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第3讲 分式
教材母题
1.[浙教七下P119T4改编]下列分式的化简中，错误的是(　 　)
A.=－
B.
C.
D.
2.[浙教七下P116T3]要使分式有意义，x的取值应满足　 　；若分式的值为0，则x的值是　 　.
3.[浙教七下P129T5改编]计算：
(1)=　 　.
(2)·=　 　.
4.[浙教七下P138T9]先化简，再求值：，其中a=，b=.
题根解析
题根 [浙教七下P114做一做T1改编]观察下列各式：
.
在上述代数式中，分式有　 　个.
题系1 在这些分式中，最简分式是 　.
题系2 若有意义，则x的取值范围是　 　.
题系3 若的值是整数，则满足条件的所有整数m的和为　 　.
题系4 若中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值　 　.
题系5 与的最简公分母是　 　.
题系6 不改变分式的值，将中的分子与分母的各项系数化为整数： 　.
题系7 计算，结果是 　.
知识梳理
1.分式的概念
(1)分式的概念：形如(A，B是整式，　 　中含有字母，且　 　≠0)的代数式叫做分式.
(2)分式有意义的条件：分母不为　 　.
(3)分式的值为零的条件：　 　为零，但　 　不为零.
2.分式的基本性质
(1)分式的基本性质：(其中M是　 　的整式).
(2)约分：把一个分式的分子和分母的　 　约去，叫做分式的约分.
(3)最简分式：分子、分母没有　 　的分式叫做最简分式.
(4)通分：把　 　不相同的几个分式化成　 　相同的分式，叫做通分.
3.分式的加减
(1)同分母的分式相加减：分式的分母　 　，把分子相加减，即= 　.
(2)异分母的分式相加减：先　 　，转化为同分母的分式，然后相加减，即= 　.
4.分式的乘除
(1)分式乘分式：用分子的积做积的　 　，分母的积做积的　 　，即·= 　.
(2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式　 　，即· 　= 　.
(3)分式的乘方：把分子、分母各自乘方，分别做结果的分子、分母，即= 　(n为正整数).
5.分式的混合运算
(1)法则：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为　 　，进行　 　化简，最后进行加减运算，如有括号，要先算括号里的.
(2)实数的各种运算律也适用于分式的运算，且运算结果要化成最简分式或整式.
归类探究
类型一　分式有意义的条件
　　　　　　　　　　　　　　　
[2025·枣庄、济宁、临沂]写出使分式有意义的x的一个值：　 　.
思维升华 分式有意义的条件是分母不为零；分式的值为零的条件是分式的分子为零，分母不为零.
变式1 [2025·钱塘区模拟]当x=　 　时，分式的值为0.
类型二　分式的基本性质的运用
下列式子从左边至右边的变形，错误的是(　 　)
A. B.
C. D.=－
思维升华 变形前的式子分母中如果有字母，则隐含着该字母的取值不会使分母等于0的条件.
变式2－1 [经典题]已知=3，则代数式的值为(　 　)
A.－ B.－
C. D.
变式2－2 [一题多解]若，则= 类型三　分式的运算
[2025·西湖区校级模拟]化简：.
方法技巧 分式运算中的常用技巧：①分步通分；②重新排序；③分组通分；④先分后通；⑤化积为差，裂项相消.
变式3－1 [2023·温州]化简：.
变式3－2 [2025·江西]化简：.
类型四　分式的化简求值
[2025·江北区模拟]先化简，再求值：，其中x=3.
方法技巧 分式求值中的常用方法有：①整体代入法；②参数法；③平方法；④一般代入法；⑤倒数法.对于分式求值问题，通常先化简，后求值.
变式4－1 [2025·东营]先化简，再求值：，其中a是使不等式≤1成立的正整数.
变式4－2 [2025·眉山]先化简，再求值：.其中x，y满足(x＋2)2＋|y－1|=0.
规范答题——分式的化简求值
(8分)先化简，再求值：，
其中a=＋1.
