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第2讲 整式与因式分解
教材母题
1.[浙教七下P93T1改编]计算：
(1)(－t)6·t2=　t8　.
(2)(a7)6=　a42　.
(3)(a3b2)4=　a12b8　.
(4)x10－(－x)(x3)3=　2x10　.
2.[浙教七下P79例1改编]化简：(2x－1)(2x＋1)－(4x＋3)(x－6)=　21x＋17　.
【解析】 原式=4x2－1－4x2＋24x－3x＋18=21x＋17.
3.分解因式：
(1)[浙教七下P108T5改编](a－b)2－10(a－b)＋25=　(a－b－5)2　.
(2)[浙教七下P108T5改编]4a2－3b(4a－3b) =　(2a－3b)2　.
(3)[浙教七下P108T6改编]－ab＋2a2b－a3b=　－ab(1－a)2　.
(4)[浙教七下P108T6改编]16m4－8m2n2＋n4=　(2m＋n)2(2m－n)2　.
4.[浙教七下P72T5改编]如图，有一块边长为a的正方形花圃，两横一纵宽度均为b的三条人行通道把花圃分隔成6块，该花圃的实际种花面积是　a2－3ab＋2b2　.
第4题图
【解析】 ∵正方形花圃的边长为a，人行通道的宽为b，
∴实际种花面积=(a－2b)(a－b)=a2－3ab＋2b2.
5.[浙教七上P104T6改编]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐.现把n张这样的餐桌按如图方式拼接起来，则四周可坐　4n＋2　人用餐.若用餐的人数有18人，则这样的餐桌需要　4　张.
第5题图
6.[浙教七下P93T6]先化简，再求值：(x－2)(3x2－1)－12x，其中x=－.
解：原式=3x3－x－6x2＋2－3x3＋6x2＋36x=35x＋2.
当x=－时，原式=－7＋2=－5.
题根解析
题根 [浙教七上P99作业题T2]下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？那些是多项式？
，－2xy2，－2x＋y2，a，π.
解：整式：，－2xy2，－2x＋y2，a，π；
单项式：，－2xy2，a，π；
多项式：－2x＋y2.
题系1 单项式的系数是 　，次数是　1　.单项式π的系数是　1　，次数是　0　.
题系2 多项式－2x＋y2的项数是　2　，次数是　2　.
题系3 这些式子中，能与5xy2合并的是　－2xy2　，它与5xy2合并同类项后，结果是　3xy2　.
题系4 在这些式子中，分式有 　.
题系5 有意义的条件是　x≠－y　.
知识梳理
1.整式的有关概念
(1)单项式：由数字与字母或字母与字母　相乘　组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.
(2)多项式：由几个单项式　相加　组成的代数式叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的　项　，不含字母的项叫做　常数项　.
(3)整式：单项式和多项式统称为整式.
(4)单项式的次数：在一个单项式中，所有字母的　指数　的和叫做这个单项式的次数.
(5)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(6)多项式的次数：在一个多项式中，次数　最高　的项的次数就是这个多项式的次数.
举例：3次多项式6xy2－3x2－2共有3项，其中一项－3x2的系数是－3，－2是常数项.
2.同类项、合并同类项
(1)同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的　指数　也相同的项叫做同类项，所有的常数项也看做同类项.
(2)合并同类项：把同类项的　系数　相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数　不变　.
3.整式的运算
(1)整式的加减：整式的加减可以归结为去括号和合并同类项.
(2)正整数指数幂的运算：
①同底数幂相乘：am·an=　am＋n　(m，n都是正整数).
②幂的乘方：(am)n=　amn　(m，n都是正整数).
③积的乘方：(ab)n=　anbn　(n是正整数).
④同底数幂相除：am÷an=　am－n　(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n).
(3)整式的乘法：
①单项式与多项式相乘：
m(a＋b＋c)=　ma＋mb＋mc　.
②多项式与多项式相乘：
(m＋n)(a＋b)=　ma＋mb＋na＋nb　.
