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中考数学专题提优——二次函数图像性质综合
（学生版）
内容导航
1.1多函数图像共存问题
基础知识储备
一、二次函数的图像与系数a，b，c之间的关系.
1. 抛物线的开口方向及开口大小由决定
（1） 开口向上；（2） 开口向下.
2. 、共同决定对称轴（二次函数的对称轴为：直线）
（1） 对称轴为轴；
（2） 对称轴在轴左侧、同号（）；
（3） 对称轴在轴右侧、异号（）， 简称：“左同右异”；
3. 决定抛物线与轴的交点
（1） 抛物线经过原点；（2） 与轴交于正半轴；（3） 与轴交于负半轴.
二、一次函数的图像与系数k，b之间的关系：
（1） 决定倾斜程度， 图像上升， 图像下降， 相等图像平行；
（2） 决定于轴的交点， 图像与轴交于正半轴； 图像与轴交于负半轴； 图像经过原点.
图1 图2 图3 图4 图5 图6图
（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6），
三、反比例函数的图像与系数k之间的关系：
（1） 图像分布在一、三象限；
（2） 图像分布在二、四象限.
典型例题分析
例1 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
例2 二次函数与一次函数的图像在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
例3 已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
练1
函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）
练2
函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ）
练3
已知函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是 （ ）
练4 如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是（ ）
练5 已知二次函数（，，是常数，且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
1.2二次函数多结论问题
基础知识储备
二次函数的图像与系数，，之间的关系：
1. 抛物线的开口方向及开口大小由决定
（1） 开口向上；（2） 开口向下；（3） 越大开口越小，越小开口越大。
2. 、共同决定对称轴（二次函数的对称轴为：直线）
（1） 对称轴为轴 ；
（2） 对称轴在轴左侧 、同号（）；
（3） 对称轴在轴右侧 、异号（），简称：“左同右异”；
（4） 若题目中已知对称轴，则利用，可直接求出、之间的数量关系。
3. 决定抛物线与轴的交点
（1） 抛物线经过原点；（2） 与轴交于正半轴；（3） 与轴交于负半轴。
4. 决定抛物线与轴的交点个数
（1） 有一个交点（顶点）；
（2） 有两个交点；
（3） 无交点。
5. 寻找、、之间数量关系或者不等关系利用取值法
（1） 取，则；（2） 取，则；
（3） 取，则；（4） 取，则；
（5） 取，则；（6） 取，则；
（7） 取，则；
（8） 取，则；
6. 、之间的关系，、之间的数量关系或者不等关系通常利用对称轴的具体位置确定。
（1） 若对称轴为直线，则，即；
（2） 若对称轴为直线，则，即；
（3） 对称轴为其他具体确定的数，做法类似；
（4） 若对称轴不确定，能确定范围，比如对称轴在1和2之间，开口向上，则，则可得到，或者；开口向下，则，则可得到，或者。
7. 与、与之间的关系
与、与之间的关系，通常情况下是通过取值得到、、之间的数量或者不等关系，然后利用对称轴找到、之间的数量关系，其次消元求解，具体方法为：组合消元。
8. 单个字母的取值范围
若题目中出现一个字母的取值范围，一般题目会直接或者间接告诉其中一个字母的取值范围，利用对称轴和取值构造两个等式消元。
如已知二次函数与轴交点在2和3之间，对称轴为，与交点为，求的取值范围。
（1） 二次函数与轴交点在2和3之间，可得：；
（2） ， 则 ， 所以 ， 即 .
9. 顶点纵坐标， 这类式子不仅只有 ， 还有别的字母（一般是 ）或者数字， 联想到顶点坐标的纵坐标，
如结合图像， 请判断 是否正确， 联想到转化为顶点坐标纵坐标， 若 ， ， 若 ， ， 然后结合图像判断顶点坐标的纵坐标的取值范围.
10. 最值（如结合图像， 二次函数的对称轴为 ， 二次函数上一动点的横坐标为 ， 请判断 是否正确）
（1） 观察式子， 两边同时加上 ， 则判断 是否正确；
（2） 左边是当 时的函数值， 右边是当 时的函数值；
（3） 若二次函数开口向上， 则 ； 若二次函数开口向下则 .
