)(1－x)＝x(1－x)，又y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，故f(x)＝－x(1－x).故选C.
4．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：2　因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R，
所以f(－)＝f()，
即(－－1)2－a＋cos (－)＝(－1)2＋a＋cos ，
则πa＝(＋1)2－(－1)2＝2π，故a＝2.
此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x，
所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos (－x)＝x2＋1＋cos x＝f(x)，
又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2.
5．已知函数f(x)的定义域是R，f(＋x)＝f(－x)，f(x)＋f(6－x)＝0，当0≤x≤时，f(x)＝4x－2x2，则f(2026)＝________．
解析：－2　由f(＋x)＝f(－x)得
f(x)＝f[－(x－)]＝f(3－x).
又f(x)＋f(6－x)＝0，所以f(3－x)＋f(6－x)＝0，
所以f(x)＝－f[6－(3－x)]＝－f(x＋3)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以f(2026)＝f(6×337＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－4＋2＝－2.
　　　　　　　　　　
探究点1　函数的奇偶性判定与应用
【例1】 (1)(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)
C．f(x)＝＋
D．f(x)＝
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
(3)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)－2x为偶函数，函数f(x)－x2为奇函数，则f(1)＝(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
解析：(1)ACD
对于A，由得－2≤x≤2，且x≠0，
所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称，
所以f(x)＝＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，A正确．
对于B，因为f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，B错误．
对于C，对于函数f(x)＝＋，所以x＝±1，其定义域为{－1，1}，关于原点对称．因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数，C正确．
对于D，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
当x＝0时，－x＝0，
所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x).
综上，可知函数f(x)为奇函数，D正确．故选ACD.
(2)B　因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝x ln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，
则其定义域为{x|x>或x<－}，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)ln
＝(－x)ln
＝(－x)ln ()-1＝x ln ＝f(x)，
故此时f(x)为偶函数，故选B.
(3)B　函数f(x)的定义域为R，设函数g(x)＝f(x)－2x，h(x)＝f(x)－x2，
则g(－x)＝f(－x)＋2x＝g(x)＝f(x)－2x，
h(x)＋h(－x)＝f(x)－x2＋f(－x)－x2＝0，
即解得f(x)＝x2＋2x，所以f(1)＝3，故选B.
(1)研究函数的奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)判断函数的奇偶性除定义法外，还有以下几种方法．
①图象法：f(x)的图象关于原点对称 f(x)为奇函数，关于y轴对称 f(x)为偶函数．
②性质法：如“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×奇”是偶，“偶×偶”是偶，“奇×偶”是奇等．
(3)利用函数的奇偶性解决有关问题时，要充分利用化归与转化的思想方法．利用奇偶性可以解决如下问题：
①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中的参数的值；④画函数图象确定单调性等．
变式探究
1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex，则f(ln )＝________．
解析：－2　由题意知，f(ln )＝f(－ln 2)＝－f(ln 2).
又ln 2>0，所以f(ln )＝－eln 2＝－2.
2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(－x) B．y＝
C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x)
解析：AC　对于A，设g(x)＝f(－x)，则g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数；
对于B，定义域为{x|x≠0}，令h(x)＝，则h(－x)＝＝＝h(x)，所以h(x)为偶函数；
对于C，因为g(x)＝x3为奇函数，f(x)是定义在R上的奇函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，所以y＝f(x)＋x3为奇函数；
对于D，定义域为{x|x≥0}，所以y＝f(x)为非奇非偶函数．故选AC.
3．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：2　因为f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，易知g(x)为奇函数．
又f(x)＝g(x)＋1，
所以f(x)max＝g(x)max＋1，f(x)min＝g(x)min＋1，
所以f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋g(x)min＋2＝2(奇函数的最大值、最小值互为相反数)，
所以M＋m＝2.
探究点2　函数的周期性与对称性
【例2】 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2.则f(2025)＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2025
(2)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当 x∈[－2，0] 时，f(x)＝(　　)
A．x＋4 B．2－x
C．3－|x＋1| D．2＋|x＋1|
(3)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则＝(　　)
A．4m B．3m
C．2m D．m
解析：(1)B　因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.
所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1.故选B.
(2)C　当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2，3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝3＋(x＋1).
当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，
因为函数f(x)为偶函数，
则f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－(x＋1)，
综上所述，当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.故选C.
(3)B　由f(－x)＋f(x)＝6，即f(x)关于点(0，3)对称，而y＝＝3＋也关于点(0，3)对称，
所以y＝与y＝f(x)在(0，3)两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在，
所以＝0，＝×6＝3m，
故＝3m.故选B.
