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第二讲　一次函数的图象与性质
考点一　一次函数的图象与性质
定义 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数为一次函数,特别地,当b=0时,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数为正比例函数,其中k是比例系数
k,b符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
判断倾斜 方向、增 减性看k k>0,图象呈“/”,必过第一、三象限,y随x的增大而①　　　 k<0,图象呈“\”,必过第二、四象限,y随x的增大而②　　　
判断与y 轴交点位 置看b b>0,图象交于y轴的正半轴,必过第一、二象限;b=0,图象过③　　　　;b<0,图象交于y轴的负半轴,必过第三、四象限
与坐标 轴交点 令x=0,求对应的y值,交点坐标为④　　　　,令y=0,求对应的x值,交点坐标为⑤　　　　
两条直线(y1=k1x+b1和y2=k2x+b2)的位置关系
位置 关系 两直线 平行 两直线 垂直 两直线相交
系数 关系 k1=k2 b1≠b2 k1·k2=-1 k1+k2=0 k1=-k2, b1=b2 k1=-k2, b1=-b2
图象 两直线关于l1,l2均对称 两直线关于y轴对称 两直线关于x轴对称
1.(原创)已知函数y=(m-1)是正比例函数.
(1)求m的值.
(2)若函数关系式中y随x的增大而减小,求m的值.
(3)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.
2.已知函数y=(m+1)x+3m-1,解决下列问题:
(1)若y随x的增大而减小,则m的取值范围是　　　　.
(2)若函数图象与y轴交于正半轴,则m的取值范围是　　　　.
(3)若该函数的图象过第一、三、四象限,则m的取值范围是　　　　.
(4)当m=0时,点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数图象上的两个点,且x1”“<”或“=”).
考点二　一次函数解析式的确定
方法 待定系数法
步骤 (1)一设:设一次函数的解析式为y=kx+b. (2)二列:将图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=kx+b中,得到二元一次方程组 (3)三解:解方程组,求出k,b的值. (4)四还原:将k,b代入所设解析式中
(1)若对于一次函数y=kx+b,当b=0时,找出满足y=kx的一点坐标(原点除外),求出k即可确定解析式.
(2)在找点坐标时有4种情况:
①题目中明确已知两个点在一次函数图象上,直接代入解析式即可;
②已知与坐标轴的交点,实质为已知点坐标为(x,0)或(0,y);
③已知一次函数图象与坐标轴交点到原点的距离为h,实质为已知一次函数图象上点的坐标为(±h,0)或(0,±h);
④已知一次函数图象与其他函数图象的交点坐标,实质为该交点在一次函数图象上,满足一次函数解析式.
考点三　一次函数图象的平移
平移前的解析式 平移方式(m>0) 平移后的解析式 规律
y=kx+b (k≠0) 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b x左加右减
向右平移m个单位 y=k(x-m)+b
向上平移m个单位 y=kx+b+m 等号右端整体上加下减
向下平移m个单位 y=kx+b-m
3.根据下列条件分别确定函数y=kx+b的解析式:
(1)y与x成正比例,当x=2时,y=3,则y关于x的函数的解析式为　　　　.
(2)直线y=kx+b经过点(3,2)和点(-2,1),则y关于x的函数的解析式为　　　　　　.
(3)已知一次函数的图象与y轴的交点坐标是(0,5),且过点(-1,0),则该函数的解析式是　　　　.
4.(1)若直线y=2x+b(b是常数)经过点(0,2),将直线y=2x+b向上平移5个单位,平移后直线的解析式为　　　　.
(2)把直线y=2x-1向左平移1个单位,再向上平移2个单位,则平移后所得直线的解析式为　　　　.
考点四　一次函数图象与坐标轴围成的面积
项目 图形 面积
一条直线 与坐标轴 S△AOB=AO·BO=|xA|·|yB|
两条直线 与x轴　 S△ABC=BC·AD=|xC-xB|·|yA|
两条直线 与y轴　 S△ABC=BC·AD=|yB-yC|·|xA|
5.(1)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-2x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,则△AOB的面积为　　　　.
(2)如图,过点A(-6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(2,m),则△AOB的面积为　　　　.
