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第四讲　反比例函数及其应用
考点一　反比例函数的图象与性质
定义:一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数.
反比例函数图象上点的横、纵坐标之积恒为k,用来判断某个点是否在已知函数图象上或判断两个点是否在同一个函数图象上.
反比例函数的图象与性质
解析式 y=(k为常数,k≠0)
k k①　　　　0 k②　　　　0
图象
所在象限 第③　　　象限 (x,y同号) 第④　　　　象限 (x,y异号)
增减性 在每一个象限内,y随x的增大而⑤　　 在每一个象限内,y随x的增大而⑥　 　
对称性 关于直线y=x,y=-x成轴对称;关于原点成中心对称. 注:因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称,故在同一直角坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象若有交点,则两个交点关于原点对称
反比例函数的图象与坐标轴一定不相交,只能无限的靠近x轴和y轴.
1.(人教九下P6练习T2变式)已知函数y=(m+1)·是反比例函数,且图象在第一、三象限内,则m=　　　　.
2.对于反比例函数y=,以下四个结论:①函数的图象在第一、三象限;②函数的图象经过点(-2,-3);③y随x的增大而减小;④当x>-3时,y<-2.其中所有正确结论的序号是　　　　.
3.如图所示,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象有一个交点(2,-1),则这两个函数图象的另一个交点坐标是　　　　.
考点二　反比例函数中k的几何意义
k的几何意义:如图,过双曲线y=(k为常数,k≠0)上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得矩形PMON的面积S=|xy|=⑦　　　　.
反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象中有关图形面积的常见类型
S△AOP=⑧　　　　 S△OBP=⑨　　　　 S△ABP=⑩　　　　
S△APP'=　　　　 S△ABC=　　　　 S ABCD=　　　　
4.如图,点B是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点,过点B分别作BC⊥x轴于点C,BA⊥y轴于点A.若S四边形ABCO=8,则k的值是　　　　.
考点三　反比例函数解析式的确定
待定系数法
(1)设所求反比例函数的解析式为y=(k≠0).
(2)找出图象上的一点P(a,b)代入y=中.
(3)确定反比例函数的解析式y=.
利用k的几何意义:题中已知面积时,考虑用k的几何意义,由面积得|k|,再结合图象所在象限判断k的正负,从而得出k的值,代入解析式即可.
5.已知y与x成反比例,且其函数图象经过点(-3,-1).
则y与x的函数关系式为　　　　;当y=-4时,x的值为　　　　.
6.已知点A(2,m),B(m-1,1)均在某一反比例函数的图象上,则这个反比例函数的解析式为　　　　.
考点四　反比例函数的实际应用
常见的反比例函数关系
(1)行程问题:速度=.
(2)工程问题:工作效率=.
(3)压强问题:压强=.
(4)电学问题:电阻=.
步骤
(1)根据实际情况建立反比例函数模型.
(2)确定函数解析式.
(3)根据反比例函数的性质解决实际问题.
注:在实际问题中,求出解析式后要注意自变量和函数值的取值范围.
7.(人教九下P17习题26.2T8变式)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,下列说法中不正确的是(　　)
A.函数解析式为I= B.蓄电池的电压是60 V
C.当R=6 Ω时,I=8 A D.当I≤10 A时,R≥6 Ω
(多维设问)已知反比例函数y=(k为常数,k≠1).
(1)若在其图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
(2)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.
(3)在其图象上任取一点,向x轴和y轴作垂线,若所得矩形面积为6,求k的值.
(4)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值.
(5)其中k>-1,且k≠0,1≤x≤2,若该函数的最大值与最小值的差是1,求k的值.
(1)(2)由反比例函数的图象与性质得:在每一个象限内,y随x的增大而减小时比例系数大于0,从而求出k的范围;反比例函数图象在第二、四象限时,在每一个象限内y随x的增大而增大,从而根据题意比较出x1,x2的大小.
(3)利用反比例函数的比例系数的几何意义求k.
(4)先求出P的坐标,代入反比例函数解析式求出k.
(5)分情况讨论:当-11时,由最大值与最小值的差是1求k.
命题点一　反比例函数的图象与性质
(2025·河北)在反比例函数y=中,若2A.C.2 (2023·河北)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值:　　　　.