(1)函数周期性的应用技巧
①熟记函数周期常见的几种表达形式，能够由已知条件准确地推得函数的最小正周期．
②熟练运用结论“若T是函数的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期”，对自变量的值进行转化．
③注意通过“区间变换法”，结合函数的周期，由局部的解析式得到函数在整个定义域内的解析式．
(2)函数对称性、周期性常用结论：
①f(x＋a)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于x＝a对称．
②f(x＋a)＋f(a－x)＝2b f(x)＋f(2a－x)＝2b f(x)的图象关于(a，b)对称．
③若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期．
④若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期．
⑤若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且4(b－a)是它的一个周期．
变式探究
4．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝________．
解析：　因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x)，f(x＋2)均不为0，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(1)＝＝.
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2025)＋f(2026)＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：D　当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋1)＝－f(x－2)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以当x>0时，f(x)的周期为6，
所以f(2025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝－f(0)＝0，
f(2026)＝f(6×337＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－f(0)＋f(－1)＝－1，
故f(2025)＋f(2026)＝－1.故选D.
6．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　)
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
解析：D　由g(x)的图象关于直线x＝2对称，可知g(x)＝g(4－x).
因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5.
又g(2－x)＝g(2＋x)，所以f(x)＝f(－x).
因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(4－x)－f(－x)＝7.
又g(x)＝g(4－x)，所以f(x－4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.
当x＝0时，f(0)＋g(2)＝5，所以f(0)＝5－g(2)＝1，所以f(4)＝f(0)＝1.
当x＝2时，g(2)－f(－2)＝7，所以f(－2)＝g(2)－7＝－3，所以f(2)＝f(－2)＝－3.
当x＝1时，f(1)＋g(1)＝5，g(1)－f(－3)＝7，
又f(－3)＝f(1)，所以g(1)－f(1)＝7，所以f(1)＝－1，所以f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(3)＝f(－1)＝－1.
所以＝5[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝5×(－1－3－1＋1)－1－3＝－24.故选D.
探究点3　奇偶性与单调性的综合应用
【例3】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝__________，若f(m＋1)(2)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时f(x)<0，且f(－1)＝2.则f(x)在区间[－2，4]上的最小值为________；若f(x)解析：(1)x2－x－2　(－∞，)
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2，
则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2，
所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2.
依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增，
则f(m＋1)所以实数m的取值范围是(－∞，).
(2)－8　(－∞，－2)∪(2，＋∞)
根据题意，f(x)的定义域为R，关于原点对称．
又任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)为奇函数．
任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)<－f(－x1)，
又f(x)为奇函数，所以f(x1)>f(x2).
故f(x)为R上的减函数．
因为x∈[－2，4]，所以f(x)≥f(4)，
因为f(4)＝2f(2)＝4f(1)＝－4×f(－1)＝－8，
故f(x)在[－2，4]上的最小值为－8.
因为f(x)在[－1，1]上是减函数，
所以f(x)≤f(－1)＝2.
因为f(x)所以m2－2am＋2>2对 a∈[－1，1]恒成立，
即m2－2am>0对 a∈[－1，1]恒成立．
令g(a)＝－2am＋m2，
则即解得m<－2或m>2.
所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
(1)奇偶性与单调性常综合进行考查，求解的关键是利用奇偶性变成f(M)f(N))的形式，再利用单调性进行处理．
(2)掌握以下结论，会给解决此类问题带来方便：
①f(x)为偶函数 f(x)＝f(|x|)；f(x)为奇函数 f(x)＝－f(－x).
②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
变式探究
7．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对 x1，x2∈[0，＋∞)，其中x1≠x2，都有(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)>的解集为____________.
解析：(－2，0)∪(2，＋∞)　因为(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，所以当x1令F(x)＝xf(x)，则F(x)＝xf(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以F(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减．
因为f(2)＝3，所以F(－2)＝F(2)＝2f(2)＝6，
f(x)>等价于
或
所以x>2或－2即不等式f(x)>的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).
8．已知函数f(x)＝ex＋e-x(其中e是自然对数的底数)，若a＝f(21.5)，b＝f(40.8)，c＝f(log2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．a解析：B　函数f(x)＝ex＋e-x是偶函数，
f′(x)＝ex－e-x，
当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
因为2log25＝log225所以2log25<5<2×21.5，
则log25<21.5<21.6＝40.8，
所以f(log2)＝f(－log25)＝f(log25)探究点4　奇偶性与周期性的综合应用
【例4】 (1)(多选)已知函数f(x)对 x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对 x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)＝0
B．f(x)是偶函数
C．f(x)是周期为4的周期函数
D．f(3)(2)(2025·陕西渭南月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－1为奇函数，则f(198)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：(1)ABC　因为y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数，B正确；
在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，又f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正确；
又f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，所以f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的周期函数，C正确；
对 x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，故f(0)＝f(－4)，f(3)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)>f(0)，所以f(3)>f(－4)，D错误．故选ABC.
