资源简介

第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.3 对数函数（第1课时）
▍教学目标
理解对数函数的概念，会判断对数函数．
初步掌握对数函数的图象和性质．
对数函数图象性质的简单应用．
数学抽象：理解对数函数的概念，了解对底数、真数的限制条件的合理性． 逻辑推理：对数函数图象的性质的应用． 直观想象：掌握对数函数图象的性质． 数学运算：求复合函数的定义域．
▍情境设置
【问题1】 我们知道某细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个……细胞个数是分裂次数的指数函数，因此知道的值就能求出的值．现在，我们来研究相反的问题：知道了细胞个数，如何确定分裂次数？
[学生活动] 完成下列表格： 细胞个数…分裂次数…次数对数表示…
[教师引导] 由对数的意义可知，当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次；当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次……当分裂后细胞个数为时，细胞分裂次数为次，我们发现对于每一个分裂后细胞个数，通过对应关系，细胞分裂次数都有唯一的值与之对应，从而也是关于的一个新的函数．
【问题2】 放射性物质经过的时间（单位：年）与物质剩留量的关系是指数函数（，）．反过来，如果知道放射性物质剩留量，如何得知它经过的时间呢？
[学生活动] ，是的函数．
[教师引导] 上述的两个新的函数都是是自变量，是的函数，跟我们的习惯不符，所以习惯上，仍用表示自变量，用表示它的函数．这样，上面两个函数就分别写成和
▍概念的探究与建构
【问题3】 函数和具有什么共同特征？你能再举两个例子吗？
[学生活动] 这些函数的表达式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变量，如，．
形成知识 一般地，函数（，）叫作对数函数，它的定义域是．
【问题4】 类比指数函数的形式，对数函数的形式应满足哪些条件？
[学生活动] 前的系数应为；底数为大于且不等于的常数；真数仅有自变量．
【思考1】 判定下列函数是否为对数函数？ 下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①；②（）；③；④； ⑤；⑥．
个 个 个 个
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数不能保证且，∴②不是对数函数；由于⑤的真数为不是对数函数；⑥的对数后面加了个，不是对数函数，∴只有③、④符合对数函数的定义．
[教师引导] 判断一个函数是对数函数必须是形如（且）的形式，即必须满足以下条件：（1）前的系数应为；（2）底数为大于且不等于的常数；（3）真数为系数为次数也为的单项式，一般是．
【问题5】 下面我们来研究对数函数的性质，类比指数函数，我们怎么得到对数函数的性质？
[学生活动] 用列表描点连线的方法画图，通过图象研究对数函数性质．
[教师引导] 每位同学从下述二组函数中选择一组底数互为倒数的对数函数在同一个坐标轴里用描点法作出函数的图象．（可以同桌两人分工一人画一组）
与； 与．
【问题6】 你能根据画出的图象归纳总结出对数函数的性质吗？
[学生活动] 学生表达，师生共同完善补充． 定义（，且）底数图象定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数共点性图象过定点，即时，函数值特点时，； 时，时，； 时，对称性函数与的图象关于轴对称
【思考2】 通过图象你还能得到对数函数的其他性质吗？比如对数函数图象的分布规律．
[学生活动] 对于底数的对数函数，在区间内，底数越大越靠近轴； 对于底数的对数函数，在区间内，底数越小越靠近轴．
[教师引导] 还可以作直线，与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底．
【问题7】 函数与函数（且）的定义域、值域之间有怎样的关系？
[学生活动] 画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：
，； ，；
[学生活动] 与的图象关于直线对称； 与的图象也关于直线对称． 函数的定义域是（且）的值域， 函数的值域是（且）的定义域．
形成知识 一般地，设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作． 在中，是自变量，是的函数．习惯上改写成（，）的形式．
▍知识的运用与升华
【例题1】 求下列函数的定义域： ； （，）； ．
[解析] 当，即时，有意义，因此函数的定义域是． 当，即时，有意义，因此函数的定义域是． 当且时， 即且时，有意义， 因此函数的定义域是．
