资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 3.1平方根
教学目标
1.通过实例经历平方根概念的形成过程，会用根号正确表示平方根和算术平方根，发展抽象能力； 2.经历平方根的相关事实的探究过程，能自主归纳发现数学规律，发展推理能力； 3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根和算术平方根，发展运算能力； 4.能反思和总结学习的方法，体会代数学习的一般观念。
教学内容
教学重点： 平方根、算术平方根的概念和求法。
教学难点： 平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，同时出现了新的符号表示.
教学过程
（一）呈现情景，提出问题 问题1跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，下降的高度d（米）和下降的时间t（秒）之间满足关系式d=5t2(不计空气阻力）。你能算出跳伞运动员在打开降落伞前下降875米需要的时间吗？ 师生活动：学生阅读问题，并思考可以转化为怎样的数学问题。已知d=5t2以及d=875，代入可得5t2=875，等式两边除以5得t2=175，那怎么求t呢？这需要引入一种新的数，研究一种新的运算。 问题2我们已经学习过哪些运算？它们中哪些运算是互为逆运算？乘方有没有逆运算？ 师生活动：教师引导学生回顾思考，已学过加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。加法与减法互逆；乘法与除法互逆。乘方有没有逆运算？逆运算是什么？提出本节课学习主题——研究平方运算的逆运算。 设计意图：通过情景设计，让学生意识无法用已学过的知识解决，需引入乘方逆运算。提出本节课的研究主题。 （二）任务驱动，尝试探究 乘方运算中最典型的是平方运算，我们不妨从平方运算开始探究。比如已知正方形的边长为3，你会求它的面积吗？ 追问1: 你是怎么想的？ 追问2：已知正方形的边长求面积可以转化为怎样的数学问题？ 师生活动：因为正方形的面积是等于边长的平方，所以面积等于3的平方，等于9。“已知边长，求面积”可以转化为“已知一个数是x，求数x的平方”。这是平方运算。 问题3 反之，已知正方形的面积分别为25，你能求它的边长吗？如果面积为1.44呢？ 追问1: 你是怎么想的？ 追问2：那么已知正方形的面积，求边长的问题可以转化为怎样的数学问题？ 师生活动：就是想哪个正数的平方等于25、1.44？“已知面积，求边长”可以转化为“已知一个数的平方等于a，求这个数”。这是平方运算的逆运算。 追问3: 一张正方形桌面的面积为1.44m2，它的边长为多少米？除了1.2的平方等于1.44，不考虑实际意义，还有什么数的平方也等于1.44？ 师生活动：学生回答，还有-1.2的平方也等于1.44，那么（ ±1.2 ）2=1.44，那么我们把1.2和-1.2叫做1.44的平方根，即1.44的平方根是±1.2；类似的，因为（±5）2=25,那么±5就叫做25的平方根，即25的平方根是±5。 设计意图：让学生在回答的过程中感受一个正数的平方根有两个，进而对平方根有一定的感性认识，为抽象平方根的概念做铺垫。 （三）抽象归纳，获取新知 问题4 怎样对这种平方运算的逆运算及其结果进行一般化的定义？ 师生活动：教师引导学生概括：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根，也叫做a的二次方根． 设计意图：从正方形的边长与面积关系引出平方运算与平方的逆运算，给出平方根概念，从特殊到一般，有助于概念的感悟。 （四）理解概念，探求性质 问题5 请说出下列各数的平方根： （1）49； （2）； （3）0。 师生活动：学生口述，教师规范板书解答。 设计意图：通过练习巩固平方根概念，为引出平方根的相关事实作准备。 追问1：-4有平方根吗？为什么？ 师生活动：有学生可能会回答-4有平方根是-2，教师引导用平方根的定义去检验是否正确。也有学生说-4没有平方根，让说明原因。 追问2：根据以上结果，关于数的平方根，你能发现什么结论？ 