(2)C　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)的周期为6.
又因为g(x)＝f(x)－1为奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，
即f(x)＋f(－x)＝2，令x＝0，则2f(0)＝2，即f(0)＝1.
所以f(198)＝f(6×33＋0)＝f(0)＝1，故选C.
(1)解答奇偶性与周期性的综合问题，常需要利用化归与转化的思想，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)注意掌握函数的奇偶性、对称性、周期性的常用结论：
①f(x)关于x＝a对称 f(x＋a)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(x＋a)是偶函数．
f(x)关于(a，0)对称 f(x＋a)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(x＋a)是奇函数．
②若对于函数f(x)的定义域内的任一x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数，且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数．
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是以T＝|a－b|为周期的周期函数．
变式探究
9．(2024·山东济南二模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2024)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：A　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋(1＋x))＝f(1－(1＋x))，即f(2＋x)＝f(－x).
又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R，
所以f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)，
所以f(2＋x)＝－f(4＋x)，
故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(2024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A.
10．(2025·福建厦门期中)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f(－)，f(4)，f()的大小关系正确的是(　　)
A．f(－)>f(4)>f()
B．f(－)>f()>f(4)
C．f()>f(4)>f(－)
D．f(4)>f()>f(－)
解析：A　由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)的周期为2.
因为f(x－2)为奇函数，则f(－x－2)＝－f(x－2)，
又因为f(x)的周期为2，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
因为x∈[0，1)时，>0，
所以f(x)在x∈[0，1)上单调递增．
因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1，0]上单调递增，所以f(x)在(－1，1)上单调递增，
因为f(x)的周期为2，
f(－)＝f(－＋2×4)＝f()，f(4)＝f(0)，
f()＝f(－2×3)＝f(－)，
所以f()>f(0)>f(－)，
即f(－)>f(4)>f().故选A.
　　　　　　　　　　
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）
A．y＝x sin x B．y＝x ln x
C．y＝x· D．y＝x ln （－x）
解析：B　因为函数y＝x ln x的定义域是(0，＋∞)，
所以y＝x ln x既不是奇函数也不是偶函数．故选B.
2．设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f（－）＝（　　）
A．－ B．－
C． D．
解析：A　f（－）＝f（－＋4）＝f（－）＝－f（）＝－×（1＋）＝－.故选A.
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2（1－），则当x<0时，f(x)＝（　　）
A．x2（1－） B．－x2（1－）
C．x2（1＋） D．－x2（1＋）
解析：D　令x<0，则－x>0，
故f(－x)＝(－x)2（1－）＝x2（1＋），
又y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2（1＋）.故选D.
4．（2025·陕西西安模拟）已知函数f(x)＝a－(a∈R)为奇函数，则a＝（　　）
A． B．－
C．1 D．－1
解析：B　f(－x)＝a－＝a－＝－f(x)＝－a，
得2a＝＋＝－1，所以a＝－.故选B.
5．（多选）已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（　　）
A．y＝f(|x|) B．y＝xf(x)
C．y＝f(x)＋f(－x) D．y＝f(x)＋x
解析：AC　因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
对于A，因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以y＝f(|x|)为偶函数，故满足题意；
对于B，因为－xf(－x)＝－xf(x)，所以y＝xf(x)为奇函数，故不满足题意；
对于C，易得y＝f(x)＋f(－x)为偶函数，故满足题意；
对于D，因为f(－x)－x＝f(x)－x≠f(x)＋x，
所以y＝f(x)＋x不为偶函数，故不满足题意．故选AC.
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex－1，若f(6－a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是（　　）
A．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
B．(－3，2)
C．(－2，3)
D．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
解析：C　因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，根据指数函数的性质，可得y＝ex是增函数，所以f(x)＝ex－1在[0，＋∞）上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)＝0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此f(x)在R上单调递增．
因为f(6－a2)>f(－a)，所以6－a2>－a，解得－27．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝　　　　　　．
解析：x2＋1　由题意知，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
则由f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，
可得f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋3(－x)＋1，
即f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.
由可得f(x)＝x2＋1.
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(x)是周期为　　　　　的函数；计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)＝　　　　　.
解析：4　1　因为f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
所以f(x)是周期为4的函数．
因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2026)＝f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
9．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是（　　）
A．[－1，1]∪[3，＋∞）
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞）
D．[－1，0]∪[1，3]
解析：D　因为奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0.
由xf(x－1)≥0，得
或
即或
解得－1≤x≤0或1≤x≤3.故选D.
10．函数f(x)＝(x2－2x)(ex-1－e1-x)＋x在区间[－1，3]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N＝（　　）
A．－2 B．0
C．2 D．4
解析：C　易知函数g(x)＝(x2－1)(ex－e－x)＋x为[－3，3]上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数f(x)＝[(x－1)2－1](ex-1－e1-x)＋(x－1)＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到g(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以M＋N＝2.故选C.