方法归纳 定义域求解问题通常包括以下情况： 若为整式，则函数的定义域为； 若为分式，则分母要求不能为； 若为对数式，则要求真数大于； 若为根指数是偶数的根式，则要求被开方数非负； 描述实际问题时，要求使实际问题有意义．若是由以上几种情况的式子构成的，则常常转化为不等式（组）．
【例题2】 比较下列各组数中两个值的大小：
，； ，；
，； ，．
[解析] 考察对数函数，因为它的底数， 所以它在上是增函数，又，于是． 考察对数函数，因为它的底数，所以它在上是减函数，又，于是． 考察对数函数．因为，所以在上是增函数又，于是． 同理，． 考察对数函数和的图象，如右图： 当时，的图象在图象上方． ∴当时，∴． 此题也可用换底公式来解：，，，
方法归纳 利用对数函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法如下： 同底数的两个对数值的大小比较，根据对数函数的单调性比较； 底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引入中间量进行比较，通常取中间量为，，等； 底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公式化为同底，再进行比较．
【例题3】 解对数不等式：
； ．
[解析] 化为同底利用对数函数的单调性解不等式． ，，，∴不等式解集为． ，， ∴不等式解集为．
方法归纳 解对数不等式即化为同底利用对数函数的单调性比较大小，但一定先保证函数有意义．
【例题4】 若函数为减函数，则的取值范围是 ． 函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ．
[解析] 当底数大于零且小于时为减函数，所以，，所以的取值范围为． 当真数为时，恒为，所以令则，，所以．
▍课堂反馈
若对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为 ．
[解析] 设函数解析式为 ， 把代入得到，，， 所以函数解析式为．
如图是对数函数①，②， ③，④的图象，则，，，与的大小关系是 ．
[解析] 方法一：观察在轴上方的图象，从右至左依次为②①④③，故．
方法二：在上图中画出直线，发现分别与①②③④交于，，，四点，由图可知．
解对数不等式．
[解析] 当时，在为增函数，所以． 当时，在为减函数，所以 综上，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为．
▍课堂总结
【问题8】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 对数函数概念：函数（，且）叫作对数函数，它的定义域是； 对数函数的图象与性质； 比较两个对数值的大小的方法． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般……第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.3 对数函数（第2课时）
▍教学目标
进一步理解对数函数的概念及图象与性质．
能够熟练运用对数函数的图象和性质．
数学抽象：对数函数的图象与性质． 逻辑推理：图象变换问题． 数学运算：求函数的定义域、值域、单调区间． 数据分析：利用对数函数的性质解对数方程与对数不等式．
▍复习回顾
[教师引导] 对数函数的定义： 一般地，函数（，）叫作对数函数，它的定义域是．
对数函数的图象和性质： （且）图象性质定义域为，值域为图象过定点渐近线为轴在上为增函数在上为减函数时，； 时，时，； 时，
结论： 一般地，当，时， 函数与的图象关于直线对称； 一般地，当，时， 函数与的图象关于轴对称； 对于底数都大于的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近轴；对于底数都大于且小于的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离轴．以上规律可总结成时“底大图低”．实际上，作出直线，它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小，如图所示．
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式：上节课，我们学习了对数函数，请你谈谈对对数函数相关知识点的理解． 让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：解简单的对数方程及不等式
【例题1】 解下列方程： ； ； ．
[解析] 由，得，解得． 由，得， 解得或，又时，舍去，所以． 由，得， 解得或，所以或．
【例题2】 解下列不等式：
； ．