(4)整式的除法：
①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
②多项式除以单项式：先把这个多项式的　每一项　除以这个单项式，再把所得的商　相加　.
4.常用公式
(1)平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差，即(a＋b)(a－b)=　a2－b2　.
(2)完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍，即(a±b)2=　a2±2ab＋b2　.
(3)常用恒等变形：
①a2＋b2=(a＋b)2－　2ab　=(a－b)2＋　2ab　.
②(a－b)2=(a＋b)2－　4ab　.
5.因式分解的概念及方法
(1)因式分解：一般地，把一个多项式化成几个　整式的积　的形式，叫做因式分解.因式分解和　整式的乘法　有互逆关系，因此，可以用　整式的乘法　运算来检验因式分解的正确性.
(2)公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的　相同　的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
(3)提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.用字母表示为：
ma＋mb＋mc=　m(a＋b＋c)　.
(4)公式法：
①平方差公式：a2－b2=　(a＋b)(a－b)　.
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2=　(a＋b)2　，a2－2ab＋b2=　(a－b)2　.
(5)二次多项式x2＋(p＋q)x＋pq可以因式分解为　(x＋p)(x＋q)　.
(6)当n是奇数时，(a－b)n=　－(b－a)n　；当n是偶数时，(a－b)n=(b－a)n.
归类探究
类型一　代数式
某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为(　D　)
A.20a元 B.(20a＋24)元
C.(17a＋3.6)元 D.(20a＋3.6)元
【解析】 由题意得，应缴水费为17a＋(20－17)(a＋1.2)=(20a＋3.6)元.
归纳总结 在列代数式时，要找出关键词，理解题中的数量关系，确定运算法则，然后写出含有字母的式子.
变式1－1 [2025·普陀区模拟]小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐总共为15份意大利面、x杯饮料和y份沙拉，则他们点了A餐的份数为(　A　)
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉
变式1－1图
A.15－x B.15－y
C.15－x－y D.15－x＋y
变式1－2 [2025·山西]近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.若该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了　60a　元(用含a的代数式表示).
类型二　整式的有关概念
[2025·长春]写出ab的一个同类项：　7ab(答案不唯一)　.
变式2 若单项式3xm＋2y与－2x6y是同类项，则m=　4　.
思维升华 (1)同类项必须符合两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同.
(2)根据同类项的概念列方程(组)是解此类题的一般方法.
类型三　幂的运算
[2024·浙江]下列式子运算正确的是(　D　)
A.x3＋x2=x5 B.x3·x2=x6
C.(x3)2=x9 D.x6÷x2=x4
变式3 [2023·宁波]下列计算正确的是(　D　)
A.x2＋x=x3 B.x6÷x3=x2
C.(x3)4=x7 D.x3·x4=x7
方法技巧 ①同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂的除法：底数不变，指数相减；④合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变，非同类项不能合并.
类型四　整式的化简与求值
[2025·浙江]化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x=2.
解：原式=5x－x2＋x2＋3
=5x＋3.
当x=2时，
原式=5×2＋3=13.
变式4－1 [2025·衢州模拟]先化简，再求值：(m＋2n)2－4n(m－n)，其中m=－1，n=.
解：原式=m2＋4mn＋4n2－4mn＋4n2
=m2＋8n2.
当m=－1，n=时，原式=(－1)2＋8×=3.
变式4－2 [2025·浙江模拟]已知x2－2x－3=0，求代数式(x＋1)(2x－1)－5x的值.
解：∵x2－2x－3=0，
∴x2－2x=3，
∴(x＋1)(2x－1)－5x
=2x2－x＋2x－1－5x
=2x2－4x－1
=2(x2－2x)－1
=2×3－1
=5.
思维升华 (1)对于整式的化简与求值，要充分理解其运算法则，正确处理符号，注意运算顺序，有时还要运用整体思想.
(2)在运用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的使用条件.
类型五　整式的规律型问题
[2025·浙江]【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4=a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
【应用体验】
已知(x＋2)4=x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为　8　.
典例5图
【解析】 由题意，得mx3=4x3×2，∴m=8.