11．（多选）（2024·江苏南京二模）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(y)＝f(xy)＋|x|＋|y|，则（　　）
A．f(0)＝1 B．f(1)＝－1
C．f(x)是偶函数 D．f(x)是奇函数
解析：AC　令y＝0，则f(x)f(0)＝f(0)＋|x|，
令x＝y＝0，则[f(0)]2＝f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝1，
若f(0)＝0，则|x|＝0恒成立，不合题意，故f(0)＝1，A正确；
f(0)＝1，则f(x)＝1＋|x|，f(－1)＝2，B错误；
函数f(x)＝1＋|x|，定义域为R，f(－x)＝1＋|－x|＝1＋|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确，D错误．故选AC.
12．定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，且y＝f(2x＋2)为奇函数．当x∈（0，1]时，f(x)＝，则f(2025)＝（　　）
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：A　因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，
即f(2－x)＝f(x).　①
又因为y＝f(2x＋2)为奇函数，
所以f(－2x＋2)＝－f(2x＋2)，
即f(－x＋2)＝－f(x＋2)，　②
由①②知f(x)＝－f(x＋2)，
所以f(x＋2)＝－f(x＋4)＝－f(x)，
即f(x)＝f(x＋4)，
所以函数f(x)的周期为4，
所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)，
又f(1)＝1，所以f(2025)＝f(1)＝1.故选A.
13．（多选）（2025·河北承德模拟）已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是（　　）
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
解析：ACD　因为f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，A正确，B错误；
因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以T＝4，C正确；
因为T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，D正确．故选ACD.
14．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数f(x)的定义域为R，且f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则（　　）
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
解析：ABC　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，则f(1)＝0，B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，C正确；
对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，D错误．故选ABC.
微专题(二)　抽象函数
　　　　　　　　　　
题型1　抽象函数的性质与解不等式问题
【例1】 (2024·广西柳州三模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意的x，y∈R，都有|f(x)－f(y)|<|x－y|.若函数g(x)－f(x)＝x，则不等式g(2x－x2)＋g(x－2)<0的解集是(　　)
A．(－1，2)
B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：D　因为g(x)－f(x)＝x，
所以g(x)＝f(x)＋x.
由于f(x)是定义在R上的奇函数．
即f(x)＋f(－x)＝0，所以g(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－g(x)，
故g(x)为奇函数，
因为对于任意的x，y∈R，
有|f(x)－f(y)|<|x－y|，
所以|(g(x)－x)－(g(y)－y)|<|x－y|，
当x≠y时，有<1，
即|－1|<1，
所以0<<2，
所以g(x)单调递增．
因为g(2x－x2)＋g(x－2)<0，
所以g(2x－x2)<－g(x－2)＝g(2－x)，
所以2x－x2<2－x，
整理可得x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1，故选D.
依题设条件探究函数的单调性是解决问题的切入点．
变式探究
1．已知函数y＝f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有>0，若函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，且f(1)＝4，则不等式f(x)>的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：B　由函数y＝f(x＋1)图象关于点(－1，0)中心对称，知函数f(x)图象关于点(0，0)中心对称，所以f(x)为奇函数．
令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，
对于 x1，x2∈(0，＋∞)，
有＝>0(x1≠x2)，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减．
由f(1)＝4，得g(1)＝4，g(－1)＝4，
当x>0时，f(x)>变形为xf(x)>4，即g(x)>g(1)，解得x>1；
当x<0时，f(x)>变形为xf(x)<4，即g(x)综上，不等式f(x)>的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).故选B.
题型2　抽象函数的性质与求值问题
【例2】 (2024·浙江绍兴二模)已知定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)满足：对任意的a，b∈(0，＋∞)都有f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(4)＝2，函数g(x)满足g(x)＋g(4－x)＝－2，g(4－x)＝g(x＋2).当x∈[0，1]时，g(x)＝f(x＋1)－1，若g(x)在[0，m]上取得最大值的x值依次为x1，x2，…，xk，取得最小值的x值依次为x1′，x2′，…，xn′，若＋＝21，则实数m的取值范围为________________．
解析：[9，11)　定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)，对任意的a，b∈(0，＋∞)都有f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(4)＝2，
则f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，得f(2)＝1，
f(2)＝f(1×2)＝f(1)＋f(2)＝1，得f(1)＝0.
当x∈[0，1]时，g(x)＝f(x＋1)－1，
则g(x)在[0，1]上单调递增，且g(0)＝－1，g(1)＝0.
又函数g(x)满足g(x)＋g(4－x)＝－2，
所以g(x)的图象关于点(2，－1)对称，
得g(x)在[3，4]上单调递增，且g(4)

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