考点五　一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
与一元一次方程的关系 方程kx+b=0的解x=-是一次函数 y=kx+b的图象与x轴的交点A的横坐标,如图
与二元一次方程组的关系 二元一次方程组的解是两个一次函数图象交点的横坐标、纵坐标,如图
与一元一次不等式的关系 (1)从“数”上看:kx+b>0的解集是在函数y=kx+b中,当y>0时x的取值范围;kx+b<0的解集是在函数y=kx+b中,当y<0时x的取值范围. (2)从“形”上看:如图,kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标;kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标
两个一次函数与不等式的关系 (1)如图,不等式k1x+b1>k2x+b2的解集 函数y1=k1x+b1的图象在函数y2=k2x+b2图象上方部分所对应的x的取值范围,即x>m. (2)不等式k1x+b16.(冀教八下P108习题A组T1变式)已知一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图所示,根据图象填空.
(1)关于x的一元一次方程x+a=0的解为　　　　.
(2)是方程y=x+a的一组解.
(3)当x　　　　时,y2<0.
(4)方程组的解是　　　　.
(5)当x　　　时,y1(6)不等式kx+b>x+a的解集为　　　　.
已知一次函数y=(2m-1)x+2-m.
(1)当m=　　　　时,此函数是y关于x的正比例函数,y随x的增大而　　　　.
(2)若此函数的图象不经过第二象限,则m的取值范围是　　　　.
(3)若点P(1,y1),Q(-4,y2)是此一次函数图象上的两个点,且y1(4)若函数图象经过点(-2,9).
①此一次函数的表达式是　　　　,点A(4,-1)　　　　(填“在”或“不在”)该一次函数图象上.
②当y>0时,x的取值范围是　　　　.
③将此函数图象先向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的图象的函数表达式为　　　　.
④此一次函数的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,O为坐标原点,则三角形OBC的面积为　　　　.
(5)若过点(6,-18)的直线l:y=ax+b与(4)中一次函数y=(2m-1)x+2-m的图象交于点(t,-8).
①直线l的表达式为　　　　　　.
②若ax+b>(2m-1)x+2-m,则对应的x的取值范围是　　　　.
③方程组的解为　　　　.
(1)根据正比例函数的定义得,当2-m=0时是正比例函数,由此解出m即可.
(2)根据一次函数y=(2m-1)x+2-m的图象不经过第二象限得由此解出m即可.
(3)根据1>-4,y1(4)①将点(-2,9)代入y=(2m-1)x+2-m求出m即可得函数的表达式,计算当x=4时,y的值,据此可得出答案;②由一次函数与一元一次不等式的关系,列不等式求解;③根据一次函数图象平移的规律:左右平移:x左加右减,上下平移:等号右端整体上加下减,可得出答案;④根据表达式求出点B、点C的坐标,进而可求出△OBC的面积.
(5)①先求出t,再用待定系数法求出直线l的表达式;②由两个一次函数与不等式的关系可得出答案;③根据直线y=ax+b与一次函数y=(2m-1)x+2-m的图象的交点坐标为(t,-8)可得出答案.
命题点一　一次函数的图象与性质
(2024·河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,若m=,则m与n关系的图象大致是(　　)
A B C D
(2024·河北样卷)若函数y=(a-1)x+2a+3是正比例函数,则此函数图象分布在第　　　　象限.
命题点二　
(2018·河北)如图,直角坐标系中,一次函数y=-x+5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4).
(1)求m的值及l2的解析式.
(2)求S△AOC-S△BOC的值.
(3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值.
命题点三　一次函数解析式的确定
(2020·河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'.
(1)求直线l的解析式.
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长.
(3)设直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
x -1 0
y -2 1
(2022·河北)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
命题点四　一次函数图象的平移
(2025·河北)在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图,正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移,使其内部(不含边界)有且只有A,B,C三个整点,则平移后点E的对应点坐标为(　　)
A. B.
C. D.
(2023·河北)在平面直角坐标系中,设计了点的两种移动方式:从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式;从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式.
例:点P从原点O出发连续移动2次,若都按甲方式,最终移动到点M(4,2);若都按乙方式,最终移动到点N(2,4);若按1次甲方式和1次乙方式,最终移动到点E(3,3).