变式5－1 [2025·成都]分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”——古埃及人在进行分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：.将拆分成两个单位分数相加的形式为 　；一般地，对于任意奇数k(k＞2)，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 　.
【解析】 ，不合题意；
，不合题意；
，不合题意；
符合题意.
根据上面的方法，
当k=3=2×1＋1时，，
当k=5=2×2＋1时，，
当k=7=2×3＋1时，，
…，
当k=2n＋1时，.
又∵n=，
∴对于任意奇数k(k＞2)，.
变式5－2 [2023·嘉兴、舟山]观察下面的等式：
32－12=8×1，52－32=8×2，
72－52=8×3，92－72=8×4……
(1)写出192－172的结果.
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数).
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
解：(1)∵17=2×9－1，
∴192－172=8×9=72.
(2)(2n＋1)2－(2n－1)2=8n.
(3)∵(2n＋1)2－(2n－1)2
=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n×2=8n，
∴结论正确.
类型六　因式分解
[2024·浙江]因式分解：a2－7a=　a(a－7)　.
变式6－1 因式分解：
(1)[2025·苏州]x2－9=　(x＋3)(x－3)　.
(2)[2025·甘肃]x2－6x＋9=　(x－3)2　.
(3)[2025·杭州校级模拟]2x2－2=　2(x＋1)(x－1)　.
(4)[2025·烟台]2x2－12xy＋18y2=　2(x－3y)2　.
方法技巧 在进行因式分解时，应先考虑提取公因式法，再考虑公式法，最后再考虑能否用其他方法继续分解，如：十字相乘法、分组分解法等.因式分解要分解到每一个多项式都不能再分解为止.
变式6－2 [2025·浙江模拟]若x2＋x－1=0，则代数式x3＋2x2－2 026的值是　－2 025　.
【解析】 ∵x2＋x－1=0，
∴x2＋x=1，
∴x3＋2x2－2 026=x3＋x2＋x2－2 026
=x(x2＋x)＋x2－2 026
=x＋x2－2 026
=1－2 026
=－2 025.
类型七　整式的应用
[2025·湖州模拟]在一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2＋px＋c，－x2＋qx＋c(其中p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式 对二次多项式 进行因式分解 对二次多项式 使用配方法
2x2＋px＋c (2x＋a)(x＋b) 2(x－m)2＋k1
－x2＋qx＋c (x＋a)(－x＋b) －(x－n)2＋k2
(说明：a，b，m，n，k1，k2均为常数)
有同学探究得到以下四个结论：
①若p＋q=12，则2m＋6=n；
②若p=q=2，则c=－；
③若有且只有一个x的值，使代数式2x2＋px＋c的值为0，则p－4q=0；
④若m－n=2，则c的值不可能是－5.
其中所有正确结论的序号是　①④　.
【解析】 ∵2x2＋px＋c=
2＋c=2＋c－，
(2x＋a)(x＋b)=2x2＋(a＋2b)x＋ab，
－x2＋qx＋c=－(x2－qx)＋c=
－＋c＋，
(x＋a)(－x＋b)=－x2＋(b－a)x＋ab，
∴p=a＋2b，c=ab，q=b－a，m=－，k1=c－，n=，k2=c＋.
①∵m=－，n=，
∴2m＋6=2×(－)＋6=－＋6.
∵p＋q=12，∴q=12－p，
∴=6－，∴2m＋6=n，故①正确.
②∵p=q=2，
∴解得
∴c=ab=－=－，故②错误.
③由题意可知，当2x2＋px＋c=0时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=p2－8c=(a＋2b)2－8ab=(a－2b)2=0，
∴a=2b，∴p=4b，q=－b，
∴p－4q=4b－4×(－b)=8b≠0，故③错误.
④当m－n=2，即－=2，
∴p＋2q=－8，
∴a＋2b＋2(b－a)=4b－a=－8，
∴a=4b＋8，
∴c=ab=b(4b＋8)=4b2＋8b=4(b＋1)2－4≥－4，
∴c的值不可能是－5，故④正确.
