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第五讲　二次函数的图象与性质
考点一　二次函数的定义
　　一般地,形如①　　　　　　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
1.已知函数y=(m+3)-2x+1(m为常数),当m=　　　　时,y是x的二次函数.
考点二　二次函数的图象与性质
根据二次函数解析式判断函数性质
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向②　　　 开口向③　　　
对称轴 直线x=④　　　
顶点坐标 ⑤　　　　　　　
最值 抛物线有最低点,当x=⑥　　　　时,y有最小值,最小值为⑦　　　　 抛物线有最高点,当x=⑧　　　　时,y有最大值,最大值为⑨　　　　
增 减 性 在对称 轴左侧 当x<⑩　　　　时,y随x的增大而　　　　 当x<　　　　时,y随x的增大而　　　　
在对称 轴右侧 当x>　　　　时,y随x的增大而　　　　 当x>　　　　时,y随x的增大而　　　　
二次函数图象与系数a,b,c的关系
a 决定开 口方向 的大小 a>0 开口　　　　; a<0 开口　　　　; |a|越大,抛物线开口越小; |a|越小,抛物线开口越大
a,b 决定对称 轴的位置 b=0 对称轴为y轴; a,b同号 对称轴在y轴的　　　　; a,b异号 对称轴在y轴的　　　　. 简记:左同右异
c 决定与y轴 的交点位置 c=0 抛物线过原点; c>0 抛物线与y轴交于　　　　半轴; c<0 抛物线与y轴交于　　　　半轴
b2-4ac 决定与x轴 的交点个数 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点); b2-4ac>0 与x轴有　　　　交点; b2-4ac<0 与x轴没有交点
二次函数图象与特殊代数式之间的关系
(1)如遇见2a+b,2a-b类的式子,可利用对称轴与±1比较进行判断.
(2)如遇见a+b+c,a-b+c类的式子,可利用x=±1时求出y值的大小关系进行判断.
(3)如遇见只有a,c或b,c关系的式子,可利用对称轴的大小关系与x取某个特殊值时y的式子联立进行判断,如2a+c,b+c等.
(4)如遇见含有系数平方形式的式子,如(a+c)22.(冀教九下P38习题A组T2变式)已知二次函数y=x2-2x-3 ,回答下列问题:
(1)该二次函数的图象开口向　　　　,对称轴为直线　　　　;函数有最　　　　(填“大”或“小”)值,其值为　　　　.
(2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为　　　　　,与y轴的交点坐标为　　　　.
(3)当-1≤x≤2 时,y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
(4)若点(-,y1),(,y2),(2,y3)在该函数图象上,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　(用“>”连接).
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为(-1,0).分析判断下列结论,用“>”“<”或“=”填空.
(1)a　　　　0,b　　　　0,c　　　　0,abc　　　　0.
(2)b2-4ac　　　　0.
(3)2a+b　　　　0.
(4)a-b+c　　　　0.
(5)4a+2b+c　　　　0.
(6)9a+3b+c　　　　0.
(7)2c-a　　　　0.
(8)3a+c　　　　0.
(9)8a+c　　　　0.
考点三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函 数与一 元二次 方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与　　　　轴的交点的　　　　坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根 当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个　　　　的实数根
当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个　　　　的实数根
当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根
二次函 数与不 等式 不等式ax2+bx+c>0的解集 二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围
不等式ax2+bx+c<0的解集 二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围
4.如图是函数y=x2+x-6的图象,利用图象回答下列问题:
(1)方程x2+x-6=0的解是　　　　　　.
(2)不等式x2+x-6>0的解集是　　　　.
(3)不等式x2+x-6<0的解集是　　　　.
(2025·河南)在二次函数y=ax2+bx-2中,x与y的几组对应值如下表所示.
x … -2 0 1 …
y … -2 -2 1 …
(1)求二次函数的表达式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当0≤x≤3时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
(1)利用待定系数法把表格的数据(-2,-2)和(1,1)代入y=ax2+bx-2,解方程组得a,b值即可.
(2)依据题意,(1)中求出的二次函数的表达式,可配方成顶点式求出顶点坐标,也可以利用顶点公式求出顶点坐标,进而可以作图得解.
(3)根据二次函数图象左右平移时x左加右减改写顶点式,得到对称轴,分三种情况分别讨论而得解.
命题点一　二次函数的图象与性质
(2025·威海)已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(　　)
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1
(2025·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是(　　)
A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0
(2020·河北)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点 P的个数为0;乙:若b=4,则点 P的个数为1;丙:若 b=3,则点 P的个数为1.下列判断正确的是(　　)
A.乙错,丙对 B.甲和乙都错
C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
(2023·河北)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为(　　)
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
命题点二　
(2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则(　　)
A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0
(2025·广安)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象交x轴于A,B两点,点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(n,0),有下列结论:①abc<0;②4a+c>2b;③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n;④-.其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
命题点三　
(2018·河北)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则(　　)
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
(2025·河北样卷)如图,正方形ABCD的顶点坐标分别为A(-2,4),B(-2,-1),C(3,-1).抛物线经过点D,顶点坐标为(1,0),将此抛物线在正方形ABCD内(含边界)的部分记为图象G.若直线y=kx-2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点,则k的取值范围是(　　)
A.k>2或k<-
B.-C.k>1或k<-3
D.k>1或k<-3或k=-2
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①y=ax2+bx+c　②上　③下　④-
⑤　⑥-
⑦　⑧-　⑨
⑩-　减小　-　增大
-　增大　-　减小
向上　向下　左侧　右侧
正　负　两个　x　横　不相等　相等
即时练
1.3　解析:由题意得,m2-7=2且m+3≠0,解得m=3,∴当m=3时y是x的二次函数.
