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第六讲　二次函数的解析式
考点一　二次函数解析式的确定
待定系数法
(1)三种解析式的适用条件
已知条件 选用解析式的形式 形式
已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值 一般选用顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是抛物线的顶点坐标
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 一般选用交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标
(2)用待定系数法求二次函数解析式的步骤
①设出合适的二次函数解析式;
②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);
③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出二次函数解析式.
根据图象变换求函数解析式的方法
(1)将已知解析式化为顶点式.
(2)根据下表求出变化后的a,h,k.
y=a(x-h)2+k a 顶点(h,k)
平移变换 左右或上下平移 不变 变
轴对称 变换 x轴 相反数 (h,-k)
y轴 不变 (-h,k)
旋转 变换 绕顶点(180°) 相反数 (h,k)
绕原点(180°) 相反数 (-h,-k)
(3)将变化后的a,h,k代入顶点式中即可得到变化后的函数解析式.
1.求下列二次函数的解析式:
(1)把抛物线y=x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　.
(2)已知二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,-3),则这个二次函数的解析式为　　　　　　　　.
(3)顶点是点M(-2,1),且图象经过原点的二次函数的解析式是　　　　　　　　　.
(4)已知抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2,则这条抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　.
(5)一条抛物线的顶点坐标为(2,1),且开口向下,则该二次函数的解析式可以为　　　　　　　　　.
考点二　二次函数与图象变换
二次函数图象的平移
方法1:直接平移
(1)把y=ax2+bx+c沿y轴向上(或下)平移m(m>0)个单位得到y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m).
(2)把y=ax2+bx+c沿x轴向左(或右)平移m(m>0)个单位得到y=a(x+m)2+b(x+m)+c[或y=a(x-m)2+
b(x-m)+c].
方法2:将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+k的形式后,按以下规律写出解析式:
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
y=a(x-h)2+k 向左平移m(m>0)个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x左加右减
向右平移m(m>0)个单位 y=a(x-h-m)2+k
y=a(x-h)2+k 向上平移n(n>0)个单位 y=a(x-h)2+k+n 给等号右边整体上加下减
向下平移n(n>0)个单位 y=a(x-h)2+k-n
口诀:左加右减自变量,上加下减常数项.
二次函数图象的旋转与对称
(1)绕原点旋转180°:用(-x)和(-y)分别替换x和y.
(2)轴对称
2.(1)把抛物线y=2(x+3)2-1先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到的新抛物线的解析式为　　　　　　.
(2)将抛物线y=x2-6x+1向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的顶点坐标是　　　　.
(3)将函数y=x2-4x+1的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数解析式是　　　　　　.
(4)抛物线C1:y=x2-3x+2和抛物线C2关于x轴对称,则抛物线C2的解析式是　　　　　　.
(5)将二次函数y=-2(x-1)2+4的图象绕原点O旋转180°,所得到的图象对应的函数解析式是　　　　　　　　.
已知抛物线C是由抛物线y=2x2+1向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到的.
(1)抛物线C的解析式为　　　　　　　　　　.
(2)保持抛物线C的位置不动,将坐标轴先向下平移1个单位,再向右平移2个单位,则此时抛物线C的解析式变为　　　　　　　　.
(3)抛物线C关于x轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　.
(4)抛物线C关于y轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　.
(5)抛物线C关于原点成中心对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　.
(6)将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折,与抛物线C在x轴上方的部分组成的图象记为W,则:
①直线y=0与图象W有　　　　个交点;
②当直线y=d与图象W有3个交点时,d的值为　　　　;
③当直线y=d与图象W有4个交点时,d的取值范围为　　　　;
④当直线y=d与图象W有2个交点时,d的取值范围为　　　　.
(1)由平移规律可知:左右变自变量,上下变常数项,从而求出抛物线解析式.
(2)坐标轴的移动,可以看作抛物线的反向移动,从而求出抛物线解析式.
(3)(4)(5)由二次函数图象的旋转与对称规律可知:绕原点旋转180°:用(-x)和(-y)分别替换x和y;轴对称
从而求出抛物线解析式.
(6)利用数形结合找出直线y=d与图象W的不同交点时的d值或取值范围.
命题点一　二次函数解析式的确定
(2025·福建)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t).
(1)求的值.
(2)已知二次函数y=ax2+bx-2的最大值为1-a2.
①求该二次函数的表达式;
②若M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不同两点,且m≠0,求证:.
命题点二　二次函数与图象变换
(2022·河北)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值.
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为点P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程.
(2024·河北)如图,抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2(其中t为常数,且t>2),顶点为P.
(1)直接写出a的值和点Q的坐标.
(2)嘉嘉说:无论t为何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上.
淇淇说:无论t为何值,C2总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
(3)当t=4时,
①求直线PQ的解析式;
②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标.
(4)设C1与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xB,且xA【详解答案】
教材考点·深度梳理
即时练
1.(1)y=(x+2)2-3
(2)y=x2-2x-3
(3)y=-(x+2)2+1
(4)y=-x2+x+2或y=x2-x-2
(5)y=-3(x-2)2+1(答案不唯一)
2.(1)y=2(x+2)2-4　解析:把抛物线y=2(x+3)2-1先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到的新抛物线的解析式为y=2(x+3-1)2-1-3,即y=2(x+2)2-4.
(2)(1,-5)　解析:由题知,y=x2-6x+1=(x-3)2-8,则将该抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的解析式为y=(x-3+2)2-8+3=(x-1)2-5,则所得抛物线的顶点坐标为(1,-5).
