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第6章 幂函数 指数函数和对数函数
小结与复习（第1课时）
▍教学目标
理解分数指数幂、对数的意义，掌握有理指数幂、对数的运算，掌握指数函数 对数函数 幂函数的概念图象和性质，知道指数函数 对数函数 幂函数是描述客观世界变化规律的重要教学模型．
利用函数性质比较大小，解指数对数方程或不等式．
利用函数性质解决函数综合问题．
逻辑推理：运用幂函数，指数函数，对数函数单调性比较大小． 数学运算：分数指数幂，指数，对数的化简求值． 数学建模：运用数形结合思想，利用单调性，奇偶性解决问题．
▍复习回顾
[教师引导] 幂函数，指数函数，对数函数的定义： 幂函数定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 指数函数定义：一般地，函数叫作指数函数，它的定义域是． 对数函数定义：一般地，函数叫作对数函数，它的定义域是．
幂函数，指数函数，对数函数的性质： 幂函数（为常数，） 幂函数的定义域 值域 奇偶性要结合具体的值来看，但无论取何值，幂函数的图象一定过定点． 当时，在上，函数单调递减； 当时，在上，函数单调递增； 当时，在上，函数单调递增； 其他象限的单调性可以利用具体函数的奇偶性得到． 指数函数 图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，单调性在上是增函数在上是减函数
对数函数 图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，单调性在上是增函数在上是减函数
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式： 我们已经学习了几个重要的函数：幂函数，指数函数和对数函数，请你谈谈对三个函数定义性质的理解． 让学生自主主动回顾 检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：指对幂函数的运算
【例题1】 化简：
； ；
．
[思路分析] 按照指数 对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．
[解析] 原式． 原式． 原式 ．
方法归纳 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子 分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算 化简 证明常用的技巧． 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： “收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数． “拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．
题型二：比较数的大小问题
【例题2】 比较下列各组数的大小：
，，； ，；
，，，．
[思路分析] 指数，对数比较大小时常常需结合指对幂函数的性质．
[解析] 因为，，， 所以． 法一： 在同一坐标系中作出函数与的图象： 由底数变化对图象位置的影响知：． 法二：， ∵，∴． 因为，所以在上为增函数， 所以，即．同理，即． 又因为，，所以，故有．
方法归纳 利用指对幂函数的性质比较大小的常用方法： 比较两数（式）或几个数（式）大小问题是本章的一个重要题型．常用的方法有单调性法 图象法 中间搭桥法 作差法 作商法． 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数 对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 采用“媒介法”引入，，把三个数与，相比较得结论，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
题型三：解关于指对幂的不等式或方程
【例题3】 ； ．
[解析] 令，原方程可化为， 因式分解为，解得或（舍），所以，解得． 解得 即或．
【变式】 解不等式：（或）．
[思路分析] 在具体的解题过程中，要注意底数的范围对函数单调性的影响，当底数的范围不确定时，要分，进行讨论．
[解析] 当时， 解得即或， 当时， 解得即或， 综上所述：当时，或； 当时，或．
方法归纳 指数对数方程求解时注意转化法和换元法的灵活使用． 指数对数不等式求解时若底数是参数要注意分类讨论，需要强调的是，在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围易扩大或缩小而导致增 失根，因此解对数方程要注意验根．
题型四：关于指对幂函数的性质的综合问题