(2025·河北样卷)如图,平面直角坐标系内有两点A(4,0),B(0,4),若反比例函数y=(k≠0)的图象交线段AB于点C,D,且BC=CD,则k=　　　　.
(2020·河北)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数),函数y=(x<0)的图象为曲线L.
(1)若L过点 T1,则k=　　　　.
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m=　　　　.
(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有　　　　个.
(2021·河北)用绘图软件绘制双曲线m:y=与动直线l:y=a,且交于一点,图1为a=8时的视窗情形.
(1)当a=15时,l与m的交点坐标为　　　　.
(2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心.
例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图1中坐标系的单位长度变为原来的,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如图2).
当a=-1.2和a=-1.5时,l与m的交点分别是点A和B,为能看到m在点A和B之间的一整段图象,需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的,则整数k=　　　　.
命题点二　反比例函数中k的几何意义
(2025·山东七市)如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=(x>0)的图象经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为(　　)
A.0C.0命题点三　反比例函数解析式的确定
(2025·河南)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中,其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上,含45°角的三角板OAC的直角顶点C的
坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点D的坐标.
命题点四　反比例函数的实际应用
(2024·河北)讲能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是(　　)
A.若x=5,则y=100
B.若y=125,则x=4
C.若x减小,则y也减小
D.若x减小一半,则y增大一倍
(2022·河北)某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需12天.若m个人共同完成需n天,选取6组数对(m,n),在坐标系中进行描点,则正确的是(　　)
A B
C D
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①>　②<　③一、三　④二、四
⑤减小　⑥增大　⑦|k|　⑧　⑨
⑩　2|k|　|k|　|k|
即时练
1.2　解析:由题意得m2-5=-1,解得m=±2,∵图象在第一、三象限内,∴m+1>0,∴m>-1,∴m=2.
2.①②　解析:∵反比例函数y=,∴该函数的图象在第一、三象限,故①正确,符合题意;当x=-2时,y=-3,即函数的图象经过点(-2,-3),故②正确,符合题意;在每个象限内,y随x的增大而减小,故③错误,不符合题意;当0>x>-3时,y<-2,当x>0时,y>0,故④错误,不符合题意.
3.(-2,1)　解析:由题图可知直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点,因为双曲线y=与直线y=k1x均关于原点对称,所以两点关于原点对称,因为一个交点的坐标为(2,-1),所以另一个交点的坐标为(-2,1).
4.8　解析:∵点B是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点,BC⊥x轴,BA⊥y轴,∴四边形ABCO是矩形,根据反比例函数比例系数k的几何意义得S四边形ABCO=|k|,又∵S四边形ABCO=8,∴|k|=8,∵点B是反比例函数y=(k≠0)第一象限图象上的点,∴k=8.
5.y=　-　解析:设y与x的函数关系式为y=,∵图象经过点(-3,-1),∴k=-1×(-3)=3,y与x的函数关系式为y=.将y=-4代入y=,得到x=-,∴当y=-4时,x=-.
6.y=-　解析:设反比例函数的解析式为y=,∵点A(2,m),B(m-1,1)均在反比例函数的图象上,∴k=2m=m-1,解得m=-1,k=-2,∴反比例函数的解析式为y=-.
7.C　解析:设I=,∵函数图象过点(5,12),∴k=60,∴I=,∴蓄电池的电压是60 V,∴A,B正确,不符合题意;当R=6 Ω时,I==10(A),∴C错误,符合题意;当I=10 A时,R=6 Ω,结合题图知,当I≤10 A时,R≥6 Ω,∴D正确,不符合题意.故选C.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)∵在反比例函数y=图象的每一支上,y随x的增大而减小,∴k-1>0,解得k>1.
(2)∵反比例函数y=图象的一支位于第二象限,
∴在该函数图象的每一支上,y随x的增大而增大.
∵点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在该函数的第二象限的图象上,且y1>y2,∴x1>x2.
(3)∵在其图象上任取一点,向两坐标轴作垂线,得到的矩形面积为6,
∴|k-1|=6,解得k=7或k=-5.
(4)由题意,设点P的坐标为(m,2).
