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第七讲　二次函数的实际应用
考点　二次函数的实际应用
二次函数与实际问题的基本类型
(1)抛物线形问题.
(2)几何图形面积问题.
(3)利润问题.
注:实际问题中的函数,往往自变量的取值范围受到限制,这时对应的函数图象应是原函数图象的一部分.
二次函数实际问题求最值
(1)先根据题意列出二次函数解析式.
(2)再用配方法把得到的解析式化为顶点式.
(3)若二次项系数大于0,则抛物线开口向上,自变量的值离对称轴越近,函数的值越小,在对称轴处,函数取得最小值;若二次项系数小于0,则抛物线开口向下,自变量的值离对称轴越近,函数的值越大,在对称轴处,函数取得最大值.
(4)在实际问题中要根据具体情况来确定自变量的取值范围从而确定最值.
某公司经销某种品牌的普洱茶,每千克成本50元,经市场调查发现:每周的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如下表所示.
销售单价x/(元/千克) 56 65 75
销售量y/千克 128 110 90
解答下列问题:
(1)y与x的关系式为　　　　　　　　.
(2)当x=　　　　时,周利润W最大,最大值为　　　　元.
类型一　抛物线形问题
体育课上,甲、乙两名学生站在一排,同时、在同一高度处抛出相同品质的铅球,两个铅球的运动路径都可抽象为抛物线的一部分,为研究两个铅球的运动情况,将从侧面看到的两铅球运动情况画在同一直角坐标系中,x轴为地面,出手点A在与地面垂直的y轴上,单位长度为1 m,如图,两个铅球出手时和落地时的位置相同,乙抛出的铅球总在甲抛出的铅球的正上方,甲抛掷的铅球运动路径为抛物线y=ax2+bx+1.6的一部分,铅球落地时,离出手点的水平距离是8 m,铅球运动的水平距离为3 m时达到最大高度,乙抛掷的铅球在距出手点水平距离为3.5 m时达到最大高度.
(1)求甲抛掷的铅球运动路径所在抛物线的表达式.
(2)若0≤x≤k时,乙铅球高度的最大值与最小值的差总为 m,求k的取值范围.
(3)求两个铅球之间距离的最大值,并求此时铅球运动的水平距离.
(1)根据题意可得抛物线的表达式为y=ax2+bx+1.6.由-=3可得,b=-6a,将(8,0)代入y=ax2-6ax+1.6即可求解.
(2)根据题意可设乙抛掷铅球时,铅球运动路径所在抛物线的表达式为y'=mx2+nx+1.6,代入相应数值求出表达式;再利用二次函数性质即可得到答案.
(3)由(1)(2)求出的甲、乙抛掷的铅球运动路径所在抛物线的表达式,设两个铅球某一时刻的高度差为Δh,列式Δh=y'-y,再利用二次函数性质即可得到答案.
类型二　几何图形与利润问题
某小区有一个长为50米,宽为30米的矩形停车场,布局如图所示.阴影部分为停车位,其余部分是等宽的通道(通道与停车场的边平行或垂直),小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆,已知喷漆面积为1 196平方米.
(1)求通道的宽是多少米.
(2)据调查分析,小区停车场多余50个车位可以对外出租,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出;当每个车位的月租金每上涨10元,就会少租出1个车位,求当每个车位的月租金上涨多少元时,对外开放的总月租金收入最高,最高为多少元.
(1)设通道的宽是x米,根据题意列出一元二次方程,解方程即可求解.
(2)设每个车位的月租金上涨m元,对外开放的总月租金收入为y元,根据题意列出二次函数表达式,根据二次函数的性质即可求解.
命题点一　抛物线形问题
(2023·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏,某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长,嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点 B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值.
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
(2025·河北样卷)如图,斜坡AC上种有若干树木,底部有一喷水管BC,某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处,水流呈抛物线状.建立恰当平面直角坐标系,得到点A(0,2),点B(6,0.5).已知喷水管BC及所有树木都与OC垂直,抛物线的解析式为y=-x2+bx+c.
(1)求该抛物线解析式,并写出其顶点坐标.
(2)若抛物线恰好过小树MN的树顶N,点M在斜坡AC上,且点A到M,N两点距离相等,求M点坐标.
(3)若DE,MN为两棵等高小树(MN在左侧,小树粗细忽略不计,点M,D均在斜坡上且与点C不重合),抛物线恰好经过E,N两点.
①当MN=1.25时,求DM长;
②直接写出M横坐标m的取值范围.
命题点二　几何图形问题
(2020·河北)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量,实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍
(注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围)
命题点三　利润问题
(2025·内江)2025年春讲期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
即时练
　(1)y=-2x+240　(2)85　2 450
解析:(1)设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0),把(56,128)和(65,110)分别代入,得解得
∴y与x的关系式为y=-2x+240.
(2)由题意知,W=(x-50)·y
=(x-50)(-2x+240)
=-2x2+340x-12 000
=-2(x-85)2+2 450,
∴当x=85时,W最大,最大值为2 450元.
