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第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数（第1课时）
▍教学目标
通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．
能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．
数学抽象：通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数同一般函数一样，具有一般函数的抽象美，发展学生的数学抽象素养． 直观想象：借助几何中的相似形和圆理解三角函数的定义及判断任意角三角函数在各象限的符号．
▍情境设置
[教师引导] 用与用坐标均可表示圆周上点，这两种表示有什么内在联系？确切地说，用怎样的数学模型刻画与之间的关系？
▍概念的探究与建构
【问题1】 在前面的学习中，我们是如何研究角的？
[学生活动] 建立直角坐标系，将角的顶点放在坐标原点，始边为轴的非负半轴，在坐标系中画出角．
【问题2】 在初中，我们是如何研究锐角三角函数的？
[教师引导] 初中所学的锐角三角函数是借助于直角三角形来研究的，如图1，画出直角三角形，设角为直角，写出锐角的正弦、余弦、正切．
[学生活动] 在中，，，．
图1 图2 图3 图4
【问题3】 在直角坐标系中，如图2，如何用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数？
[学生活动] 过点P作轴的垂线，垂直为，得到，，，，根据锐角三角函数的定义可得，，．
【思考1】 对于锐角，当点在角的终边上运动时，的正弦、余弦、正切值会改变吗？
[学生活动] 如图4，在角的终边上另取一点，过点作轴的垂线，垂直为，根据三角形的相似性可得对于确定的角，比值，，不会随点在的终边上的位置改变而改变．
【思考2】 既然比值与点在角的终边上的位置无关，那么能否在终边上取适当的点，将表达式简化？
[学生活动] 对于确定的角，比值，，与点在的终边上的位置无关，因此将点取在角的终边与单位圆的交点处，即，得到，，．
【问题4】 对于锐角，与终边和单位圆的交点的横坐标，纵坐标，以及有什么对应关系？
[教师引导] 角可以用角度制度量，也可以用弧度制度量，在弧度制下，是一个实数，这样角的集合（实数集）与实数集之间建立了一一对应的关系．
[学生活动] 对于任意的一个实数，都有唯一的横坐标（纵坐标）与之对应，符合函数的定义．
【思考3】 与锐角终边相同的角，上述对应关系是否依然成立？
[学生活动] 与锐角终边相同的角对应关系没有改变，依然成立．
【问题5】 当角终边在第二、三、四象限时，，，是否依然成立？
[学生活动] 当角终边在第二、三、四象限时，类比第一象限角的三角函数的定义，依然成立．
形成知识 任意角的三角函数定义： 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是，则．此时，点是角的终边与半径为的圆的交点．根据相似三角形知识可知，比值，，与的终边上的点的位置无关．我们规定： 比值叫作的正弦，记作，即； 比值叫作的余弦，记作，即； 比值（）叫作的正切，记作，即．
【思考4】 这种比值形式能进一步简化吗？
[学生活动] 令，，，．
【思考5】 对于每一个确定的角，都分别由唯一确定的比值，，与之对应，因此这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫作正弦函数、余弦函数和正切函数，那么它们的定义域是什么？
形成知识 三个三角函数的定义域： 三角函数定义域
【问题6】 能否确定正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号？若的终边落在坐标轴上呢？
[学生活动] 通过三角函数的定义可知，三角函数值在各个象限的符号与终边上的点的坐标有关．
形成知识 三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
▍知识的运用与升华
题型一：利用定义求解角的正弦、余弦、正切值
【例题1】 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值．
[解析] 因为，， 所以， 从而 ，，．
【变式】 已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切值．
[解析] 在直线上任取点，则， 当时，，，， 当时，，，．
方法归纳 运用任意角的三角函数的定义来求三角函数值时，先要判断终边的可能位置，然后在终边上任意取一点，也可取一特殊点，求出该点到原点的距离，再由定义来进一步求解．若有参数，还要注意对参数进行分类讨论．
题型二：利用单位圆求解角的正弦、余弦、正切值
【例题2】 当时，求，，的值； 当时，求，，的值．
[解析] 当时， 设的终边与单位圆的交点的坐标为（，）． 根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知． 又由勾股定理得，解得， 所以点的坐标为． 因此，，． 当时，设的终边与单位圆的交点为，根据点的坐标与(1)中点关于轴对称可知，点的坐标为． 因此，，．
方法归纳 由于，，的值与的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择终边上的特殊点来计算，，的值，例如选择的终边与单位圆的交点．
题型三：利用定义判定正弦、余弦、正切值的符号
【例题3】 确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
； ； ．
[解析] 因为是第二象限角，所以． 因为，即是第三象限角，所以． 因为，即是第四象限角，所以．
方法归纳 判断三角函数值在各象限符号的攻略： 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号； 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．
▍课堂反馈
已知角终边过点，则的值为（ ）
[解析] 由三角函数的定义．
[答案] B
若，则点位于 （ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
[解析] 因为，所以，，所以点位于第二象限．
[答案] B
函数的值可能为（ ）
[解析] 当角的终边落在第一象限时，，，，得； 当角的终边落在第二象限时，，，，得； 当角的终边落在第三象限时，，，，得； 当角的终边落在第四象限时，，，，得．
[答案] BD
已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上的一点，且，求的值．
[解析] 因为，所以， 解得，又因为角为第四象限角，所以．
▍课堂总结
【问题7】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 三角函数的概念； 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号． 思想与方法层面：运用了定义法、公式法、数形结合法解题．体现的数学思想、化归的思想及数形结合的思想．第7章 三角函数
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数（第2课时）
▍教学目标