(3)y=x2+4x+1　解析:将二次函数y=x2-4x+1的图象沿着y轴翻折,所得到的图象对应的函数解析式是y=(-x)2-
4·(-x)+1,即y=x2+4x+1.
(4)y=-x2+3x-2　解析:根据函数的对称性,C2的解析式为-y=x2-3x+2,即y=-x2+3x-2.
(5)y=2(x+1)2-4　解析:二次函数y=-2(x-1)2+4图象的顶点坐标为(1,4),因为二次函数y=-2(x-1)2+4的图象绕原点旋转180°后得到的抛物线顶点坐标为(-1,-4),所以旋转后的抛物线解析式为y=2(x+1)2-4.
重点难点·一题串讲
例:(1)y=2(x+1)2-3　解析:由平移规律可知,抛物线y=2x2+1向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为y=2(x+1)2-3.
(2)y=2(x+3)2-2　解析:抛物线C的顶点坐标为(-1,-3),若抛物线的坐标轴向下平移1个单位,向右平移2个单位,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,-2),∴抛物线C的解析式变为y=2(x+3)2-2.
(3)y=-2(x+1)2+3　解析:抛物线C关于x轴对称的抛物线的解析式为-y=2(x+1)2-3,即y=-2(x+1)2+3.
(4)y=2(x-1)2-3　解析:抛物线C关于y轴对称的抛物线的解析式为y=2(-x+1)2-3,即y=2(x-1)2-3.
(5)y=-2(x-1)2+3　解析:抛物线C关于原点成中心对称的抛物线的解析式为-y=2(-x+1)2-3,即y=-2(x-1)2+3.
(6)①2　②3　③03或d=0　解析:图象W如图所示:
由图象可知:
①直线y=0与图象W有2个交点.
②当直线y=d与图象W有3个交点时,即过抛物线的顶点,∴d=3.
③当直线y=d与图象W有4个交点时,0④当直线y=d与图象W有2个交点时,d>3或d=0.
河北中考·考向体验
1.解:(1)二次函数y=ax2+bx-2的图象的对称轴为直线x=-,
∵点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上,
∴2-=--1,
∴-,∴=-3.
(2)①由(1)可得b=-3a,
∴该函数的表达式为y=ax2-3ax-2,
∴函数图象的顶点坐标为,-a-2,
∵函数的最大值为1-a2,
∴a<0,且-a-2=1-a2,
解得a=-1或a=4(舍去),
∴该二次函数的表达式为y=-x2+3x-2.
②证明:∵点M(x1,m)在函数y=-x2+3x-2的图象上,
∴m=-+3x1-2,
由①知,点M(x1,m),N(x2,m)关于直线x=对称,不妨设x1则x2--x1,即x1+x2=3,
∴
=
=
=
=
=
=0,
∴.
2.解:(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴抛物线C的顶点为Q(6,4),对称轴为直线x=6,y的最大值为4.将点P(a,3)代入抛物线C,得3=-(a-6)2+4.
∴a=5或a=7.∵点P在对称轴的右侧,∴a>6.∴a=7.
(2)∵平移后得到的抛物线的解析式为y=-x2+6x-9=-(x-3)2,
∴平移后抛物线的顶点坐标为Q'(3,0).∵平移前抛物线的顶点坐标为Q(6,4),∴点P'移动的最短路程为QQ'==5.
3.解:(1)a=,Q(2,-2).
解析:∵抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q,
∴16a-8=0,解得a=,
∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x=(x-2)2-2,∴Q(2,-2).
(2)选择嘉嘉的说法说理如下:
把Q(2,-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0,-2),
当x=0时,
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-t2+t2-2=-2,
∴点(0,-2)在C2上,
∴嘉嘉的说法正确.
选择淇淇的说法说理如下:
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-x2+tx-2,
当x=0时,y=-2,
∴C2:y=-(x-t)2+t2-2过定点(0,-2),∴淇淇的说法正确.
(答案不唯一,任选其一即可)
(3)①当t=4时,
C2:y=-(x-t)2+t2-2=
-(x-4)2+6,
∴顶点P(4,6).
而Q(2,-2),
设直线PQ的解析式为y=ex+f,
∴解得
∴直线PQ的解析式为y=4x-10.
②如图1,当C2:y=-(x-4)2+6=-6时(等于6两直线重合,不符合题意),x=4±2,
∴交点J(4-2,-6),交点K(4+2,-6),
由直线l∥PQ,设直线l的解析式为y=4x+b,
当直线l过点J(4-2,-6)时,
4(4-2)+b=-6,
解得b=8-22,
∴直线l的解析式为y=4x+8-22.
当y=4x+8-22=0时,x=-2,此时直线l与x轴交点的横坐标为-2.
同理当直线l过点K(4+2,-6)时,
直线l的解析式为y=4x-8-22,
当y=4x-8-22=0时,x=+2,此时直线l与x轴交点的横坐标为+2.
综上所述,l与x轴交点的横坐标为-2或+2.
(4)n=2+t-m.
解析:∵C1:y=(x-2)2-2,
C2:y=-(x-t)2+t2-2,
∴C2是由C1通过旋转180°,再平移得到的,两个函数图象的形状相同,
如图2,连接AB交PQ于点L,连接AQ,BQ,AP,BP,
易知四边形APBQ是平行四边形.
若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,则M与B重合,N与A重合,
∵Q(2,-2),Pt,t2-2,
∴L的横坐标为,∵Mm,m2-2m,Nn,-(n-t)2+t2-2,
∴L的横坐标为,
∴,解得n=2+t-m.

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