重点难点·一题串讲
例1:解:(1)甲抛掷的铅球运动路径为抛物线y=ax2+bx+1.6的一部分,
铅球运动的水平距离为3 m时达到最大高度,
∴-=3,即b=-6a,
∴y=ax2-6ax+1.6.将(8,0)代入表达式得64a-48a+1.6=0,
解得a=-0.1,
∴b=0.6,
故甲抛掷的铅球运动路径所在抛物线的表达式为y=-0.1x2+0.6x+1.6.
(2)根据题意可设乙抛掷铅球时,铅球运动路径所在抛物线的表达式为y'=mx2+nx+1.6,
由题意知,该抛物线的对称轴为直线x=3.5,∴n=-7m,
∴y'=mx2-7mx+1.6,
∵铅球落地时,离出手点的水平距离是8 m,
将(8,0)代入y'=mx2-7mx+1.6,得64m-56m+1.6=0,
解得m=-0.2,
∴y'=-0.2x2+1.4x+1.6
=-0.2(x-3.5)2+4.05,
∵-0.2<0,∴当x=3.5时,y'取最大值,最大值为4.05,
∵4.05-1.6=,(0,1.6)的对称点为(7,1.6),
∴当3.5≤k≤7时,乙铅球高度的最大值与最小值的差总为 m.
∴k的取值范围为3.5≤k≤7.
(3)设两个铅球某一时刻的高度差为Δh,则Δh=y'-y
=-0.2x2+1.4x+1.6-(-0.1x2+0.6x+1.6)
=-0.1x2+0.8x
=-0.1(x-4)2+1.6,
∵-0.1<0,∴当x=4时,Δh取最大值,最大值为1.6 m.
∴两个铅球之间距离的最大值为1.6 m,此时铅球运动的水平距离为4 m.
例2:解:(1)设通道的宽是x米,
由题意得(50-2x)(30-2x)=1 196,
整理得x2-40x+76=0,
解得x1=2,x2=38(舍去),
∴通道的宽是2米.
(2)设每个车位的月租金上涨m元,对外开放的总月租金收入为y元,
由题意得y=(200+m)50-=-m2+30m+10 000=-(m-150)2+12 250,∵-<0,
∴当m=150时,y最大,最大值为12 250.
∴当每个车位的月租金上涨150元时,对外开放的总月租金收入最高,最高为12 250元.
河北中考·考向体验
1.解:(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高点坐标为(3,2).
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a×(6-3)2+2,解得a=-.
∴抛物线C1的解析式为y=-(x-3)2+2.
令x=0,则c=-×(0-3)2+2=1.
(2)∵c=1,∴抛物线C2的解析式为y=-x2+x+2.
依题意,当x=5时,y=-+2≥1,解得n≥.
当x=7时,y=-+2≤1,
解得n≤.∴≤n≤.
∴n的整数值为4,5.
2.解:(1)由题意可得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2=-(x-2)2+,
∴抛物线的顶点坐标为.
(2)∵点B(6,0.5),BC⊥OC,点C在x轴上,∴C(6,0),
∵A(0,2),C(6,0),
∴设直线AC的解析式为y=kx+2,则0=6k+2,
解得k=-,
故直线AC的解析式为y=-x+2,
由题意可得设M(m>0),
∵MA=NA,MN⊥x轴,
∴点A在MN的垂直平分线上,故yM+yN=2yA=4,
解得yN=m+2,
∴N,
∵点N在抛物线上,
∴m+2=-m2+m+2,整理得m(3m-4)=0,
解得m=0(舍去)或m=,
此时-m+2=,
∴M.
(3)①令d==-x2+x,
则d表示小树高,
∵MN=DE=1.25,即d=1.25,
∴-x2+x=1.25,整理得3x2-20x+30=0,
解得x1=,x2=,
∵MN在DE左侧,∴xM=,
xD=,
∴DM==.
②解析:设MN=DE=d0,则d=-x2+x=d0在0即直线d=d0与抛物线d=-x2+x在0当x=6时,d=-×62+5=,
令-x2+x=,得x=或x=6(舍去),
∴又d=-x2+x=-x-2+,
对称轴为直线x=,
m为直线d=d0与抛物线d=-x2+x两交点中靠左一点的横坐标,故m<.
综上,3.解:(1)设W=kx2(k≠0).∵当x=3时,W=3,∴3=9k.解得k=.∴W与x的函数关系式为W=x2.
(2)①设薄板的厚度为x厘米,则厚板的厚度为(6-x)厘米.∴Q=W厚-W薄=(6-x)2-x2=-4x+12,即Q与x的函数关系式为Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,∴-4x+12=3×x2.整理,得x2+4x-12=0.解得x1=2,x2=-6(不合题意,舍去).故x为2时,Q是W薄的3倍.
4.解:(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元,
由题意得
解得
答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个,
由题意得,40(400-m)+20m≤12 000,
解得m≥200,
∴m的最小值为200,
答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意得,W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20 000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4 500,
∵-5<0,60≤a≤100,
∴当a=70时,W最大,最大值为4 500元.

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