∵点P在正比例函数y=x的图象上,∴2=m,∴点P的坐标为(2,2).∵点P在反比例函数y=的图象上,∴2=,解得k=5.
(5)当-1解得k=-1,不合题意,舍去;
当k>1时,在1≤x≤2范围内,y随x的增大而减小,
∴k-1-=1,解得k=3.
河北中考·考向体验
1.B　解析:∵反比例函数y=中,k=4>0,∴在每个象限内,y随x的增大而减小,∴当22.4(答案不唯一)　解析:由题图可知k>0,∵反比例函数y=(k>0)的图象与线段AB有交点,且点A(3,3),B(3,1),
∴把B(3,1)代入y=,得k=3,
把A(3,3)代入y=,得k=3×3=9,
∴满足条件的k的取值范围是3≤k≤9的整数,故可取k=4.
3.　解析:设直线AB的解析式为y=kx+b,代入点A,B的坐标得到,
解得∴y=-x+4.如图,
过点C作CE⊥y轴于点E,过点D作DF⊥y轴于点F,设点C的坐标为(t,-t+4),则CE=t,OE=-t+4,
∵BC=CD,∴BD=BC+CD=2BC,∵∠CBE=∠DBF,∠BEC=∠BFD=90°,
∴△CBE∽△DBF,∴,即,∴BF=2t,DF=2t,∴OF=OB-BF=4-2t,∴点D的坐标为(2t,4-2t),∴t(-t+4)=2t(4-2t),解得t1=,t2=0(不合题意,舍去),∴点C的坐标为,∴k=.
4.(1)-16　(2)5　(3)7　解析:∵每个台阶的高和宽分别是1和2,∴点T1(-16,1),T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10,4),
T5(-8,5),T6(-6,6),T7(-4,7),T8(-2,8).
(1)∵L过点T1,∴k=-16×1=-16.
(2)∵L过点T4,∴k=-10×4=-40.∴反比例函数解析式为y=-.当x=-8时,y=5,∴点T5在反比例函数图象上,∴m=5.
(3)若曲线L过点T1(-16,1),T8(-2,8)时,k=-16,若曲线L过点T2(-14,2),T7(-4,7)时,k=-14×2=-28,若曲线L过点
T3(-12,3),T6(-6,6)时,k=-12×3=-36,若曲线L过点T4(-10,4),T5(-8,5)时,k=-40,∵曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,∴-365.(1)(4,15)　(2)4　解析:(1)a=15时,y=15,由y=,y=15,得x=4,即当a=15时,l与m的交点坐标为(4,15).
(2)y=,当a=-1.2,即y=-1.2时,得x=-50,∴A点坐标为(-50,-1.2),当a=-1.5,即y=-1.5时,得x=-40,
∴B点坐标为(-40,-1.5).为能看到m在点A(-50,-1.2)和B(-40,-1.5)之间的一整段图象,则15k≥50,解得k≥.
∴整数k=4.
6.A　解析:∵四边形OABC是面积为4的正方形,设点B的坐标为(b,b),∴b2=4,解得b=2(负值舍去),∴点B的坐标为(2,2),∵函数y=(x>0)的图象经过点B,∴满足y≥2的x的取值范围为07.解:(1)∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,∴k=2×2=4,∴反比例函数的表达式为y=.
(2)∵C(2,2),∴CO2=22+22=8,
∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形,∠ACO=90°,
∴AC=CO,AO==4,
如图,连接OD,△OAB旋转到△OEF的位置,∴OE=OA=4,
∵D的对应点G在y=的图象上,
∴yG=1,∴EG=1,
由旋转可得AD=EG=1,∴D(-1,4).
8.C　解析:由题意,得y=.A.若x=5,则y==100,正确,故此选项不符合题意;B.若y=125,则125=,解得x=4,正确,故此选项不符合题意;C.若x减小,则y增大,原说法错误,故此选项符合题意;D.若x减小一半,即y'=,所以y增大一倍,正确,故此选项不符合题意.故选C.
9.C　解析:设工作总量为1,∵一个人完成需12天,∴一人一天的工作量为.
∵m个人共同完成需n天,∴一人一天的工作量为.∵每人每天完成的工作量相同,∴mn=12,∴n=,∴n是m的反比例函数,且m,n为正整数.故选C.

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