角度一：已知函数性质求参数范围
【例题4】 已知，则实数的取值范围．
[思路分析] 对数底数确定，函数单调性就明确了，根据单调性可得真数大小关系，对数求参数范围问题要注意定义域问题．
[解析] 由函数的单调性可知：解得．
角度二：已知函数性质解不等式
【例题5】 已知函数（）为定义在上的奇函数． 求实数的值； 解关于的不等式．
[思路分析] 利用奇函数的定义求出的值（或者利用求出，再代入验证），判断的单调性后综合利用函数的性质解不等式．
[解析] 方法一： 由题意可知恒成立，所以，则在上恒成立，所以，即． 方法二： 因为为定义在上奇函数， 所以，即，所以． 当时，对于任意的， ， 所以是奇函数，所以． ，任取， ， 因为， 所以，即，即在上为增函数． 因为为奇函数， 所以等价于． 又因为在上为增函数， 所以，所以．
方法归纳 求函数中参数的范围以及不等式问题，一般需综合利用函数的奇偶性和单调性来解决，对于函数的单调性要利用单调性的定义进行探索和证明．
▍课堂反馈
已知，，，则（ ）
[答案] C
[解析] ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴．
计算的值为________．
[答案]
[解析] 原式 ．
设函数若的取值范围是（ ）
[答案] D
[解析] 由函数 当时，，即， 解得，此时， 当时，，解得，此时， 综上：的取值范围是．
已知，求实数的取值范围．
[答案]
[解析] 根据在上单调递增，得解得．
已知函数，为实数，已知为奇函数， 求的值； 写出函数的单调区间（无需证明）； 若，求实数的取值范围．
[分析] 由奇函数定义可知恒成立，根据恒等式可求出的值．
[解析] 依题意，， 若为奇函数，则，即， 所以 ． 即即，所以或． 经检验． 由题意得，函数在上单调递减； ，解得， ∴函数的定义域为，， ∵函数为奇函数，∴， 又因为函数在上单调递减， ∴，∴．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．第6章 幂函数、指数函数和对数函数
小结与复习（第2课时）
▍教学目标
会求指对幂复合函数及分段函数的单调性．
用换元法解决指对幂复杂函数的最值问题．
利用指对幂函数的图象解决问题．
会建立指对幂函数的数学模型解决实际问题．
逻辑推理：在研究指对幂函数过程中，善于利用类比、归纳、演绎等逻辑推理发现和提出问题，探索和论证命题． 数学运算：利用概念和性质理解数学对象，探究运算思路，选择运算方法，求得运算结果． 数学建模：从现实问题出发，发现和提出问题，抽象出指对幂模型解决问题．
▍复习回顾
[教师引导] 复合函数的单调性：对于复合函数的单调性有如下表规律． （前提条件：在函数定义域内） 增增增增减减减增减减减增
复杂函数求最值：会用换元法转化成二次函数求最值，注意换元后一定要求新元的范围．
幂指对函数的图象变换及运用图象解决问题．
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，可结合具体例题带领学生一起思考、归纳总结得出结论．有利于学生提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：复杂函数的单调性
角度一：指对幂复合函数的单调性
【例题1】 函数的单调递增区间为________．
[思路分析] 先把复合函数拆分成几个简单函数，分别判断单调性，然后利用“同增异减”原则进行判定，要注意真数大于及底数对单调性的影响．
[解析] 定义域为，由题意，设，则函数的对称轴为，单调递减区间为， 因为（）是减函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是．故答案为：．
【例题2】 函数的单调递减区间是（ ）
[思路分析] 求出函数的定义域，根据二次函数与对数函数的单调性可得结果．
[解析] 由得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在上递减，且为增函数， 所以函数的单调递减区间是．故选：C．
角度二：分段函数的单调性
【例题3】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
[思路分析] 研究分段函数单调性，先分析每一个函数在各自定义域上的单调性，结合图象，发现在拐点处要注意每个函数取值的大小关系．
[解析] 因为函数在上单调递增， 所以解得，实数的取值范围是．
【变式1】 已知函数在上单调递增，则的范围为________．
[思路分析] 本题首先可以设，则，然后根据复合函数的单调性判断出在上是减函数，最后根据二次函数性质即可得出结果．
[解析] 令，则，， 因为在上是减函数，函数在上单调递增，所以在上是减函数， 因为函数对称轴为，开口向上， 所以解得，的范围为．
