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第十八章 分式
18.3 分式的加法与减法
（第2课时）
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算。
1．说一说分式乘法、除法与乘方的运算法则？
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
2．说一说分式加法与减法的运算法则，并用式子表示出来．
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为
，
．
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减．
例1：计算．（1）；（2）．
解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
算乘方，除法变乘法
约分，做乘法
观察运算类型：乘方、乘除法、减法
异分母分式相加减
结果要化成最简分式或整式
例1：计算．（1）；（2）．
（2）
＝
＝
＝
＝．
解：（1）
＝
＝
＝
＝
＝
＝；
分式混合运算，四种意识要强化
　　（1）顺序意识：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
　　（2）转化意识：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减；
　　（3）因式分解意识：若分子、分母中有多项式，应先因式分解；
　　（4）约分意识：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式．
例2：张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是akm/h，在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是km/h．如果a≠b，两人谁先到达乙地？
分析：先设甲乙两地路程为s，通过 “时间 = 路程 ÷ 速度” 分别计算两人用时，然后通过作差比较时间，化简后即可得出结论。
例2：张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是akm/h，在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是km/h．如果a≠b，两人谁先到达乙地？
解：设从甲地到乙地的路程为skm，张华从甲地到乙地的时间(单位：h)为
．
李明从甲地到乙地的时间(单位：h)为
．
例2：张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是akm/h，在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是km/h．如果a≠b，两人谁先到达乙地？
两人的时间差为
，
因为s，a，b均大于0，且a≠b，
所以＞0，即．
因此，李明先到达乙地．
【知识技能类练习】必做题：
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：(1)； (2)；
(3)．
解：（1）原式
．
【知识技能类练习】必做题：
（2）原式
．
3．计算：(1)； (2)；
(3)．
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：(1)； (2)；
(3)．
（3）原式
．
【知识技能类练习】选做题：
4．在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港．
乙
【综合拓展类练习】
5．先化简，再求值：，其中．
解：
=
=
=
=
=
当时，原式．
分式的混合运算
分式的实际应用
分式的混合运算的运算顺序
【知识技能类作业】必做题：
1．下列运算或化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如下是嘉嘉对分式化简的步骤：
=
=
=
（1）上述化简过程中，最开始出错的步骤是 （填序号）；
（2）正确的化简结果是 ．
③
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)；(2)．
解：（1）原式；
（2）原式．
【知识技能类作业】选做题：
4．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
C
【综合拓展类作业】
5．先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
解：原式
=
=
根据分式有意义的条件可知，
∴当取范围内的整数时，只有．
∴当时，原式．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 18.3 分式的加法与减法（第2课时） 单元 第十八章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．
重点 运用分式的运算法则进行加、减、乘、除以及乘方的混合运算．
难点 准确结合混合运算顺序进行分式的混合运算．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说分式乘法、除法与乘方的运算法则？ 2．说一说分式加法与减法的运算法则，并用式子表示出来．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助数的混合运算顺序，研究分式的混合运算。 式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减． 例1：计算．（1）；（2）． 归纳：分式混合运算，四种意识要强化 （1）顺序意识：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算________，再算_______，最后算_______，有括号的先算________里面的； （2）转化意识：分式的除法运算要转化为_______运算，异分母分式相加减要转化为______________相加减； （3）因式分解意识：若分子、分母中有多项式，应先_________； （4）约分意识：若分子、分母中有公因式，应先________，最后结果要化为_________或_________． 例2：张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是akm/h，在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是km/h．如果a≠b，两人谁先到达乙地？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：，其中．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列运算或化简正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如下是嘉嘉对分式化简的步骤：