解：原式= (2分)
=· (4分)
=. (6分)
当a=＋1时，
原式=. (8分)
评分标准
第一步：通分正确，得2分.
第二步：因式分解正确，得2分.
第三步：约分正确，得2分.
第四步：代入计算正确，得2分.
注意事项
1.熟练地分解因式是正确通分和约分的基础.
2.通分时注意符号和常数项.
3.在适当的时候将除法转化为乘法.
4.若需要选择其中一个值代入求值，则要保证代入的数使得原分式及化简过程中出现的分式均有意义.
易错易混
易错点一——分式的加减运算
[2025·拱墅区校级模拟]观察下面习题的解答过程.
先化简，再求值：－1，其中x=
解：原式=…①，
=…②，
=…③.
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是　 　(填序号)，请写出正确的化简过程.
(2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值.
【易错剖析】 本题容易出错的地方是通分错误、像解分式方程一样“去分母”、分子相减忽视添括号、约分错误.
【我的思考】
易错点二——分式的化简求值
先化简：，再选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)忽视分母不能为0；(2)忽视除式不能为0.第3讲 分式
教材母题
1.[浙教七下P119T4改编]下列分式的化简中，错误的是(　B　)
A.=－
B.
C.
D.
2.[浙教七下P116T3]要使分式有意义，x的取值应满足　x≠－　；若分式的值为0，则x的值是　1　.
3.[浙教七下P129T5改编]计算：
(1)=　－　.
(2)·=　2x＋8　.
【解析】 (1)原式=
==－.
(2)原式=·
=3(x＋2)－(x－2)=2x＋8.
4.[浙教七下P138T9]先化简，再求值：，其中a=，b=.
解：原式=·.
当a=，b=时，原式=－6.
题根解析
题根 [浙教七下P114做一做T1改编]观察下列各式：
.
在上述代数式中，分式有　8　个.
题系1 在这些分式中，最简分式是 　.
题系2 若有意义，则x的取值范围是　x≠　.
题系3 若的值是整数，则满足条件的所有整数m的和为　4　.
【解析】 当是整数时，m－1=1或－1或5或－5，∴满足条件的m的值为2，0，6，－4，和为4.
题系4 若中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值　不变　.
题系5 与的最简公分母是　2x(x＋1)(x－1)　.
题系6 不改变分式的值，将中的分子与分母的各项系数化为整数： 　.
题系7 计算，结果是 　.
知识梳理
1.分式的概念
(1)分式的概念：形如(A，B是整式，　B　中含有字母，且　B　≠0)的代数式叫做分式.
(2)分式有意义的条件：分母不为　0　.
(3)分式的值为零的条件：　分子　为零，但　分母　不为零.
2.分式的基本性质
(1)分式的基本性质：(其中M是　不等于零　的整式).
(2)约分：把一个分式的分子和分母的　公因式　约去，叫做分式的约分.
(3)最简分式：分子、分母没有　公因式　的分式叫做最简分式.
(4)通分：把　分母　不相同的几个分式化成　分母　相同的分式，叫做通分.
3.分式的加减
(1)同分母的分式相加减：分式的分母　不变　，把分子相加减，即= 　.
(2)异分母的分式相加减：先　通分　，转化为同分母的分式，然后相加减，即= 　.
4.分式的乘除
(1)分式乘分式：用分子的积做积的　分子　，分母的积做积的　分母　，即·= 　.
(2)分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式　相乘　，即· 　= 　.
(3)分式的乘方：把分子、分母各自乘方，分别做结果的分子、分母，即= 　(n为正整数).
5.分式的混合运算
(1)法则：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为　乘法　，进行　约分　化简，最后进行加减运算，如有括号，要先算括号里的.
(2)实数的各种运算律也适用于分式的运算，且运算结果要化成最简分式或整式.
归类探究
类型一　分式有意义的条件
　　　　　　　　　　　　　　　
[2025·枣庄、济宁、临沂]写出使分式有意义的x的一个值：　2　.