师生活动：学生通过观察练习中的结果归纳出： 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 设计意图：通过具体实例得出平方根的相关事实，发展学生的抽象能力和归纳能力。 追问3：2的平方根呢，怎么表示？ 师生活动：我们找不到哪个有理数的平方等于2，所以需要引入一种新的符号来表示2的平方根。 规定：一个正数 a 的正平方根用表示（读作“根号a”）； a 的负平方根用表示（读作“负根号a”），那么合起来，一个正数a的平方根就用 表示（读作“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。 追问4：被开方数a的取值范围是什么？ 师生活动：因为负数没有平方根，所以a为非负数，即a. 例如：49的平方根可以记作 ，即；同样的平方根记作： ，即 ；2的平方根可以表示为：. 由此求一个数的平方根的过程可以推广为：如果 x2 = a，那么x是a的平方根，即 x2 = a，已知x求a，这是平方运算。已知a求x，像这样求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方运算与平方运算互为逆运算。因此我们可以运用平方运算求一个数的平方根。 设计意图：给出平方根的符号表示，进一步理解平方运算与开平方运算互为逆运算。 （五）运用新知，内化迁移 例1求下列各数的平方根： 9； (2) ； (3)0.36； (4) ； （5）6。 师生活动：教师引导学生运用平方运算求一个数的平方根，师生共同规范书写过程，并用符号表示计算过程。 设计意图：强化学生对平方根概念的认识，会借助平方运算求一个非负数的 平方根。 （六）抽象归纳，深化概念 回顾问题3 已知正方形面积为1.44，求它的边长是多少？ 师生活动：教师指出这里的边长只能取1.44的正平方根1.2，负的不符合题意。有时为了实际需要，我们只能取正的那个平方根，我们把正数的正平方根称为算术平方根，规定0的算术平方根是0。一个数a的算术平方根记作。 追问1：这里的被开发数a取值范围又是什么呢？ 师生活动：因为算术平方根就是正的平方根，所以和平方根一样，被开方数a≥0。 追问2：9的算术平方根是什么？怎么想的？ 师生活动：因为9的平方根是，其中正的平方根是3，所以9的算术平方根是3.也可以用符号表示为；同样可以得到的平方根是，符号表示为。 设计意图：为了实际需要，引出算术平方根的概念以及算术平方根的符号表示。 例2 求下列各数的算术平方根： （1）0.0001 ； （2）0 ； （3） 。 追问：根据以上结果，你能发现算术平方根有什么性质？ 师生活动：师生共同用符号表示计算过程。归纳出：算术平方根一定是正数或者0.即,a。 例3先说出下列各式的意义，再计算。 师生活动：（1） 表示的平方根，计算结果是；（2）表示225的算术平方根，计算结果是 （3）表示的负平方根，计算结果是第1小题可以一般化为表示什么意义呢？表示a的平方根。第2小题可以一般化为表示什么意义？表示a的算术平方根。第3小题可以一般化为表示什么意义？表示a的负平方根。 设计意图：先说意义再计算，有助于加深对平方根，算术平方根概念的理解，准确地书写表达，掌握正确的符号化语言。 问题6 算术平方根与平方根有什么联系和区别？ 师生活动：学生讨论，逐一补充得出联系有（1）都是只有非负数才有平方根和算术平方根。（2）算术平方根是正的平方根，平方根包含算术平方根。（3）0的平方根和算术平方根都是0。 正数的平方根正数的算术平方根个数2个1个表示
区别： 问题7 解决引言中的问题？ 师生活动：前面已经化简为t2=175，根据实际意义，t为正数，所以t是175的算术平方根，即t=. 设计意图：理清平方根和算术平方根的概念，通过此问加深学生对它们区别与联系的理解。 （七）反思梳理，推广运用 本节课，你经历了怎样的学习过程？有哪些收获？ （1）学了什么？ （2）怎么学的？ （3）接下来还要学什么？ 师生活动：学生独立思考，小组展示交流，师生梳理完善知识结构。 设计意图：由学生讨论这节课的学习过程和收获,然后师生梳理完善知识结构。得出代数概念研究的一般思路和方法,引导学生感受建构新知识的方式和方法,使学生由学会到会学,实现能力和素养的提高。 （八）布置作业 教科书第80页作业题。

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