通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．
正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．
能应用三角函数线比较三角函数值的大小及已知三角函数值求角（或角的范围）．
直观想象：利用有向线段表示正弦函数值、余弦函数值、正切函数值． 数学运算：利用三角函数线解决三角方程与三角不等式问题
▍情境设置
【问题1】 设，试比较与的大小．
▍概念的探究与建构
【思考1】 是一个函数值，是一个角，两个“不同类”的对象放在一起比较大小，有意义吗？
[学生活动] 先考虑是特殊角的情况，比如当时，；当时，，等等．
[教师引导] 前面有的同学选取的是特殊角，可以比较它们的大小关系，当不是特殊角时，的值无法计算，这时怎么办呢？
【思考2】 我们回到弧度制公式，对于，有，特别地，当时，有，即单位圆中的圆心角的大小可用其所对的弧表示（以形示数），那么在单位圆中能否用图表示？
[学生活动] 在单位圆中，过点作轴，可以用线段的长度表示，，易得．
【问题2】 既然，，那么确定角的正、余弦的关键就是找出的横坐标与纵坐标，你会找出，吗？你能用有关线段表示，的值吗？（以象限角为例说明）
[学生活动] 当角为第一象限角时，，； 当角为第二象限角时，，； 当角为第三象限角时，，； 当角为第四象限角时，，．
【问题3】 线段长度前面有正负号，能否赋予线段“双重使命”，使得它既含有长度，又含有方向？
形成知识 规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段．类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段在直线上或与有向直线平行，根据有向线段与有向直线的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为． 我们把有向线段，分别叫作角的正弦线、余弦线．
[教师引导] 根据有向线段的定义，对于任意象限的角，都有，（其中，均为有向线段），那么角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线的情况如何？
[学生活动] 当角的终边落在坐标轴上时，结果一样．
【问题4】 类似地，我们能引进正切线的概念吗？
[学生活动] 先考虑第一象限角，根据正切的定义，这里面有两条有向线段，不知道怎样将两条有向线段的比用一条有向线段表示．
[教师引导] 最理想的情况是，而角的终边与单位圆的交点并不满足要求，利用三角函数的终边定义法，角的三角函数值与点在终边上的位置无关，因此，可选取终边上的点，过点作轴的垂线，垂足为，则，有向线段即为角的正切线．
【思考3】 若角的终边在第二象限，如何用有向线段表示正切线？
[学生活动] 取终边上的点，则．
[教师引导] 当角的终边在第二象限时，，这与当角的终边在第一象限时，不一样，这是由于选取造成的，能不能将两种情形统一？
[学生活动] 解决的办法是设法出现，只要将角的终边反向延长就行了，如图． 同理，对于第三、四象限和轴线角的正切线也可以用相同的办法作出．
形成知识 概念解读： 三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点． 三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值． 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．
▍知识的运用与升华
题型一：作角的三角函数线
【例题1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
； ； ； ．
[解析]
方法归纳 作三角函数线分三步： 先画出单位圆，标注点； 准确作出角的终边，找到角的终边与单位圆的交点，过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交角的终边（或角的终边的反向延长线）于点； 写出结论：正弦线为有向线段、余弦线为有向线段、正切线为有向线段．
题型二：利用三角函数线比较值的大小
【例题2】 比较下列各组三角函数值的大小：
，； ，； ，．
[解析] 在单位圆中作出三角函数线：
； ； ．
方法归纳 三角函数线是有方向的，与轴、轴的正方向相反的三角函数线，长度越长，它所表示的有向线段的数量越小，即三角函数值越小．
【思考4】 从【例题2】中，我们可以领悟到利用单位圆中的三角函数线可以比较三角函数值的大小，那么，我们能利用它研究正弦函数、余弦函数在区间上的单调性吗？
【思考5】 我们能利用单位圆中的三角函数线研究正切函数在区间上的单调性吗？
【思考6】 我们能利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域吗？
题型三：利用单位圆求角的大小
【例题3】 利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合：
； ； ．
[解析] 作出如图所示图形得： ； （图略）； （图略）．
方法归纳 作出相应的三角函数线，在确定答案时，要先找出一个满足条件的角，然后写出与该角终边相同的角的集合，从而得到问题的答案．注意正弦线平行于轴或在轴上，而余弦线在轴上．
【变式】 利用单位圆分别写出符合条件的角的集合，．
[解析] 作出如图所示的图形，根据图形可得，满足条件的角的集合为．
方法归纳 解决此类问题一般可分为三步： 求出边界的值； 标出满足条件的区域； 根据区域写出满足条件的答案．另外，还要注意，是否包括边界，通常情况下，包括边界的，边界用实线表示，不包括边界的，边界用虚线表示．
▍课堂反馈
（多选）下列判断中正确的是（ ） 不论角的终边位置如何，总能在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线 在单位圆中，有相同正弦线的角相等 和有相同的正切线 具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
[答案] CD
角和角相同是（ ）
正弦线 余弦线 正切线 不能确定
[答案] C
已知，，分别是角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线长从小到大的排列顺序是 ．
[答案]
求函数的定义域．
[解析] 要使函数有意义，需满足，所以； 由余弦函数线可知函数的定义域为．
[答案] ，
▍课堂总结
【问题5】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 知识与技能层面： 三角函数线的定义：单位圆的概念，有向线段、有向直线的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义．三角函数线都是一些特殊的有向线段，一是其与坐标轴平行（或重合），二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的几何表示． 会画任意角的三角函数线． 应用单位圆中的三角函数线，解决了一些与三角函数有关的问题，如比较三角函数值的大小，求角或角的范围． 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、转化与划归、特殊到一般．

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