思维升华 分式有意义的条件是分母不为零；分式的值为零的条件是分式的分子为零，分母不为零.
变式1 [2025·钱塘区模拟]当x=　2　时，分式的值为0.
类型二　分式的基本性质的运用
下列式子从左边至右边的变形，错误的是(　A　)
A. B.
C. D.=－
思维升华 变形前的式子分母中如果有字母，则隐含着该字母的取值不会使分母等于0的条件.
变式2－1 [经典题]已知=3，则代数式的值为(　D　)
A.－ B.－
C. D.
【解析】 ∵=3，
∴=3，∴x－y=－3xy，
∴原式=.
变式2－2 [一题多解]若，则= 　.
【解析】 方法1：利用比例的基本性质求解.
∵，∴a=b，
∴.
方法2：设参数求解.
设a=2k，则b=3k，
∴.
方法3：逆用同分母分式加减法法则求解.
＋1=＋1=.
类型三　分式的运算
[2025·西湖区校级模拟]化简：.
解：原式=·.
方法技巧 分式运算中的常用技巧：①分步通分；②重新排序；③分组通分；④先分后通；⑤化积为差，裂项相消.
变式3－1 [2023·温州]化简：.
解：原式==a－1.
变式3－2 [2025·江西]化简：.
解：原式=·　
=·
=.
类型四　分式的化简求值
[2025·江北区模拟]先化简，再求值：，其中x=3.
解：原式=　
=·
=x＋2.
当x=3时，原式=3＋2=5.
方法技巧 分式求值中的常用方法有：①整体代入法；②参数法；③平方法；④一般代入法；⑤倒数法.对于分式求值问题，通常先化简，后求值.
变式4－1 [2025·东营]先化简，再求值：，其中a是使不等式≤1成立的正整数.
解：原式=
=·
=·
=.
由≤1，解得a≤3.
又∵a为正整数，∴a=1，2，3.
又∵a－2≠0，(3＋a)(3－a)≠0，
∴a≠2，3，－3，
∴a只能取1，
当a=1时，原式==－.
变式4－2 [2025·眉山]先化简，再求值：.其中x，y满足(x＋2)2＋|y－1|=0.
解：原式=·
=·
=.
∵(x＋2)2＋|y－1|=0，
∴x＋2=0，y－1=0，
∴x=－2，y=1，
∴原式==－1.
规范答题——分式的化简求值
(8分)先化简，再求值：，
其中a=＋1.
解：原式= (2分)
=· (4分)
=. (6分)
当a=＋1时，
原式=. (8分)
评分标准
第一步：通分正确，得2分.
第二步：因式分解正确，得2分.
第三步：约分正确，得2分.
第四步：代入计算正确，得2分.
注意事项
1.熟练地分解因式是正确通分和约分的基础.
2.通分时注意符号和常数项.
3.在适当的时候将除法转化为乘法.
4.若需要选择其中一个值代入求值，则要保证代入的数使得原分式及化简过程中出现的分式均有意义.
易错易混
易错点一——分式的加减运算
[2025·拱墅区校级模拟]观察下面习题的解答过程.
先化简，再求值：－1，其中x=
解：原式=…①，
=…②，
=…③.
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是　②　(填序号)，请写出正确的化简过程.
解：正确解答过程如下：
原式=
=
=
=.
(2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值.
解：令=3，解得x=，
经检验x=是原方程的解，
故被墨水遮住的x的值是.
【易错剖析】 本题容易出错的地方是通分错误、像解分式方程一样“去分母”、分子相减忽视添括号、约分错误.
【我的思考】
易错点二——分式的化简求值
先化简：，再选择一个合适的数作为x的值代入求值.
解：原式=·=x－1.
当x=4时，原式=4－1=3(x可以取1，0和－1以外的任意实数，求值结果不唯一).
【易错剖析】 本题容易出错的地方在于：(1)忽视分母不能为0；(2)忽视除式不能为0.

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