(1)设直线l1经过上例中的点M,N,求l1的解析式;并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式.
(2)点P从原点O出发连续移动10次,每次移动按甲方式或乙方式,最终移动到点Q(x,y).其中,按甲方式移动了m次.
①用含m的式子分别表示x,y;
②请说明:无论m怎样变化,点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为l3,在图中直接画出l3的图象.
(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,b,c,若A,B,C三点始终在一条直线上,直接写出此时a,b,c之间的关系式.
命题点五　
(2024·河北样卷)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的方程2x-1=kx+b的解是(　　)
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
(2024·河北样卷)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>0的解集是　　　　,kx+b【详解答案】
教材考点·深度梳理
①增大　②减小　③原点　④(0,b)　⑤
即时练
1.解:(1)∵函数y=(m-1)是正比例函数,∴
解得m=-2或m=2.
(2)∵函数关系式中y随x的增大而减小,∴m-1<0,∴m<1,∴m=-2.
(3)∵函数的图象过第一、三象限,
∴m-1>0,∴m>1,∴m=2.
2.(1)m<-1　(2)m>　(3)-1(4)<
解析:(1)∵y随x的增大而减小,
∴m+1<0,解得m<-1.
(2)∵函数图象与y轴交于正半轴,
∴3m-1>0,解得m>.
(3)∵该函数的图象过第一、三、四象限,
∴　解得-1(4)当m=0时,函数解析式为y=x-1,
∵k=1>0,∴y随x的增大而增大,
∴当x13.(1)y=x　(2)y=x+
(3)y=5x+5
解析:(1)∵y与x成正比例,∴设y=kx,∵当x=2时,y=3,∴3=2k,∴k=,∴y关于x的函数解析式为y=x.
(2)∵直线y=kx+b经过点(3,2)和点(-2,1),
∴解得
∴y关于x的函数解析式为y=x+.
(3)设一次函数的解析式为y=kx+b,∵函数图象与y轴的交点坐标为(0,5),∴b=5,把点(-1,0)代入y=kx+5得,-k+5=0,∴k=5,∴该函数的解析式是y=5x+5.
4.(1)y=2x+7　解析:∵直线y=2x+b(b是常数)经过点(0,2),∴b=2,∴直线y=2x+2向上平移5个单位得y=2x+7.
(2)y=2x+3　解析:把直线y=2x-1向左平移1个单位,再向上平移2个单位,则平移后所得直线的解析式为y=2(x+1)-1+2,即y=2x+3.
5.(1)4　解析:由y=-2x+4得A(2,0),B(0,4),∴S△AOB=×OA×OB=×2×4=4.
(2)12　解析:把B(2,m)代入y=2x,得m=2×2=4,∴B(2,4),∵A(-6,0),O(0,0),∴AO=6,∴△AOB的面积为×6×4=12.
6.(1)x=2　(2)0　(3)<2
(4)　(5)>3　(6)x<3
解析:(1)x+a=0的解,即直线y2=x+a与x轴的交点的横坐标,即x=2.
(2)∵点(2,0)在y2=x+a这条直线上,∴方程y=x+a的一组解为
(3)∵y2<0,∴x<2.
(4)∵方程组的解即为两条直线的交点(3,1)的横、纵坐标,
∴该方程组的解为
(5)由题图可知,直线y1=kx+b与y2=x+a的交点为(3,1),∴当x>3时,y1(6)kx+b>x+a,即y1>y2,故kx+b>x+a的解集为x<3.
重点难点·一题串讲
例:(1)2　增大　(2)m≥2　(3)m<
(4)①y=-3x+3　不在　②x<1
③y=-3x+8　④1.5
(5)①y=-x+　②x<
③
河北中考·考向体验
1.C　解析:设该扇面外侧圆的半径为R,内侧圆的半径为r,S=,∴πR2-πr2=3S.∵该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,∴Sn=×3S=,∴m=n,∴m是n的正比例函数.∴C选项的图象符合.故选C.
2.二、四　解析:由题意得2a+3=0.解得a=-.当a=-时,a-1=-<0,∴此函数图象分布在第二、四象限.
