资源简介

第三讲　一次函数的实际应用
考点　一次函数的实际应用
用一次函数解决实际问题的一般步骤
(1)设定实际问题中的变量.
(2)找出题中的等量关系,建立一次函数关系式.
(3)确定自变量的取值范围.
(4)利用函数的性质解决问题.
(5)作答.
一次函数实际应用的常见类型
(1)根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题.
(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较.
(3)结合实际问题的函数图象解决实际问题.
(4)两个以上的一次函数拼接成一个分段函数,分段求函数解析式,标清自变量的取值范围,找准所求的问题在哪段.
求最值问题,即求最佳方案问题
(1)将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较.
(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解,由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值;若是分段函数,则需要分类讨论,先计算出每个分段函数的最值,再进行比较.
解决图象型分段函数问题的一般思路
(1)找特殊点,即图象的起点、中点或转折点.
(2)根据函数图象的特征判断函数的类型,利用待定系数法求相应的函数解析式.
(3)根据题目要求解决实际问题.
小颖家、小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧,早上两人同时从家里出发去学校,走了12 min后,小颖以3倍的速度跑向学校,小亮以2倍的速度跑向学校,两人同时到达学校,两人各自离家的距离s和他们所用时间t的图象如图所示,则下列结论正确的是　　　　.(填序号)
①小颖家到学校的距离比小亮家到学校的距离远;
②a=2 000;
③加速后,小颖的速度为250 m/min,小亮的速度为200 m/min;
④两人从家出发12 min时,相距200 m.
(2025·河北模拟)某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄.1号、2号无人机从海拔10 m高的A处同时出发,分别以8 m/s,6 m/s的速度匀速上升.上升了30 s时,1号无人机不再继续上升,悬停在空中,等2号无人机达到同一高度时,1号无人机开始匀速降落,经过了40 s降落到出发点.1号无人机降落过程中,2号无人机继续上升.设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为y1,y2,他们飞行的时间为x,y与x关系的图象如图所示.
(1)点C的坐标为　　　　.
(2)CD段的y1关于x的函数解析式为　　　　　　　　.
(3)在飞行的过程中,当两架无人机竖直方向上的高度差不超过30 m时,远程遥控信号可能会相互干扰,则两架无人机信号受到干扰的时长是多少
(1)由题意可知点C的纵坐标和点B的纵坐标相等,即1号无人机上升了30 s时的高度,再由上升的高度和2号无人机的速度求出横坐标,即可得点C的坐标.
(2)先求出点D坐标,设CD段的y1关于x的函数解析式为y1=kx+b,用待定系数法求出函数解析式即可.
(3)由题意可得,AB段的y1关于x的函数解析式为y1=8x+10,AC段的y2关于x的函数解析式为y2=6x+10,分三种情况讨论:在0~30 s,当y1-y2=30时;在30~40 s,当250-y2=30时;在40~80 s,当y2-y1=30时,分别列出方程求出x的值,即可求解.
(2025·邯郸一模)某商店准备购进甲、乙两种商品共100件,甲商品的进价是40元/件,售价是50元/件;乙商品的进价是48元/件,售价是60元/件.设甲商品购进x件,销售完购进商品获得的总利润是w元.
(1)w与x的函数关系式为　　　　　　　.
(2)某同学说,有一种进货方案,可获得利润980元.这种方案存在吗 为什么
(3)若计划购进甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍,如何设计进货方案才能获得最大利润 最大利润是多少
(1)根据“总利润=销售完甲商品获得的利润+销售完乙商品获得的利润”写出w与x的函数关系式即可.
(2)将w=980代入(1)中求得的函数关系式并求出对应x的值,若x的值符合题意,则说明这种方案存在,否则,则说明这种方案不存在.
(3)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集,根据一次函数的增减性和x的取值范围,确定当x取何值时w的值最大,求出其最大值及此时100-x的值即可.
命题点　一次函数的实际应用
(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表:
温度t/℃ -10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度t为15 ℃时,声音传播的速度v为(　　)
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
(2021·河北)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1号指挥机(看成点P)始终以
3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行,2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方,2号机从原点O处沿45°仰角爬升,到4 km高的A处便立刻转为水平飞行,再过1 min到达 B 处开始沿直线 BC 降落,要求1 min后到达点C(10,3)处.
(1)求OA的h关于s的函数解析式,并直接写出2号机的爬升速度.