11. 二次函数与方程转化
（1） 判断 （常数）解的个数， 两种解题思路：
① 将左边看成二次函数 ， 右边看成常数函数 ， 解的个数转化两条函数图像交点个数问题；
② 移项 ， 将左边看成函数 ， 即将二次函数 向上或者向下平移得到， 解的个数转化平移后的二次函数函数图像与 轴交点个数问题
（2） 利用函数图像求 （常数）或 （常数）的解集， 两种解题思路：
① 将左边看成二次函数 ， 右边看成常数函数 ， 解集转化为观察两条函数图像位置关系；
② 移项 ， 将左边看成函数 ， 即将二次函数 向上或者向下平移得到， 解集转化为观察二次函数与 轴位置关系.
典型例题分析
例1已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ （）；⑩若方程 有两个根， 则这两个根的和为 . 其中正确的结论是
例2 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的是______
例3 如图，抛物线的对称轴是直线，且过点. 有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中所有正确的结论是______（填写正确结论的序号）.
例4 已知二次函数 （）的图象与轴交于点、，且，与轴正半轴的交点在的上方，顶点为. 直线 （）经过点、. 则下列结论：①；②；③ 2a + c < 0 ；④ k <-1 ；⑤，其中正确的结论有 ______.
例5 如图，矩形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，，，点的坐标为，抛物线 （）的顶点总是在矩形内部（包括边界），且与轴的两个交点分别是点、，其中，下列说法：①；②；③当 k < 1 时，方程总有两个不相等的实数根；④的取值范围是；其中正确的是 ______.
针对提高训练
练1
如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，以下结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④抛物线一定经过点；⑤关于的方程有两个不相等的实数根。其中正确结论的个数是______
练2
如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时：；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为。其中正确的是______
练3 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是______
练4 如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是______
练5 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若m，n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有______
练6 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有___。
练7 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④。其中正确结论的序号是___。
练8 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点。下列说法：①；②；③点，在抛物线上，则当时，；④（为任意实数）。其中一定正确的是 ___。
练9 二次函数（，， 是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线．有以下结论：①；②（ 为实数）；③（ 为实数）；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的结论有____．中考数学专题提优——二次函数图像性质综合
（教师版）
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1.1多函数图像共存问题
基础知识储备
一、二次函数的图像与系数a，b，c之间的关系.
1. 抛物线的开口方向及开口大小由决定
（1） 开口向上；（2） 开口向下.
2. 、共同决定对称轴（二次函数的对称轴为：直线）
（1） 对称轴为轴；
（2） 对称轴在轴左侧、同号（）；
（3） 对称轴在轴右侧、异号（）， 简称：“左同右异”；
3. 决定抛物线与轴的交点
（1） 抛物线经过原点；（2） 与轴交于正半轴；（3） 与轴交于负半轴.
二、一次函数的图像与系数k，b之间的关系：
（1） 决定倾斜程度， 图像上升， 图像下降， 相等图像平行；
（2） 决定于轴的交点， 图像与轴交于正半轴； 图像与轴交于负半轴； 图像经过原点.
图1 图2 图3 图4 图5 图6图
（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6），
三、反比例函数的图像与系数k之间的关系：
（1） 图像分布在一、三象限；
（2） 图像分布在二、四象限.
典型例题分析
例1 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
【解析】由方程组得，，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除.
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故错；
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故错. 故选：.
例2 二次函数与一次函数的图像在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
【解析】、由抛物线可知，，，，对称轴为直线，由直线可知，，，直线经过点，故本选项符合题意；
、由抛物线可知，对称轴为直线，直线不经过点，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，对称轴为直线，直线不经过点，故本选项不符合题意；
、由抛物线可知，对称轴为直线，直线不经过点，故本选项不符合题意；故选：.
例3 已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
【解析】或 . 故二次函数与一次函数0） 在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为或点.
在A中，由一次函数图象得，，二次函数图象可知，，，，，故选项A有可能；
在B中，由一次函数图象得，，二次函数图象可知，，，由，则，故选项B有可能；
在C中，由一次函数图象得，，二次函数图象可知，，，，故选项C有可能；
在D中，由一次函数图象得，，二次函数图象可知，，，由，则，故选项D不可能；故选：D.
