资源简介

对数函数的概念
【学习目标】：
通过实际情境问题，了解对数函数的实际背景；
从函数概念角度，能说出对数函数的概念（形式、自变量、函数值），并能正确判断某个函数是否为对数函数；
3、从与指数函数关系的角度，了解对数函数，并能正确求出给定对数函数或者指数函数的反函数.
【学习重、难点】：
重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域；
难点：对数函数与指数函数的关系.
【课前预学】：
任务一：对数函数的概念.请阅读课本107页上半部分，完成以下问题.
什么是对数函数，定义域是什么？请在下列四线三格中正确书写对数函数的表达式.
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
以10为底的对数函数叫什么，记作什么？以无理数e为底的对数函数叫什么，记作什么？
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3、判断以下函数是否为对数函数？你认为对数函数的解析式的特征有哪些？
①y＝2＋logax． ②y＝loga(2a)(a>0，且a≠1) ③y＝lnx
④y=logx(x+2) ⑤ y=logax(a∈R)　　 ⑥y=logπx
答：是对数函数的编号有：　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
任务二：指数函数与对数函数的关系.请阅读课本107页下半部分，完成以下问题.
什么是一个函数的反函数？指数函数和对数函数的关系是什么？
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
仿108页课本例题，写出下列函数的反函数.
①y=log3x ②y＝lnx ③y＝5x ④y=（）x
解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂导学】
预学反馈
学案中的任务一和任务二的第1个问题，学生通过预习教材均可找到对应内容，但是在答案的表述中或多或少会存在表达不准确的问题，可在上课通过学生口述纠正.任务一和任务二的第2个问题结果能照课本写出来，基本不存在问题.任务一的第3个问题可能会存在问题，对特征的归纳上可能不够全面，在上课时通过例题再次巩固.
学习探索
1、问题情境
考古学家是如何推测出辛追夫人生活的年代的？
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么，死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p)；死亡2年后，生物体内碳4含量为（1-p)2；死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p)3；
……死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p)5730．
[问题1]已知辛追体内碳14的含量，如何得知她死亡了多长时间呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[问题2]死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2、新知形成
知识点一：对数函数的概念
情境问题：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么根据指数对数的互化，
y=,（x∈[0，＋∞）） ，
对于任意一个y∈（0，1］，通过对应关系，在［0，＋∞）上，都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．
一般结论：根据指数与对数的关系，由y＝ax（a＞0，且a≠1）可以得到x=logay（a＞0，且a≠1）, x也是y的函数．
通常，我们用x表示自变量，表y示函数．为此，将x=logay（a＞0，且a≠1）中的字母x和y对调，写成y=logax（a＞0，且a≠1）．
新知一：对数函数的概念
函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
注意：1.对数函数的定义是形式定义，注意函数特征;
2.对数函数的底数a＞0，且a≠1
3.对数函数的定义域为(0,+∞),即自变量x>0.
[问题3]①在对数函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1？
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②为什么对数函数y=logax（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）？
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[问题4] 指数函数y＝ax（＞0且≠1） 和对数函数y=logax（＞0且≠1）有什么关系？
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
新知二：反函数
像这样的两个函数叫做互为反函数．同底的指数函数和对数函数互为反函数
[问题5] 互为反函数的两个函数有什么特征？
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3、典例分析
题型一：对数函数的概念及应用
[例1](1)若函数y＝log（2a-1）x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝ .
(2)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ()＝ .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[规律方法]判断一个函数是对数函数的方法
题型二：对数函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域：
（1）y＝log3x2；　　（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【达标检测】：
1．若函数y=f (x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点
(，a),则f (x)=(　　)　　　　　　　　　　
log2x B. -log2x C. 2-x D. x2
2．求下列函数的定义域：
3、下列各项中表示同一个函数的是 (　　)　　　　　　　
A.y=2log2x与y=log2x2 B.y=10lg x与y=lg 10x
C.y=x与y= D.y=x与y=ln ex
【课堂小结】：
知识点小结：
1、对数函数的概念； 2、指数函数与对数函数互为反函数.
思想方法小结：
类比思想； 2、归纳思想.
核心素养小结：
1、通过对数函数的概念的形成，培养数学数学抽象素养；
2、通过对数函数与指数函数的关系的推理，培养逻辑推理能力；
3、通过求解对数函数的定义域的过程，培养数学运算能力.
4、通过运用对数函数解决实际问题，培养数学建模能力
教学反思：
1.用“已知底数和幂求指数”的实际问题（如细胞分裂、地震震级计算）替代纯数学推导，降低抽象感，贴合核心素养中“数学建模”要求。
2. 定义突破：学生易混淆底数范围（a>0且a≠1）和真数定义域（x>0），需通过反例辨析（如log 4、log (-1)），结合指数函数逆运算逻辑强化理解，避免机械记忆。
3. 教学节奏：前半段概念建构需放慢速度，预留小组讨论时间；后半段例题讲解可结合基础题+变式题，兼顾不同层次学生，避免“满堂灌”。
4. 衔接问题：需强化与指数函数的互逆关系，通过表格对比（定义域、值域、单调性）帮助学生建立知识关联，为后续性质学习铺垫。
5. 改进方向：可引入简单数学文化（如纳皮尔发明对数的背景），或用GeoGebra动态演示指数与对数函数图像的对称关系，提升课堂趣味性与直观性。

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