（1）上述化简过程中，最开始出错的步骤是 （填序号）； （2）正确的化简结果是 ． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（ ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【综合拓展类作业】 5．先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
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分课时教学设计
第七课时《18.3 分式的加法与减法（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版数学八年级上册第 18 章第3节分式的加法与减法的第 2 课时，聚焦分式混合运算及实际应用。它承接分式的乘除、加减运算规则，是分式运算知识的综合与升华，完善了分式运算体系。分式混合运算延续数的混合运算顺序，是代数运算的重要延伸，为后续函数、方程等知识的学习奠定基础。实际应用问题则搭建了数学与生活的桥梁，帮助学生体会分式的实用价值，提升运用代数知识解决实际问题的能力，同时培养运算严谨性和逻辑思维能力。
学习者分析 学生已掌握数的混合运算顺序，以及分式的基本性质、乘除运算和加减运算，具备一定代数运算基础，为本课分式混合运算的学习奠定了知识前提。但学生在之前学习中，可能存在通分找最简公分母不精准、因式分解不彻底、约分不规范等问题，且面对 “先乘方，再乘除，后加减” 的混合运算顺序，易出现步骤混淆或遗漏（如忽略括号内运算优先级）的情况。同时，学生将分式运算与实际问题结合时，从题干中提取关键信息、建立分式模型的能力尚需提升，需要教师在教学中针对性引导。
教学目标 明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．
教学重点 运用分式的运算法则进行加、减、乘、除以及乘方的混合运算．
教学难点 准确结合混合运算顺序进行分式的混合运算．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说分式乘法、除法与乘方的运算法则？ 答案：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 2．说一说分式加法与减法的运算法则，并用式子表示出来． 答案：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为 ， ． 导言：式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，为计算分式的混合运算做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 例1：计算．（1）；（2）． 讲解：观察（1）可得运算类型：乘方、乘除法、减法 运算顺序及注意事项： 算乘方，除法变乘法 约分，做乘法 异分母分式相加减 结果要化成最简分式或整式 解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝． 归纳：分式混合运算，四种意识要强化 （1）顺序意识：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； （2）转化意识：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减； （3）因式分解意识：若分子、分母中有多项式，应先因式分解； （4）约分意识：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式． 例2：张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是akm/h，在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是km/h．如果a≠b，两人谁先到达乙地？ 分析：先设甲乙两地路程为s，通过 “时间 = 路程 ÷ 速度” 分别计算两人用时，然后通过作差比较时间，化简后即可得出结论。 解：设从甲地到乙地的路程为skm，张华从甲地到乙地的时间(单位：h)为 ． 李明从甲地到乙地的时间(单位：h)为 ． 两人的时间差为 ， 因为s，a，b均大于0，且a≠b， 所以＞0，即． 因此，李明先到达乙地．学生活动3： 学生先听老师的讲解，然后尝试独立计算后组内交流，班内展示交流，最后听老师的点评活动意图说明： 通过例1引导学生类比数混合运算掌握分式的混合运算顺序，并提高学生的计算能力，通过例2提高学生运用分式解决实际问题的能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：18.3 分式的加法与减法（第2课时） 一、分式的混合运算的运算顺序 二、分式的实际应用 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．计算的结果为（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．计算： (1)； (2)； (3)． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 选做题： 4．在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 解：∵甲船逆流航行1小时的路程为，甲返航时实际速度为， ∴甲返航时间为， ∵乙船逆流航行1小时的路程为，乙返航时实际速度为， ∴乙返航时间为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即乙船先返回港． 故答案为：乙． 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时，原式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列运算或化简正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如下是嘉嘉对分式化简的步骤：
（1）上述化简过程中，最开始出错的步骤是 （填序号）； （2）正确的化简结果是 ． 答案：③， 3．计算： (1)； (2)． 解：（1）原式； （2）原式． 选做题： 4．一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（ ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 答案：C 【综合拓展类作业】 5．先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 解：原式 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有． ∴当时，原式．
教学反思 本课教学中，虽通过回顾数的混合运算顺序帮助学生迁移理解分式运算规则，结合例题拆解步骤降低了基础运算难度，但仍存在不足。部分学生在复杂混合运算中，仍因通分不精准、因式分解不彻底出错，说明对运算细节的强化还需加强。此外，实际应用环节，少数学生建立分式模型较困难，后续可增加生活化例题的梯度引导。同时，应给学生更多自主纠错时间，通过互评互助深化对运算顺序和化简技巧的掌握，提升教学实效性。
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