练1
函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）
【练1】解：A、一次函数与轴交点应为，二次函数与轴交点也应为，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与轴的交点相同，故本选项正确．故选： ．
练2
函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ）
【练2】解：A、由一次函数的图象可得： ，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得： ，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；
C、由一次函数的图象可得： ，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得： ，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误．故选： ．
练3
已知函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是 （ ）
【练3】解： 由图可知，，，所以，，所以，一次函数经过第二四象限，且与轴相交于点，反比例函数的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有选项图形符合．故选．
练4 如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是（ ）
【练4】解： 由图象可知一次函数与二次函数交于第一象限的、两点，
∴函数与轴有两个交点，两个交点在轴的正半轴，符合条件，故选： ．
练5 已知二次函数（，，是常数，且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
【练5】解： 抛物线开口向上，，抛物线的对称轴为直线，，
抛物线与轴的交点在轴下方，，
一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数分布在第一、三象限．
故选： ．
1.2二次函数多结论问题
基础知识储备
二次函数的图像与系数，，之间的关系：
1. 抛物线的开口方向及开口大小由决定
（1） 开口向上；（2） 开口向下；（3） 越大开口越小，越小开口越大。
2. 、共同决定对称轴（二次函数的对称轴为：直线）
（1） 对称轴为轴 ；
（2） 对称轴在轴左侧 、同号（）；
（3） 对称轴在轴右侧 、异号（），简称：“左同右异”；
（4） 若题目中已知对称轴，则利用，可直接求出、之间的数量关系。
3. 决定抛物线与轴的交点
（1） 抛物线经过原点；（2） 与轴交于正半轴；（3） 与轴交于负半轴。
4. 决定抛物线与轴的交点个数
（1） 有一个交点（顶点）；
（2） 有两个交点；
（3） 无交点。
5. 寻找、、之间数量关系或者不等关系利用取值法
（1） 取，则；（2） 取，则；
（3） 取，则；（4） 取，则；
（5） 取，则；（6） 取，则；
（7） 取，则；
（8） 取，则；
6. 、之间的关系，、之间的数量关系或者不等关系通常利用对称轴的具体位置确定。
（1） 若对称轴为直线，则，即；
（2） 若对称轴为直线，则，即；
（3） 对称轴为其他具体确定的数，做法类似；
（4） 若对称轴不确定，能确定范围，比如对称轴在1和2之间，开口向上，则，则可得到，或者；开口向下，则，则可得到，或者。
7. 与、与之间的关系
与、与之间的关系，通常情况下是通过取值得到、、之间的数量或者不等关系，然后利用对称轴找到、之间的数量关系，其次消元求解，具体方法为：组合消元。
8. 单个字母的取值范围
若题目中出现一个字母的取值范围，一般题目会直接或者间接告诉其中一个字母的取值范围，利用对称轴和取值构造两个等式消元。
如已知二次函数与轴交点在2和3之间，对称轴为，与交点为，求的取值范围。
（1） 二次函数与轴交点在2和3之间，可得：；
（2） ， 则 ， 所以 ， 即 .
9. 顶点纵坐标， 这类式子不仅只有 ， 还有别的字母（一般是 ）或者数字， 联想到顶点坐标的纵坐标，
如结合图像， 请判断 是否正确， 联想到转化为顶点坐标纵坐标， 若 ， ， 若 ， ， 然后结合图像判断顶点坐标的纵坐标的取值范围.
10. 最值（如结合图像， 二次函数的对称轴为 ， 二次函数上一动点的横坐标为 ， 请判断 是否正确）
（1） 观察式子， 两边同时加上 ， 则判断 是否正确；
（2） 左边是当 时的函数值， 右边是当 时的函数值；
（3） 若二次函数开口向上， 则 ； 若二次函数开口向下则 .
11. 二次函数与方程转化
（1） 判断 （常数）解的个数， 两种解题思路：
① 将左边看成二次函数 ， 右边看成常数函数 ， 解的个数转化两条函数图像交点个数问题；
② 移项 ， 将左边看成函数 ， 即将二次函数 向上或者向下平移得到， 解的个数转化平移后的二次函数函数图像与 轴交点个数问题
（2） 利用函数图像求 （常数）或 （常数）的解集， 两种解题思路：
① 将左边看成二次函数 ， 右边看成常数函数 ， 解集转化为观察两条函数图像位置关系；
② 移项 ， 将左边看成函数 ， 即将二次函数 向上或者向下平移得到， 解集转化为观察二次函数与 轴位置关系.