综上所述，正确的结论是①④.
变式7 [2023·丽水]如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn=2，an＋bm=4.
(1)若a=3，b=4，则图1阴影部分的面积为　25　.
(2)若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积为 　.
变式7图
【解析】 (2)由题意，得a2＋b2=3，图2中四边形ABCD的面积=(m＋n)(m＋n)=(m＋n)2=5，阴影部分的面积=(m＋n)2－m2－n2=mn.
解关于m，n的二元一次方程组
得
则m＋n=，mn=，
∴=5，
∴2b2＋12ab＋18a2=45，
∴16a2＋12ab=39，
∴8a2＋12ab=39－8a2，
∴mn=.
规范答题——整式的化简求值
(8分)先化简，再求值：(x－2)(x＋2)－(x－1)2，其中x=.
解：原式=x2－4－(x2－2x＋1) (3分)
=x2－4－x2＋2x－1 (4分)
=2x－5. (6分)
当x=时，原式=2×－5=－4. (8分)
评分标准
第一步：平方差公式和完全平方公式使用正确，得3分.
第二步：去括号正确，得1分.
第三步：加减运算正确，得2分.
第四步：代入计算正确，得2分.
注意事项
1.写答案前，需先写“解：”.
2.按“先化简，再求值”的要求解题，千万不要把字母的值直接代入原式中.
3.化简结果应为最简形式.
4.按整式化简的顺序一步一步化简，抓住能得分的解题步骤，切勿因跳步而失分.
易错易混
易错点一——幂的运算
下列计算中，正确的是(　C　)
A.a2＋a3=a5 B.(2a)2=4a
C.a2·a3=a5 D.(a3)3=a6
【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)合并同类项法则理解出错；(2)同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则混淆.
【我的思考】
易错点二——因式分解
分解因式：
(1)x4－y4.　(2)4x2－16y2.　(3)x3－2x2＋x.
解： (1)原式=(x2)2－(y2)2
=(x2＋y2)(x2－y2)
=(x2＋y2)(x＋y)(x－y).
(2)原式=4(x2－4y2)=4(x＋2y)(x－2y).
(3)原式=x(x2－2x＋1)=x(x－1)2.
【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)因式分解不彻底；(2)提取公因式后漏系数“1”.第2讲 整式与因式分解
教材母题
1.[浙教七下P93T1改编]计算：
(1)(－t)6·t2=　 　.
(2)(a7)6=　 　.
(3)(a3b2)4=　 　.
(4)x10－(－x)(x3)3=　 　.
2.[浙教七下P79例1改编]化简：(2x－1)(2x＋1)－(4x＋3)(x－6)=　 　.
3.分解因式：
(1)[浙教七下P108T5改编](a－b)2－10(a－b)＋25=　 　.
(2)[浙教七下P108T5改编]4a2－3b(4a－3b) =　 　.
(3)[浙教七下P108T6改编]－ab＋2a2b－a3b=　 　.
(4)[浙教七下P108T6改编]16m4－8m2n2＋n4=　 　.
4.[浙教七下P72T5改编]如图，有一块边长为a的正方形花圃，两横一纵宽度均为b的三条人行通道把花圃分隔成6块，该花圃的实际种花面积是　 　.
第4题图
5.[浙教七上P104T6改编]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐.现把n张这样的餐桌按如图方式拼接起来，则四周可坐　 　人用餐.若用餐的人数有18人，则这样的餐桌需要　 　张.
第5题图
6.[浙教七下P93T6]先化简，再求值：(x－2)(3x2－1)－12x，其中x=－.
题根解析
题根 [浙教七上P99作业题T2]下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？那些是多项式？
，－2xy2，－2x＋y2，a，π.
题系1 单项式的系数是 　，次数是　 　.单项式π的系数是　 　，次数是　 　.
题系2 多项式－2x＋y2的项数是　 　，次数是　 　.
题系3 这些式子中，能与5xy2合并的是　 　，它与5xy2合并同类项后，结果是　 　.
