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3　勾股定理的应用
课题 3　勾股定理的应用 授课人
教 学 目 标 1.能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力,渗透数学建模的思想. 3.培养学生应用数学的能力,体会数学在生活中的作用. 4.激发学生强烈的求知欲,使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.
教学 重点 　　应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
教学 难点 　　从实际问题中合理抽象出数学模型.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件、三角尺
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 探究 与 应用 【探究】 勾股定理的应用 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图1-3-10)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. 图1-3-10 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗 师生活动:教师展示问题,让学生在小组内讨论、交流,引导学生发现要想探究边AD和边BC是否分别垂直于边AB,就是要看∠A和∠B是否均为直角,然后让学生利用直角三角形的判别方法进行研讨. 学情预设:连接AC,BD,分别测量AD,AB,BD,AC,BC的长度,当AD2+AB2=BD2,AB2+BC2=AC2时,边AD和边BC分别垂直于边AB. (2)李叔叔测得边AD长30 cm,边AB长40 cm,点B,D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗 说明:让学生写出推理过程,并在小组内交流,教师巡视指导,规范学生的书写格式,然后进行讲评. 学情预设:因为AD2+AB2=302+402=900+1600=2500,BD2=502=2500,所以AD2+AB2=BD2,所以△ABD为直角三角形,∠B=90°,所以AD⊥AB. (3)如果李叔叔随身只带了一把长度为20 cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗 　　1.运用直角三角形的判别条件来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许使用的工具灵活处理问题,培养学生的思考能力、动手能力以及探究能力. 2.在学生推理的过程中,规范学生的书写格式,培养学生的逻辑推理能力,同时充分发挥小组合作学习的优势,增强合作意识.
活动 一: 探究 与 应用 师生活动:让学生在小组内讨论交流自己的想法,明确可以在原有线段AD,AB上截取较短的线段AE,AF,然后再测量EF的长度,最后再比较AE2+AF2与EF2的关系,从而进行判断. 说明:如果有的同学想出利用直尺中的直角去验证,教师也要给予鼓励和表扬. 【概括新知】 判断线段的垂直关系时,一般把线段放到三角形中,利用直角三角形的判别方法证得直角三角形,进而得到线段的垂直关系. 【尝试·思考】如图1-3-11,正方形纸片ABCD的边长为8 cm,E是边AD的中点,将这张正方形纸片翻折,使点C落到点E处,折痕交边AB于点G,交边CD于点F.你能求出DF的长吗 图1-3-11 分析:由翻折可知EF=CF,根据E是边AD的中点,可知DE=AD=×8=4(cm),可利用方程的思想,设DF=x cm,则EF=CF=(8-x)cm,然后利用勾股定理求解. 处理方式:让学生独立完成,重点指导翻折过程中对应线段的数量关系,教师指名板演过程,并进行讲评. 【应用】 例　今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问:水深、葭长各几何 (选自《九章算术》) 题目大意:有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺(如图1-3-12).如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 图1-3-12 处理方式:让学生根据图形,确定题目中线段的长度,利用方程思想求解,教师巡视指导,重点关注解题步骤,最后教师讲评,强调解题思路和需要注意的问题. 解:设水池的深度OA为x尺,则芦苇的长度OB为(x+1)尺. 由于芦苇位于水池中央,所以AC为5尺.在Rt△OAC中,由勾股定理,可得 AC2+OA2=OC2,即52+x2=(x+1)2. 解得x=12. 12+1=13.因此,水池的深度是12尺,芦苇的长度是13尺. 　　3.积极鼓励学生采用多种方法去解决问题,培养学生思维的广度和灵活性. 4.理解翻折问题中线段的对应关系,能把线段问题转化为直角三角形的问题来解决,提高学生分析问题、解决问题的能力,渗透方程思想在几何问题中的应用. 5.本例题是利用勾股定理解决实际问题的又一个类型,在训练学生的读题能力和规范书写解题过程的能力的基础上,可以使学生进一步理解勾股定理,体会数学与现实世界的联系.
(续表)
活动 一: 探究 与 应用 变式 如图1-3-13①,小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图②为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB. 图1-3-13
【拓展提升】 1.甲、乙两位探险者到沙漠探险,某日早晨8:00,甲先出发,他以4 km/h的速度向正东匀速行走,2 h后乙出发,他以5 km/h的速度向正北匀速行走.上午11:00,甲、乙两人相距多远 2.如图1-3-14①,有一架秋千,图②是其示意图.当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1 m,将它往前推送6 m(水平距离BC=6 m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=3 m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度. 图1-3-14 　　审题是解题的关键,通过运用勾股定理,学会解决简单的实际问题,让学生认识到数学在现实世界中有着广泛的应用,培养学生的应用意识.
活动 二: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图1-3-15,将长为16 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升至点C,橡皮筋被拉长了4 cm,则CP的长为 (　　) 图1-3-15 A.12 cm 　B.10 cm 　C.6 cm 　D.2 cm 2.“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”,源自《九章算术》,原文为:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问:折者高几何 ”意思是:如图1-3-16①,一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子根部三尺远,则折断后的竹子高度为多少尺(1丈=10尺) 如图②所示,折断后的两段竹子与地面形成一个直角三角形ABC,其中直角边BC长3尺,其余两边长度之和为10尺.求折断后的竹子高度. 图1-3-16 　　学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.
活动 二: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 兴趣是最好的老师,学生只有对数学感兴趣,才想学、乐学,最后学会、学好,这就要求老师从“兴趣点”着手.通过学生身边熟悉的问题引入,可以引起学生的情感共鸣,拉近与学生的距离,激发学生的学习兴趣. ②[讲授效果反思] 学生对知识的形成需要一个过程,甚至是反复地学习,本节课知识容量大,如果仅仅将解题过程投放在屏幕上,学生根本来不及思考,所以在教学中板书必不可少,它既能给学生的思维增添时间和空间,又可以规范学生解题的格式. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号　　 错题题号　　 　　反思,更进一步提升.

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