[解析] 由，得， 所以解得． 由，得 解得或．
方法归纳 常见的三种对数方程的一般解法： 方程（，）的解法“化指法”： 即将其化为指数式再求解，注意需验根． 方程（，）的解法“同底法”： 脱去对数符号，得，解出后，要满足 方程（，）的解法“换元法”： 令，将原方程化简为，然后解之． 解对数不等式的关键是正确地进行等价转化． （等价转化的理论根据是对数函数的定义，以及对数函数的单调性） 当时， 当时， 要注意数学思想方法的运用，如：分类讨论、换元、化归转化等等，提高解题速度和解题的准确率．
题型二：求对数复合函数的单调区间和值域
【例题3】 求下列函数的单调区间：
； ．
[解析] 要使函数有意义，则，解不等式得 所以函数定义域为． 设，函数在定义域上是增函数， 又的单调递增区间为， 单调递减区间为， 所以此函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 要使函数有意义，则，解不等式得， 所以函数定义域为． 设，函数在定义域上是增函数， 又的单调递增区间为， 单调递减区间为， 所以此函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【变式1】 已知函数在上为单调增函数，求实数的取值范围．
[解析] 设，要保证真数大于，只要在上的最小值大于． 当时，函数在定义域上是增函数， 由题意可知函数在上为增函数，则 解得，所以； 当时，函数在定义域上是减函数，由题意可知函数在上为减函数，则无解． 综上所述，实数的取值范围为．
【例题4】 求下列函数的值域：
； ．
[解析] 的定义域是． 因为，所以， 所以的值域为． 设． 因为，所以． 又在上为减函数，所以， 所以的值域为．
方法归纳 求解复合函数单调区间的一般步骤： 求复合函数的定义域； 求的单调区间，判断的单调性； 利用“同增异减”下结论． 型函数的值域的求法： 先求函数的定义域； 确定的值域； 利用对数函数的单调性，求出函数的值域．
题型三：对数函数的图象变换问题
【例题5】 分别将下列函数的图象与函数的图象在同一平面直角坐标系中画出来，并说明二者之间的关系．
； ；
； ．
[解析] 将函数的图象向右平移个单位长度，即得函数的图象． 将函数的图象向左平移个单位长度，即得函数的图象．
将函数的图象向下平移个单位长度，即得函数的图象． 将函数的图象向上平移个单位长度，即得函数的图象．
【例题6】 作出函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间．
[解析] 先画出函数的图象（如图①）． 再将该函数图象向右平移个单位长度得到函数的图象（如图②）． 最后把的图象在轴下方的部分对称翻折到轴上方（原来在轴上方的部分不变），即得出函数的图象（如图③）． 由图易知其定义域为，值域为，单调递减区间为，单调递增区间为．
图① 图② 图③
方法归纳 平移变换（左加右减，上加下减）： 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象． 将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象． 将函数的图象沿轴向上平移个单位，得到函数的图象． 将函数的图象沿轴向下平移个单位，得到函数的图象． 对称变换： 将函数的图象关于轴对称，得到函数的图象． 将函数的图象关于轴对称，得到函数的图象． 将函数的图象关于原点对称，得到函数的图象． 将函数的图象关于直线对称，得到函数的图象． 保留函数在轴上及轴上方的部分，把轴下方的部分关于轴对称到轴上方（去掉原来下方的部分），得到函数的图象． 保留函数在轴上及轴右侧的部分，去掉轴左侧的部分，再将右侧图象对称到轴左侧，得到函数的图象．
▍课堂反馈
已知，求的取值范围．
[解析] 当时，； 当时，，即； 所以的取值范围为．
解不等式：．
[解析] 原不等式等价于． 当时，，解得即； 当时，， 解得即． 综上所述，当时；当时，．
求函数的值域．
[解析] 令，，为减函数，因此函数的值域为．
作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
[解析] 先作出函数的图象，如图甲．再将在轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方（原来在轴上方的图象不变），得函数的图象，如图乙；然后将的图象向上平移个单位长度，得函数的图象，如图丙．由图丙得函数的单调递增区间是，单调递减区间是，值域是．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 本节通过运用对数函数的图象及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养．

展开更多......

收起↑