2.(1)上　x=1　小　-4
(2)(-1,0),(3,0)　(0,-3)
(3)0　-4　(4)y1>y3>y2　
3.(1)<　>　>　<　(2)>　(3)=
(4)=　(5)>　(6)=　(7)>
(8)=　(9)<
解析:(1)由题图可知,抛物线开口向下,a<0,与y轴交于正半轴,c>0,
∵-=1>0,∴b>0,∴abc<0.
(2)∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0.
(3)∵-=1,∴2a+b=0.
(4)当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0.
(5)当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0.
(6)当x=3时,y=0,
∴9a+3b+c=0.
(7)∵a+b+c>0,b=-2a,
∴a-2a+c>0,即c-a>0,
∵c>0,∴2c-a>0.
(8)∵a-b+c=0,b=-2a,
∴3a+c=0.
(9)当x=-2时,4a-2b+c<0,
∵b=-2a,∴4a+4a+c<0,即8a+c<0.
4.(1)x1=-3,x2=2
(2)x<-3或x>2
(3)-3重点难点·一题串讲
例:解:(1)把(-2,-2)和(1,1)代入y=ax2+bx-2,得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2.
(2)将y=x2+2x-2配方,得y=(x+1)2-3.
∴二次函数图象的顶点坐标为(-1,-3).
作图如下.
(3)n的值为1+或4-.
解析:∵二次函数的图象向右平移n个单位长度,
∴新函数的表达式为y=(x+1-n)2-3.
∴此时函数图象开口向上,对称轴是直线x=n-1.
①当3≤n-1,即n≥4时,
由二次函数的性质知,当x=0时,y的最大值为(1-n)2-3;当x=3时,y的最小值为(4-n)2-3.
又∵最大值与最小值的差为5,
∴(1-n)2-3-(4-n)2+3=5.
∴n=<4,不合题意.
②当0由二次函数的性质知,当x=0或x=3时,y的最大值为(1-n)2-3或(4-n)2-3;当x=n-1时,y的最小值为-3.
又∵最大值与最小值的差为5,
∴(1-n)2-3+3=5或(4-n)2-3+3=5.
∴n=1+或n=1-(不合题意,舍去)或n=4+(不合题意,舍去)或n=4-.
③当n-1≤0,即n≤1时,
由二次函数的性质知,当x=0时,y的最小值为(1-n)2-3;当x=3时,y的最大值为(4-n)2-3.
又∵最大值与最小值的差为5,
∴(4-n)2-3-(1-n)2+3=5.
∴n=>1,不合题意.
综上,n=1+或n=4-.
河北中考·考向体验
1.C　解析:∵抛物线y=-(x-2)2+c,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=2,∵三点为(-2,y1),(3,y2),(7,y3),∴与对称轴的距离分别为|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,∵1<4<5,∴y2>y1>y3.故选C.
2.D　解析:由题意可得方程ax2-2ax+a-3=0的两根异号,∴x1x2=<0,解得00,开口向上,故A不符合题意;∵y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的对称轴为直线x=-=1,∴当x>1时,y的值随x值的增大而增大,故B不符合题意;∵当x=1时,y=-3,∴函数的最小值为-3,故C不符合题意;当x=2时,y=4a-4a+a-3=a-3,∵03.C　解析:y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,∴甲、乙的说法正确.若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个,∴丙的说法错误.故选C.
4.A　解析:令-x2+m2x=0,解得x=0或x=m2,令x2-m2=0,解得x=-m或x=m.∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,∴m=-2或m=2.∵抛物线y=x2-m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=-x2+m2x的对称轴为直线x=,∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故选A.
5.C　解析:由题图知a>0,b<0,c<0,故abc>0,故A选项错误;当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故D选项错误;由题图可知抛物线交x轴于点(2,0),另一个交点横坐标在-1和0之间,根据对称性可知对称轴:<-<1,∴b>-2a,即2a+b>0,故B选项错误;由对称轴的范围可知b<-a,即b+a<0,故4b+4a<0①,把点(2,0)代入抛物线中,得4a+2b+c=0,故4a=
-2b-c,再代入①式中,可得4b-2b-c<0,即2b-c<0,故C选项正确.故选C.
6.C　解析:由题图可得抛物线的开口向下,交y轴的正半轴,∴a<0,c>0,又∵抛物线的对称轴在y轴右侧,x=->0,∴b>0,∴abc<0,故结论①正确;由题图可得当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故结论②错误;∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A,B两点,点A(-1,0),点B(n,0),∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n,-,故结论③④正确.综上,结论正确的有3个.故选C.
7.D　解析:∵抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,∴①抛物线与直线相切,联立解析式
得x2-2x+2-c=0,
Δ=(-2)2-4(2-c)=0,解得c=1;
②抛物线与直线不相切,但在0≤x≤3上只有一个交点,此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5),易得28.A　解析:设抛物线与正方形边AD的另一个交点为E,如图,
由条件可知D(3,4),设抛物线解析式为y=a(x-1)2,把D(3,4)代入得4=a·(3-1)2,解得a=1,∴抛物线解析式为y=(x-1)2,当y=(x-1)2=4时,解得x1=3,x2=-1,∴E(-1,4),∵直线y=kx-2k+2=k(x-2)+2,∴直线y=kx-2k+2过定点F(2,2),当x=2时,y=(x-1)2=(2-1)2=1<2,∴直线y=kx-2k+2(k≠0)与y=(x-1)2必有两个交点,∵直线y=kx-2k+2(k≠0)与图象G有唯一交点,∴当x=3时,抛物线过D(3,4),y=kx-2k+2>4,即3k-2k+2>4,解得k>2;当x=-1时,抛物线过E(-1,4),y=kx-2k+2>4,即-k-2k+2>4,解得k<-.综上所述,k>2或k<-.故选A.

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