3.解:(1)把点C(m,4)代入一次函数y=-x+5,可得4=-m+5.解得m=2.∴点C(2,4).设l2的解析式为y=ax,则4=2a.解得a=2.
∴l2的解析式为y=2x.
(2)如图,过点C作CD⊥AO于点D,CE⊥BO于点E,则CD=4,CE=2.在y=-x+5中,令x=0,则y=5;令y=0,则x=10,
∴点A(10,0),B(0,5).
∴AO=10,BO=5.
∴S△AOC-S△BOC=AO·CD-BO·CE=×10×4-×5×2=20-5=15.
(3)k的值为或2或-.
4.解:(1)∵在直线l:y=kx+b中,当x=-1时,y=-2;当x=0时,y=1.
∴解得
∴直线l的解析式为y=3x+1.
(2)直线l'如图所示.
由(1)可知直线l'的解析式为y=x+3.联立
解得
∴两直线的交点为(1,4).当x=0时,y=3,∴直线l'与y轴的交点为(0,3).
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为.
(3)a的值为或或7.
解析:①当对称点在直线l上时,令a=3x+1,解得x=,令a=x+3,解得x=a-3,则2×=a-3,解得a=7;②当对称点在直线l'上时,则2×(a-3)=,解得a=;③当对称点在y轴上时,则+a-3=0,解得a=.综上,a的值为或或7.
5.解:(1)设AB所在直线的解析式为y=kx+b.把A(-8,19),B(6,5)的坐标分别代入,得解得
∴AB所在直线的解析式为y=-x+11.
(2)①把x=2,y=0代入y=mx+n,得0=2m+n,即n=-2m.∴m,n应满足的数量关系是n=-2m.
②设光点P击中线段AB上的点为(a,b),则b=-a+11.∴a=11-b(5≤b≤19).当b是整数时,a也是整数.∵点P在y=mx+n上,∴由①得b=ma-2m.∴m=-1.只有b=6,8,10,12,18时m为整数,且其个数是5.
6.A　解析:设直线FG的解析式为y=kx+b,代入(-1,1),(0,-1),得解得∴直线FG的解析式为y=-2x-1.∵E(1,2),A.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,向上平移个单位,
∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1+=-2x,此时经过原点,对应的EH经过整点(2,1),符合题意.B.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,向上平移个单位,∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1+=-2x+,此时点(2,1)在正方形内部,不符合题意.C.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1=-2x,此时点(2,0)在正方形内部,不符合题意.D.当平移后点E的对应点坐标为时,平移方式为向右平移个单位,向上平移个单位,∴直线FG平移后的解析式为y=-2-1+=-2x+,此时点(2,1)在正方形内部,不符合题意.故选A.
7.解:(1)设l1的解析式为y=kx+b',把M(4,2),N(2,4)代入,
得解得
∴l1的解析式为y=-x+6.
直线l2的解析式为y=-x+15.
(2)①∵点P从原点O出发连续移动10次,按照甲方式移动了m次,
∴点P按照乙方式移动了(10-m)次.
点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m,m).
∴点(2m,m)按照乙方式移动(10-m)次后得到的点的横坐标为2m+10-m=m+10,纵坐标为m+2(10-m)=20-m.
∴x=m+10,y=20-m.
②∵x+y=m+10+20-m=30,
∴无论m怎样变化,点Q都在直线l3:y=-x+30上.l3的图象如图所示:
(3)a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b.
解析:∵点A,B,C的横坐标依次为a,b,c,且分别在直线l1,l2,l3上,
∴A(a,-a+6),B(b,-b+15),
C(c,-c+30).
当a≠b≠c,-a+6≠-b+15≠-c+30时,设直线AB的解析式为y=dx+n,把A,B两点的坐标代入解析式,得
解得
∴直线AB的解析式为
y=x+6-.
∵A,B,C三点始终在一条直线上,
∴c+6-=-c+30,
整理得5a+3c=8b.
当a=b=c时,A,B,C三点共线,满足5a+3c=8b,当-a+6=-b+15=-c+30时,A,B,C三点共线,满足5a+3c=8b.
∴a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b.
8.B　9.x>-1　x<-3

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