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《数图形问题——探索数线段的规律》教学设计
学科 数学 年级 三年级 课型 新授课 单元 第五单元
课题 《数图形问题——探索数线段的规律》 课时 第2课时
课标要求 本课内容深刻体现了《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求。在“图形与几何”领域，它要求学生通过观察、操作，掌握基本的图形特征，并初步形成空间观念和几何直观。数图形问题的探究过程，本质上是引导学生从简单情形入手，发现复杂图形中蕴含的数学规律，这直接培养了学生的推理意识和模型意识。同时，从数线段到数角、数三角形的迁移应用，体现了“触类旁通”的思想，符合课标强调的培养学生应用意识和创新精神的要求，引导学生用数学的思维思考现实世界。
教材分析 此部分内容是“探索乐园”中“数图形问题”的典型范例。教材编排逻辑清晰，层层递进：首先以数线段为核心例题，通过“怎样数”引发认知冲突，进而展示“按长度分类”和“定起点枚举”两种有序思想，并抽象出“从1连续加到（点数-1）”的通用算法模型。在此基础上，教材设计了“练一练”，将模型迁移至数角、数三角形和数长方形，旨在通过变式练习，让学生深刻理解“化归”思想，即把新的复杂问题转化为已知的简单模型来解决。这种编排旨在帮助学生构建解决一类问题的知识体系，而非孤立地学习一个知识点。
学情分析 从认知基础看，小学中年级学生已认识线段、角、三角形等基本图形，具备初步的观察和简单分类能力。从思维特点看，他们正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，但思考问题往往不够有序、全面，在数图形时极易出现重复或遗漏。本课的学习，既是学生系统学习有序思考策略的关键时机，也是他们初步接触数学模型的宝贵经历。其学习难点在于从具体的数数操作中抽象出普遍的计算公式，并能主动识别不同情境下的模型结构。因此，教学需充分借助直观，引导学生在对比中感悟“有序”的价值，在迁移中体会“模型”的力量。
核心素养目标 1.在数线段的活动中，发现线段条数与点数的规律，掌握有序数图形的方法，能运用总结的规律，快速计算有n个点的线段总数，能将数线段的方法迁移到数角、数三角形等类似图形的问题中。 2.经历从无序到有序、从具体到抽象的探索过程，体验“分类讨论”和“模型构建”的数学思想。通过小组合作、对比分析，培养观察、归纳和推理能力。 3.在解决富有挑战性的数学问题过程中，感受数学的规律美和简洁美，增强学习数学的兴趣和信心。
教学重点 探索并掌握有序数线段的方法，发现线段条数与点数之间的规律。
教学难点 理解并推导出计算线段总和的通用公式，并实现方法的有效迁移。
教学准备 多媒体课件。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、导入 温故孕新 师：同学们，请看，这是什么？ （线段）谁能说说线段有什么特点？ 师：说得非常好！线段是我们认识图形世界的基础。今天，我们就来玩一个‘火眼金睛’的游戏——数图形。 回顾线段的基本特征。 学生：直、有两个端点。 从旧知“线段的特点”引入，建立连接。 创设“数图形”的问题情境，制造认知冲突，激发学生的探究欲望。
二、探究 (二) 合作探究，发现数学 探究活动一：探索有序数线段的方法 师：看，这条线上有A、B、C、D四个点。那么，由这些点构成的线段，一共有多少条呢？你能一下子数清楚吗？ 师：老师看到大家数的结果不太一样，有的数多了，有的数少了。怎样才能数得又对又快、不重复不遗漏呢？这里面可藏着大学问！让我们小组合作，一起来寻找数图形的‘金钥匙’。 出示小组讨论要求： ①想一想，怎样标出找到的线段？ ②画一画，数出总数。 ③说一说，交流方法。 关注各小组的策略，发现典型的数法（如无序乱数、按顺序数、分类数）。 组织汇报交流： 请方法不完善的小组汇报，暴露数错的问题。 请方法有序的小组汇报，展示两种核心方法： 方法一：按线段长短分类。 基本线段有3条（AB, BC, CD）； 由两条基本线段组成的有2条（AC, BD）； 由三条基本线段组成的有1条（AD）。 板书：3 + 2 + 1 = 6。 方法二：以端点为起点，有序枚举。 以A为起点：AB, AC, AD（3条）； 以B为起点：BC, BD（2条）； 以C为起点：CD（1条）。 板书：3 + 2 + 1 = 6。 师：真是太精彩了！无论是亮亮的‘分类法’，还是红红的‘起点法’，他们都做到了‘有序思考’，所以结果都是6条。大家发现了吗，他们的算式都是——3+2+1。