典型例题分析
例1已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ （）；⑩若方程 有两个根， 则这两个根的和为 . 其中正确的结论是
【解答】选项①： 抛物线开口向下， 与 轴交于 轴正半轴， ， ， 抛物线对称轴为直线 ， ， ， ， 故①错误；
选项②： 由图像可得： 当 时， ， 故②正确；
选项③：∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，故③错误；
选项④：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，∴当时，，故③错误；
选项⑤：由函数图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，∴，即，故⑤错误；
选项⑥：当时，，当时，，∴，∴，故⑥正确；
选项⑦：∵当时，，∴，∴，即，故⑦正确；
选项⑧：∵抛物线顶点为，∴，∴，∴，故⑧正确；
选项⑨：∵抛物线对称轴为直线，开口向下，∴当时，函数有最大值，最大值为，∴，∴，即，故⑨正确；
选项⑩：由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为，∴若方程有两个根，则这两个根的和为，故⑩正确；
例2 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的是______
【解答】选项①：∵函数开口方向向上，∴；∵对称轴在轴右侧，∴、异号，，∵抛物线与轴交点在轴负半轴，∴，∴，故①正确；
选项②：∵图象与轴交于点，对称轴为直线，∴图象与轴的另一个交点为，∴当时，，∴，故②错误；
选项③：当时，，∴，故③正确；∴，，可得，∴；
选项④：∵图象与轴的交点在和之间，∴∴，∴；故④正确；正确结论为：①③④
例3 如图，抛物线的对称轴是直线，且过点. 有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中所有正确的结论是______（填写正确结论的序号）.
【解答】①由抛物线的开口向下可得： ，根据抛物线的对称轴在轴左边可得： ，同号，所以 b <0 ，根据抛物线与轴的交点在正半轴可得： ，，故①正确；
②抛物线的对称轴是直线. 且过点，抛物线与轴的另一个交点坐标为，当时，，即，整理得： ，故②正确；③直线是抛物线 （）的对称轴，所以，可得，，，，，即，故③错误；④时，函数值最大，，，所以④正确； ⑤， a + b + c \lt 0 ，，即 3b + 2c < 0 ，故⑤错误；故答案是：①②④.
例4 已知二次函数 （）的图象与轴交于点、，且，与轴正半轴的交点在的上方，顶点为. 直线 （）经过点、. 则下列结论：①；②；③ 2a + c < 0 ；④ k <-1 ；⑤，其中正确的结论有 ______.
【解答】①由图知：抛物线的开口向下，则 a< 0 . 对称轴在轴的左侧，因此，、同号，则 b < 0 ，，， 0 < < 1 ，. 故①正确； ②抛物线交轴与点，，，，即 2a - b < -1 . 故②错误；③二次函数 （）的图象与轴交于点，，，，， 4a - 2b + c < 2a + c ，即 0 < 2a + c ，，故③错误；④过顶点作于点. 则. 和的长度都在和之间，也就是说，又因为，所以除以，k< -1 ，故④正确；⑤当时，二次函数值大于一次函数值，，同理，，相加可知⑤正确；综上所述，正确的结论有①④⑤.
例5 如图，矩形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，，，点的坐标为，抛物线 （）的顶点总是在矩形内部（包括边界），且与轴的两个交点分别是点、，其中，下列说法：①；②；③当 k < 1 时，方程总有两个不相等的实数根；④的取值范围是；其中正确的是 ______.