题系4 在这些式子中，分式有 　.
题系5 有意义的条件是　 　.
知识梳理
1.整式的有关概念
(1)单项式：由数字与字母或字母与字母　 　组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.
(2)多项式：由几个单项式　 　组成的代数式叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的　 　，不含字母的项叫做　 　.
(3)整式：单项式和多项式统称为整式.
(4)单项式的次数：在一个单项式中，所有字母的　 　的和叫做这个单项式的次数.
(5)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(6)多项式的次数：在一个多项式中，次数　 　的项的次数就是这个多项式的次数.
举例：3次多项式6xy2－3x2－2共有3项，其中一项－3x2的系数是－3，－2是常数项.
2.同类项、合并同类项
(1)同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的　 　也相同的项叫做同类项，所有的常数项也看做同类项.
(2)合并同类项：把同类项的　 　相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数　 　.
3.整式的运算
(1)整式的加减：整式的加减可以归结为去括号和合并同类项.
(2)正整数指数幂的运算：
①同底数幂相乘：am·an=　 　(m，n都是正整数).
②幂的乘方：(am)n=　 　(m，n都是正整数).
③积的乘方：(ab)n=　 　(n是正整数).
④同底数幂相除：am÷an=　 　(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n).
(3)整式的乘法：
①单项式与多项式相乘：
m(a＋b＋c)=　 　.
②多项式与多项式相乘：
(m＋n)(a＋b)=　 　.
(4)整式的除法：
①单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
②多项式除以单项式：先把这个多项式的　 　除以这个单项式，再把所得的商　 　.
4.常用公式
(1)平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差，即(a＋b)(a－b)=　 　.
(2)完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍，即(a±b)2=　 　.
(3)常用恒等变形：
①a2＋b2=(a＋b)2－　 　=(a－b)2＋　 　.
②(a－b)2=(a＋b)2－　 　.
5.因式分解的概念及方法
(1)因式分解：一般地，把一个多项式化成几个　 　的形式，叫做因式分解.因式分解和　 　有互逆关系，因此，可以用　 　运算来检验因式分解的正确性.
(2)公因式：一般地，一个多项式中每一项都含有的　 　的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
(3)提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.用字母表示为：
ma＋mb＋mc=　 　.
(4)公式法：
①平方差公式：a2－b2=　 　.
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2=　 　，a2－2ab＋b2=　 　.
(5)二次多项式x2＋(p＋q)x＋pq可以因式分解为　 　.
(6)当n是奇数时，(a－b)n=　 　；当n是偶数时，(a－b)n=(b－a)n.
归类探究
类型一　代数式
某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为(　 　)
A.20a元 B.(20a＋24)元
C.(17a＋3.6)元 D.(20a＋3.6)元
归纳总结 在列代数式时，要找出关键词，理解题中的数量关系，确定运算法则，然后写出含有字母的式子.
变式1－1 [2025·普陀区模拟]小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐总共为15份意大利面、x杯饮料和y份沙拉，则他们点了A餐的份数为(　 　)
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉
变式1－1图
A.15－x B.15－y
C.15－x－y D.15－x＋y
变式1－2 [2025·山西]近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.若该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了　 　元(用含a的代数式表示).
类型二　整式的有关概念
[2025·长春]写出ab的一个同类项：　 　.
变式2 若单项式3xm＋2y与－2x6y是同类项，则m=　 　.
思维升华 (1)同类项必须符合两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同.
(2)根据同类项的概念列方程(组)是解此类题的一般方法.
类型三　幂的运算
[2024·浙江]下列式子运算正确的是(　 　)
A.x3＋x2=x5 B.x3·x2=x6
C.(x3)2=x9 D.x6÷x2=x4
变式3 [2023·宁波]下列计算正确的是(　 　)
A.x2＋x=x3 B.x6÷x3=x2
C.(x3)4=x7 D.x3·x4=x7
方法技巧 ①同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂的除法：底数不变，指数相减；④合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变，非同类项不能合并.