方法归纳 复合函数的单调性：口诀是“同增异减”．若两个函数同增或同减，则复合后的函数为增函数；若两个函数一增一减，则复合后的函数为减函数．具体步骤：①求定义域；②拆分函数；③分别求，的单调性；④按“同增异减”的原则得出复合函数的单调性． 结合图象研究分段函数单调性．
题型二：和型函数求最值
【例题4】 已知，． 设，求的取值范围； 求的值域．
[思路分析] 由函数在上是增函数即可求得结果； 利用换元法，根据二次函数的性质即可求出值域．
[解析] 设，由函数在上是增函数，故有，所以的取值范围是； 由，由(1)知，设，则， 利用换元法得：，，该二次函数的对称轴为，开口向上故当时，函数有最小值为；当时，函数有最大值为，所以的值域为
【例题5】 若函数，，求的是大值和最小值，并求此时的值．
[思路分析] 对函数化简可得，令，由可得，计算二次函数，的最值即可．
[解析] 令，由可得，则， 所以即时，， 当或即或时，， 综上所述：当或时，； 当时，．
【变式2】 设函数． 解不等式． 若，求函数的最大值．
[思路分析] 令，将原式变为，，判断得的值恒大于零，原不等式等价于，由此可求得不等式的解集； 当时，由(1)中换元得．当时，，当时，， 根据基本不等式可求得的最大值．
[解析] 令，则原式变为，， 对于其，所以的值恒大于零， ∴，等价于，解得， ∴，，所以不等式的解集为； 当时，由（1）中换元得． 当时，； 当时，， ∵，当且仅当时取等号， ∴的最大值为，经检验满足题意， 综上所述，的最大值为．
方法归纳 求形如和的函数的最值时，常采用换元法，令或，根据定义域先求出或的值域，再求的最值． 对数不等式的解法和对数函数的值域问题，解决问题的关键在于利用换元法，将原函数简化，换元后注意新元取值范围．
题型三：幂指对函数图象的运用
【例题6】 函数的图象大致为（ ）
[思路分析] 先根据题意判断函数定义域为，且在单调递增，再根据奇偶性得函数为偶函数，进而可得答案．
[解析] 由题知函数的定义域为，当时，为增函数，故排除ABD选项，由于，故函数为偶函数． 故选：C．
【例题7】 已知函数，实数，满足，且，若在上的最大值为，则________．
[思路分析] 先画出函数图象并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案．
[解析] 根据函数的图象，如图所示： 得 ，所以． 结合函数图象，易知当时在上取得最大值，所以，又，所以， 再结合，可得，所以．故答案为：．
方法归纳 函数图象的辨识可从以下方面入手： 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型四：幂指对函数的应用
【例题8】 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的进行奖励．记奖金总额为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）． 写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； 如果业务员老张获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[思路分析] 读懂题意，建立数学模型，解决有关问题．
[解析] 由题意得： 因为，，又， 所以，则，解得． 故老张的销售利润是万元．
方法归纳 解决实际问题时，要读懂题意，建立恰当的数学模型． 变量按取值不同，依不同的对应关系对应因变量，建立分段函数模型应注意： 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
▍课堂反馈
求函数的单调区间．
[答案] 增区间为，减区间为
[解析] 由得．令，则． 因为函数在上单调递增，在上单调递减，而函数是减函数， 所以函数的增区间为，减区间为．
若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
[答案] C
[解析] 因为函数在上单调递增， 所以解得，实数的取值范围是．
函数的图象大致为（ ）
[答案] B
[解析] 先判断函数奇偶性，可排除D，再取特殊值判断正负可排除AC． 的定义域为，且，则是偶函数，图象关于轴对称，故D错误； ∵，故A错误；∵，故C错误．
某种型号的手机，经过几次降价，单价由原来的元降到元，已知每次降价都是在现价基础上打九折，则一共降了 次．
[答案]
[解析] 设一共降了次价，由题意知，解得． 故一共降了次价．
求函数在上的最大值和最小值．
[答案] 最大值为，最小值为
[解析] 设，因为，所以， 则． 所以当时，；当时，．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．

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