【解答】观察图形发现，抛物线的开口向下，，顶点坐标在第一象限，，，而抛物线与轴的交点在轴的上方，，，故①正确；点的坐标为，，，抛物线的顶点总是在矩形内部（包括边界），，，，，，故②错误；由题意可知，抛物线与直线有两个交点，当时，方程总有两个不相等的实数根；故③正确；顶点在矩形内部（包括边界），当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，由，，解得；当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，由，，解得；顶点可以在矩形内部，；故④正确；故答案为①③④。
针对提高训练
练1
如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，以下结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④抛物线一定经过点；⑤关于的方程有两个不相等的实数根。其中正确结论的个数是______
【练1】解： ①函数开口方向向下，；对称轴在轴左侧，、同号，抛物线与轴交点在轴正半轴，，，故①正确；
②抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，故②错误；
③图象与轴交于点，对称轴为直线，图象与轴的另一个交点为，，时，，，，即，故③正确；
④图象与轴的交点为在和，的两根为和，，，，抛物线一定经过点，故④正确；
⑤抛物线与直线有两个交点，关于的方程有两个不相等的实数根，故⑤正确．综上所述，正确的有①③④⑤
练2
如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，顶点为对于下列结论：①；②；③；④当时：；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为。其中正确的是______
【练2】解： ，，故①正确；
与轴的交点在点和之间，对称轴为直线，与轴的另一个交点在点和之间，当时，，故②正确；，，，，故③错误；
函数图象与轴的交点没有具体说明交点的坐标，当时，不一定成立，故④错误；
方程的四个根分别为和的根，抛物线关于直线对称，抛物线与直线的交点的横坐标之和为，抛物线与直线的交点横坐标之和为，方程的四个根的和为，故⑤正确．正确的是①②⑤，
练3 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是______
【练3】解： 抛物线的开口向下，且对称轴为直线，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，，故②正确；
与轴的一个交点在和之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即
<；0，故③正确；
∵由③知， 时 ，且 ，，故④正确；
由函数图象知当 时，函数取得最大值， （即 （ 为实数）），故⑤错误；
练4 如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是______
【练4】解：①观察图象可知： ，，，，故①错误；
② 对称轴为直线 ，，可得 ，， 点 ，点 ， 当 时， ，即 ，，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线 ，即 ，，，，，，，，故③正确；
④当 时，函数有最小值 ，由 ，可得 ， 若 为任意实数，则 ，故④正确；
练5 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若m，n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有______
【练5】解： 抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线
抛物线 与 轴交于点 和 ，且 由图象知： ，，
故结论①正确；
抛物线 与 轴交于点 ， 故结论②正确；
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小 结论③错误；
， 抛物线 与 轴交于点 和 的两根是 和 ， 即为： ，解得 ，；故结论④正确；
当 时， 故结论⑤正确； 抛物线 与 轴交于点 和 ， ， 为方程 的两个根 ， 为方程 的两个根 ， 为函数 与直线 的两个交点的横坐标
结合图象得： 且 故结论⑥成立；故选： .
练6 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有___。
【练6】解： 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ，即 ，，
抛物线与 轴的交点在 轴下方， ，，所以①错误； 物线与 轴有 个交点， ，所以②正确； 时， ，，而 ，，，，所以③正确； 时， 有最小值， 为任意实数），即 ，所以④正确； 图象经过点 时，方程 的两根为 ，， 二次函数 与直线 的一个交点为 ， 抛物线的对称轴为直线 ， 二次函数 与直线 的另一个交点为 ，即 ，，，所以⑤正确.
练7 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④。其中正确结论的序号是___。
【练7】解： 抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在 轴的右侧， ， 抛物线与 轴的交点在 轴上方， ，，所以①正确；
抛物线与 轴有 个交点， ，所以②错误； ，，，，，所以③正确；设 、 两点的横坐标为 、，则 ，，，，所以④正确.
练8 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点。下列说法：①；②；③点，在抛物线上，则当时，；④（为任意实数）。其中一定正确的是 ___。
【练8】解： 抛物线开口向上，且交 轴于负半轴， ，， 对称轴 ，即 ， ，，故①正确； 二次函数 的图象过点 ，，，，故②正确； 抛物线开口向上，对称轴是直线 ，点 ， 在抛物线上， 当 时，即 时， ，故③不正确；
抛物线开口向下，对称轴是直线 ， 当 时，抛物线 取得最小值 ，当 时， )，∴(m为任意实数)；故④正确，综上，结论①②④正确，故答案为：①②④.
练9 二次函数（，， 是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线．有以下结论：①；②（ 为实数）；③（ 为实数）；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的结论有____．
【练9】解：由图象可知：，，又∵对称轴是直线，∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b < 0，∴，故①正确；
∵对称轴是直线，抛物线开口向下，∴当时，y随x的增大而减小，是实数，∴，
；
∵抛物线对称轴为，∴，∵抛物线开口向下，顶点坐标为
∴，∴，即，故③正确；
由图象知，时，y< 0，∴，∵，∴3a + c < 0，∴，故④正确；
根据图象可知，函数与的图象有两个交点，∴有两个不相等的实数根，故⑤正确，故答案为：①②③④⑤.

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