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第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
▍教学目标
了解任意角的概念，理解正角、负角、零角及象限角的定义．
掌握终边相同的角的表示方法．
会判断角所在的象限．
数学抽象：理解任意角的相关概念． 逻辑推理：终边相同的角的表示方法． 数学分析：判断角所在的象限．
▍情境设置
[教师引导] 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，例如昼夜交替，潮汐变化，物体做简谐运动时的位移变化等等，这种变化规律称为周期性．
【问题1】 圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图，上的点以为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点的位置变化呢？
[学生活动] 可以用弧的长，也可以用的大小．
[教师引导] 我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图中，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别是角的始边和终边，点是终边与的交点．可以借助角的大小变化刻画点的位置变化．
【问题2】 我们以前所学角都在的范围内，生活中有超出角的例子吗？
[学生活动] 举例：如体操运动员的“前空翻转体一周半（）”和“后空翻转体两周（）”．还有跳水运动员的“向内、向外转体三周（）”等．
[教师引导] 我们提炼出描述角的关键词，会发现它们都围绕两个方面来描述，一个是旋转方向，一个是旋转量．
▍概念的探究与建构
形成知识 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫作角． 我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转形成的角叫作负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
[教师引导] 记作：角或，简记为． 说明：决定一个角的要素是旋转方向和旋转量． 例如，已知，那么图中红线标注的角是沿逆时针方向旋转了的角，所以它等于．
【思考1】 下面的角度如何表示？ 假如你的手表慢了分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？ 假如你的手表快了小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
[解析] 假如手表慢了分钟，想将它校准，分针应该顺时针旋转度，也就是． 假如手表快了小时，想将它校准，分针应该逆时针旋转两周半，也就是．
【问题3】 根据你对任意角概念的理解，你认为如何定义两角相等比较合理呢？
形成知识 设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．
【思考2】 判断两角是否相等？
[学生活动] ，虽然他们旋转量相等，但是旋转方向不相同．
[教师引导] 类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念．
形成知识 我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角．类似于实数的相反数是，角的相反角记为．
[教师引导] 两个实数可以相加减，两个角也可以相加减． 设，是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． 类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即．
▍概念的探究与建构
【问题4】 我们通常在直角坐标系内讨论角．在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置如何规定比较方便呢？
[学生活动] 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．
[教师引导] 根据终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？ 根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．这样我们得到了象限角的概念．
形成知识 使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． 解读：如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
【问题5】 锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？小于的角一定是锐角吗？
[学生活动] 因为锐角是指大于且小于的角，所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角．小于的角不一定是锐角，还包括零角和负角．
【思考3】 在直角坐标系中作出下列各角：，，，，并回答它们的终边有什么关系？
[学生活动] 作图，发现，，，这四个角的终边相同．
[教师引导] 也就是说，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角不唯一． 还有没有与角终边相同的角？它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？
[学生活动] 有，且与角终边相同的角有无数个． ， ， ， ． 可以用表示．
[教师引导] 将推广到一般角，结论是什么？
[学生活动] ．
形成知识 一般地，与角终边相同的角的集合为． 解读：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
▍知识的运用与升华
【例题1】 在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
[学生活动] 口答．
[解析] 方法一： ，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角． 方法二： 与角终边相同的角可以写成， 当时，，它是第二象限角．
【例题2】 写出终边在轴上的角的集合．
[解析] 终边落在轴非负半轴上的角构成集合， 终边落在轴非正半轴上的角构成集合， 观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是．
【例题3】 若是第二象限角，则是第________象限角．
[解析] 由于是第二象限角， 则， 则有，， 进而，， 结合直角坐标系可知是第一象限角．
▍课堂反馈
在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
； ．
[答案] ，第一象限 ，第四象限
写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：
； ．
[答案] ，， ，，
已知是第一象限角，那么是（ ）
第一象限角 第二象限角
第一或第二象限角 第一或第三象限角
[答案] D
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 任意角的概念及角的分类； 两角相等、相反角、象限角的定义，会判断角在第几象限； 会表示终边相同的角的集合． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、特殊到一般、类比……

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