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第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.2 角与弧度
▍教学目标
理解弧度的意义．
能正确地进行角度与弧度的换算．
掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．
数学抽象：弧度的意义． 数学运算：角度与弧度的换算． 数学分析：利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决简单的实际问题．
▍情境设置
【问题1】 描述某人身高尺，体重斤． 这里的尺、斤是什么单位？ 描述身高和体重，同学们更熟悉什么单位？
[学生活动] 尺、斤是市制单位． 我们更熟悉国际单位．度量身高用米，度量体重用千克．
[教师引导] 事实上，尺米，斤千克，换算之后，某人身高米，体重千克．可见，同一个量的不同单位制之间可以相互换算．
【问题2】 上节课我们把角的概念推广到了任意角．那么，如何度量一个角？ 角的度量单位是什么？ 度的角是如何规定的？
[学生活动] 角的度量单位是角度． 规定周角的为度的角．
[教师引导] 具体说：将圆周等分，每一份弧所对的圆心角为度．由此可见，角的度量与弧长的度量密切相关!我们所学的平面几何，最核心的问题是度量，而长度是度量最重要的特征．既然角与弧长有关系，我们就想：能否用弧长度量角？能否用长度度量角的大小？
▍概念的探究与建构
【问题3】 能否用长度度量角的大小？填表： 半径为时 的弧长圆心角的 角度数（备用：时的弧长）圆周半圆周圆周圆周的圆心角所对的弧
给定圆心角，它的大小会随半径的变化而变化吗？ 给定圆心角， 若给定半径，此时你能找到一个合适的量来度量圆心角吗？ 若半径变化，此时你能找到一个合适的量来度量圆心角吗？
[学生活动] 给定圆心角，改变半径与弧长，发现角的度数不变． 小组讨论交流．给定半径，第一列的弧长就是定值，可以用来反映这些角的大小．
[教师引导] 他想到：将半径定量，就能用刻画圆心角的大小． 但是，如果变化呢？有什么方法能消去半径呢？
[学生活动] 用弧长除以半径，即用去度量角的大小．
[教师引导] 几何画板进行实验验证．至此，就可以用长度去度量角度．你能用代数方法给出理论推导吗？
[学生活动] ，可见，圆心角的大小与形成一一对应的关系．
[教师引导] 既然我们隆重推出这个比值来度量角，就要给它个新身份，数学抽象，记弧长与半径之比，这里的就是个实数，可用这个实数去度量角．实现了角与实数运算进制的统一．现在仅用一个数去表示一个量，你觉得还缺点什么？
[学生活动] 缺少单位．
[教师引导] 由于这是通过度量弧长来度量角，所以给它个单位：弧度． 称为圆心角的弧度数． 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
【问题4】 弧度的角如何定义呢？
[学生活动] 时，．
[教师引导] 请你把符号语言转化为文字语言，给出弧度的角的定义．
形成知识 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作弧度的角，记作rad，读作弧度．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
【思考1】 若圆半径为，圆心角（正角）所对的圆弧长为，那么的弧度数是多少？
【变式】 若圆半径为，圆心角（负角）所对的圆弧长为，那么的弧度数是多少？
【思考2】 设长度为的线段绕端点旋转形成角（为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点形成的弧长设为，则、、之间具有怎样的关系？（用等式回答）
[学生活动] 由【思考2】得到，变形得．
形成知识 弧长公式：．
【思考3】 若弧是一个整圆，则其圆心角（正角）的弧度数是多少？若弧是一个半圆呢？
【思考4】 度等于多少弧度？弧度等于多少度？
[学生活动] 由【思考3】发现．
▍知识的运用与升华
【例题1】 写出下列特殊角对应的角度和弧度： 说明：当弧度数用表示时，如无特别要求，不必把写成小数．
[学生活动] 口答．（教师板演过程）
形成知识 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．
【思考5】 若已知圆心角的弧度数与半径（）如何求扇形面积？
[学生活动] 类比角度制下扇形面积公式的推导方法，得．
形成知识 弧度制下扇形面积公式：．
【例题2】 已知扇形的周长为厘米，圆心角为rad，求扇形面积．
[解析] 设扇形的半径为，弧长为．则有解得故扇形的面积为
▍课堂反馈
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） rad的角比的角要大．（ ） 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．（ ） 每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．（ ） 1°的角是周角的，rad的角是周角的．（ ）
[答案] √ × √ √
弧度化为角度是（ ）
[答案] C
半径为，圆心角为的扇形的面积是（ ）
[答案] C
________rad； ________．
[答案]
▍课堂总结
【问题5】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

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