类型四　整式的化简与求值
[2025·浙江]化简求值：x(5－x)＋x2＋3，其中x=2.
变式4－1 [2025·衢州模拟]先化简，再求值：(m＋2n)2－4n(m－n)，其中m=－1，n=.
变式4－2 [2025·浙江模拟]已知x2－2x－3=0，求代数式(x＋1)(2x－1)－5x的值.
思维升华 (1)对于整式的化简与求值，要充分理解其运算法则，正确处理符号，注意运算顺序，有时还要运用整体思想.
(2)在运用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的使用条件.
类型五　整式的规律型问题
[2025·浙江]【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4=a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
【应用体验】
已知(x＋2)4=x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为　 　.
典例5图
变式5－1 [2025·成都]分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”——古埃及人在进行分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：.将拆分成两个单位分数相加的形式为 　；一般地，对于任意奇数k(k＞2)，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 　.
变式5－2 [2023·嘉兴、舟山]观察下面的等式：
32－12=8×1，52－32=8×2，
72－52=8×3，92－72=8×4……
(1)写出192－172的结果.
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数).
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
类型六　因式分解
[2024·浙江]因式分解：a2－7a=　 　.
变式6－1 因式分解：
(1)[2025·苏州]x2－9=　 　.
(2)[2025·甘肃]x2－6x＋9=　 　.
(3)[2025·杭州校级模拟]2x2－2=　 　.
(4)[2025·烟台]2x2－12xy＋18y2=　 　.
方法技巧 在进行因式分解时，应先考虑提取公因式法，再考虑公式法，最后再考虑能否用其他方法继续分解，如：十字相乘法、分组分解法等.因式分解要分解到每一个多项式都不能再分解为止.
变式6－2 [2025·浙江模拟]若x2＋x－1=0，则代数式x3＋2x2－2 026的值是　 　.
类型七　整式的应用
[2025·湖州模拟]在一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2＋px＋c，－x2＋qx＋c(其中p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式 对二次多项式 进行因式分解 对二次多项式 使用配方法
2x2＋px＋c (2x＋a)(x＋b) 2(x－m)2＋k1
－x2＋qx＋c (x＋a)(－x＋b) －(x－n)2＋k2
(说明：a，b，m，n，k1，k2均为常数)
有同学探究得到以下四个结论：
①若p＋q=12，则2m＋6=n；
②若p=q=2，则c=－；
③若有且只有一个x的值，使代数式2x2＋px＋c的值为0，则p－4q=0；
④若m－n=2，则c的值不可能是－5.
其中所有正确结论的序号是　 　.
变式7 [2023·丽水]如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am－bn=2，an＋bm=4.
(1)若a=3，b=4，则图1阴影部分的面积为　 　.
(2)若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积为 　.
变式7图
规范答题——整式的化简求值
(8分)先化简，再求值：(x－2)(x＋2)－(x－1)2，其中x=.
解：原式=x2－4－(x2－2x＋1) (3分)
=x2－4－x2＋2x－1 (4分)
=2x－5. (6分)
当x=时，原式=2×－5=－4. (8分)
评分标准
第一步：平方差公式和完全平方公式使用正确，得3分.
第二步：去括号正确，得1分.
第三步：加减运算正确，得2分.
第四步：代入计算正确，得2分.
注意事项
1.写答案前，需先写“解：”.
2.按“先化简，再求值”的要求解题，千万不要把字母的值直接代入原式中.
3.化简结果应为最简形式.
4.按整式化简的顺序一步一步化简，抓住能得分的解题步骤，切勿因跳步而失分.
易错易混
易错点一——幂的运算
下列计算中，正确的是(　 　)
A.a2＋a3=a5 B.(2a)2=4a
C.a2·a3=a5 D.(a3)3=a6
【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)合并同类项法则理解出错；(2)同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则混淆.
【我的思考】
易错点二——因式分解
分解因式：
(1)x4－y4.　(2)4x2－16y2.　(3)x3－2x2＋x.
【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)因式分解不彻底；(2)提取公因式后漏系数“1”.

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