(2)求BC的h关于s的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标.
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少.
(注:(1)及(2)中不必写s的取值范围)
(2019·河北)长为300 m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与位置O的距离为s头(m).
(1)当v=2时,解答:
①求s头与t的函数关系式(不写t的取值范围);
②当甲赶到排头位置时,求s头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为s甲(m),求s甲与t的函数关系式(不写t的取值范围).
(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
(2025·上海)已知学校热水器有一个可以储存200 L水的储水装置,且储水装置在水装满时会自动停止加水.如图所示为储水量y(L)与加水时间x(min)的关系图象,已知水的温度t(℃)与加水时间x(min)的关系为t=.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当水加满时,储水装置内水的温度为多少
【详解答案】
教材考点·深度梳理
即时练
②③　解析:小颖家到学校的距离与小亮家到学校的距离相等,∴①不正确,不符合题意;加速前小亮的速度为
1 200÷12=100(m/min),则加速后小亮的速度为100×2=200(m/min),1 200+200×(16-12)=2 000(m),∴a=2 000,∴②正确,符合题意;设加速前,小颖的速度为v m/min,则加速后的速度为3v m/min,则12v+(16-12)×3v=2 000,解得v=,3×=250(m/min),∴加速后小颖的速度是250 m/min,由②可知,加速后小亮的速度为200 m/min,∴③正确,符合题意;两人从家出发12 min时,相距2 000×2-12×=1 800(m),∴④不正确,不符合题意.
重点难点·一题串讲
例1:解:(1)(40,250)
解析:30×8+10=250(m),∴B(30,250),(250-10)÷6=40(s),∴C(40,250).
(2)y1=-6x+490
解析:8×30÷6+40=80(s),
∴点D的坐标为(80,10),
设CD段的y1关于x的函数解析式为y1=kx+b,
将C(40,250),D(80,10)的坐标代入,
得解得
∴y1=-6x+490.
(3)由题意得,AB段的y1关于x的函数解析式为y1=8x+10,
AC段的y2关于x的函数解析式为y2=6x+10,
分以下三种情况讨论:
在0~30 s,当y1-y2=30时,即(8x+10)-(6x+10)=30,
∴x=15,
在30~40 s,当250-y2=30时,即250-(6x+10)=30,
∴x=35,
在40~80 s,当y2-y1=30时,即(6x+10)-(-6x+490)=30,
∴x=42.5,
∵15+42.5-35=22.5,
∴两架无人机信号受到干扰的时长是22.5 s.
例2:解:(1)w=-2x+1 200
(2)这种方案不存在.理由如下:
当w=980时,得-2x+1 200=980,
解得x=110,
∵110>100,
∴这种方案不存在.
(3)根据题意,得x≥2(100-x),
解得x≥,
∵w=-2x+1 200,-2<0,
∴w随x的增大而减小,
∵x≥且x为整数,
∴当x=67时,w的值最大,w最大=-2×67+1 200=1 066,
100-67=33(件).
答:购进甲商品67件、乙商品33件才能获得最大利润,最大利润是1 066元.
河北中考·考向体验
1.B　解析:将t=0,v=330和t=10,v=336分别代入v=at+b,得
解得∴v与t之间的函数关系式为v=0.6t+330,当t=15时,v=0.6×15+330=339,∴当温度t为15 ℃时,声音传播的速度v为339 m/s.故选B.
2.解:(1)∵2号机爬升角度为45°,
∴OA上的点的横、纵坐标相同,
∴点A(4,4).设OA的解析式为h=ks,
∴4k=4,∴k=1.
∴OA的解析式为h=s.
2号机的爬升速度为3 km/min.
(2)设BC的解析式为h=ms+n.
由题意,得点B(7,4),C(10,3).
∴解得
∴BC的解析式为h=-s+.
令h=0,则s=19.
∴预计2号机着陆点的坐标为(19,0).
(3)∵PQ不超过3 km,∴5-h≤3.∴PQ=
解得2≤s≤13.
∴两机距离PQ不超过3 km的时长为(13-2)÷3=(min).
3.解:(1)①排尾从位置O开始行进的时间为t(s),则排头也离开原排头t(s),∴s头=2t+300.
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷(2v-v)=300÷v=300÷2=150(s),此时s头=2t+300=600 m.
甲从排头返回的时间为(t-150)s,
∴s甲=600-4(t-150)=-4t+1 200.
∴在甲从排头返回到排尾过程中,s甲与t的函数关系式为s甲=-4t+1 200.
(2)T=t追及+t返回=,在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为·v=400(m).
4.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把(0,80),(2,160)代入y=kx+b(k≠0),得
解得∴y=40x+80,
当40x+80=200时,解得x=3,
∴y与x的函数关系式为y=40x+80(0≤x≤3).
(2)当x=3时,t==32,
∴当水加满时,储水装置内水的温度为32 ℃.

展开更多......

收起↑