这难道是一种巧合吗？ 探究活动二：发现规律，建立模型 引导发现规律： 提问： 观察这些算式和结果，你发现了什么规律？ 引导学生从两个角度说： 角度一： 每增加一个点，就新增（原来点数）条线段。如：3个点有3条，增加一个点成4个点，就新增3条，变成3+3=6。 角度二： 线段总条数是从1开始的连续自然数相加，加到（点数-1）。 如：4个点，就从1加到3 (1+2+3=6)。 总结公式：线段总条数 = (点数 - 1) + (点数 - 2) + … + 1。 应用规律： 让学生用公式快速计算“6个点”和“10个点”的线段总数。 小组合作，尝试用不同的方法数线段并记录。 观察表格，独立思考规律。 与同桌交流自己的发现。 尝试用总结的规律进行计算。 让学生在自主探索中亲身体验“无序”的混乱和“有序”的简洁，深刻体会“有序思考”的重要性。 通过对比两种有序方法，理解“分类”和“枚举”的本质都是不重不漏。 从具体事例中归纳出普遍规律，培养学生的抽象概括能力和模型意识。 通过应用规律解决问题，感受数学模型的威力和简洁。
四、变式 变式深化，设计方案 提出问题：想一想，数角的个数、数三角形的个数，能不能用数线段的方法来解决？ 引导类比： 出示数角图：角的两条边可以看作什么？ （射线）这些射线都源于一个顶点，像不像线段上的点？ 引导学生得出：角的个数 = (射线条数 - 1) + (射线条数 - 2) + … + 1。 （出示数三角形图）：这些三角形共有一条底边，底边上的点像不像线段上的点？ 引导学生得出：三角形个数 = (底边点数 - 1) + (底边点数 - 2) + … + 1。 小结提升：看来，很多数图形的问题，其本质都是‘数线段’的模型！ 师： 我们找到了一个威力巨大的数学模型！现在，就让我们用这个模型去解决更多的问题，检验一下大家的掌握情况吧！ 观察图形，进行类比联想。 理解并表述数角、数三角形与数线段方法之间的联系。 实现数学思想和方法的正迁移，让学生体会到“举一反三”、“触类旁通”的学习乐趣，深化对数学模型的理解。
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1. （1）数一数下面的图中各有几条射线、几个角，填在下表中。 （2）观察上面的统计表，你发现射线的条数和角的个数分别有什么规律？ 2.观察下面大三角形中增加的线段，填写下表。 3.数一数下面的图中各有几个长方形。 （ ）个 （ ）个 （ ）个 学生独自完成，然后集体订正。 设计多层次、多形式的练习，从动手操作到空间想象，再到生活应用，巩固所学知识，发展学生的实践能力和创新意识。
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 引导学生自主梳理本节课的知识点，培养他们的总结归纳能力和语言表达能力。
板书设计 组合图形的数量规律 线段的条数＝（端点数－1）＋（端点数－2）＋……＋1 按顺序数，不重复，不遗漏。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 （课外练习） 基础达标： 1.数一数下面的图中有几个正方形。 2.六年级有5支球队参加班级联赛，如果自始至终采用单循环赛制，全部比赛完一共需要多少场 提优拓展 3.某次往返列车在铁路沿线上共停5站（包括起点站和终点站，每站间隔距离相同），这几个车站需要准备多少种不同的车票？若每多乘一站加收相同费用，这些车票有多少种不同的票价？
教学反思 本节课围绕“数线段”问题展开，旨在引导学生探索图形计数的规律。教学中，通过创设“火眼金睛”的情境有效激发了学生的探究兴趣。在合作探究环节，学生亲身经历了从无序数到有序数的思维转变，深刻体会到“有序思考”的重要性。多数学生能够掌握两种核心方法（分类法和起点枚举法），并成功归纳出计算线段条数的通用公式，展现了良好的模型建构能力。 然而，在教学过程中也发现，将具体的操作活动抽象为数学公式仍是部分学生的难点，尤其对“从1连续加到（n-1）”这一规律的理解存在困难。此外，在方法迁移环节，虽然学生能类比数线段的方法解决数角问题，但对数长方形这类更复杂问题的迁移应用仍显生涩。 今后教学中，需在规律抽象环节增加更多直观演示和分层引导，帮助学生实现从具体到抽象的平稳过渡。同时，应设计更具梯度的变式练习，如从数角到数三角形，再到数长方形，循序渐进地培养学生的迁移能力，让数学模型意识真正深入人心。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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