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第一讲　平面直角坐标系与函数
考点一　平面直角坐标系中点的坐标特征
点的坐标特征
各象 限内 第一象限:x>0,y>0 第二象限:①　　　 第三象限:②　　　 第四象限:③　　　 注:坐标轴上的点不属于任何象限
坐标 轴上 点M1在x轴上:y=0 点M2在y轴上:x=④　　　 原点的坐标:⑤　　　
各象限 角平分 线上 点A1(x1,y1)在第一、三象限的角平分线上,则x1=y1 点A2(x2,y2)在第二、四象限的角平分线上,则x2=⑥　　　
垂直于 坐标轴 的直线上 垂直于y轴的直线l1上的点的⑦　　　坐标相同 垂直于x轴的直线l2上的点的⑧　　　坐标相同
对称点的坐标特征
点P的 坐标 对称方式 对称后点 P'的坐标 口诀
P(a,b) 关于x轴对称 P'(a,-b) 关于谁(x轴或y轴)对称谁不变,另一个变号
关于y轴对称 P'⑨　　　
关于原点对称 P'⑩　　　 横、纵坐标都变号
关于直线y=x对称 P'(b,a) 横、纵坐标互换
关于直线y=-x对称 P'　　　 横、纵坐标互换且都变号
点的平移坐标特征
点P的 坐标 平移方式 (a>0,b>0) 平移后点 P'的坐标 口诀
P(x,y) 向左平移a个单位 (x-a,y) 横坐标:左减右加
向右平移a个单位 (x+a,y)
向上平移b个单位 纵坐标:上加下减
向下平移b个单位
1.(冀教八下P40习题A组T1变式)在平面直角坐标系中,已知点P(3m,2m-2).
(1)若点P在y轴上,则m=　　　　.
(2)若m<0,则点P在第　　　　象限.
(3)若点P在第四象限,则m的取值范围为　　　　.
(4)若点P在第二、四象限的角平分线上,则m=　　　　.
(5)无论m为何值,点P不可能在第　　　　象限.
(6)若点P在过点A(2,-5),且与x轴平行的直线上,则点P的坐标为　　　　.
2.在平面直角坐标系中,已知点P(a,-2a+2).
(1)若a=-1,则点P关于y轴的对称点的坐标为　　　　,点P关于原点的对称点的坐标为　　　　,点P关于直线y=x对称点的坐标为　　　　,若将点P绕原点O逆时针旋转90°,得到点P1,则点P1的坐标为　　　　.
(2)若将点P先向右平移2个单位长度,再向下平移6个单位长度后得到点P2(n,4),则a=　　　　,n=　　　　.
考点二　平面直角坐标系中的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离(如图)
(1)到x轴的距离是　　　　,到y轴的距离是　　　　.
(2)到原点的距离是　　　　.
P(x,y),Q(x1,y1)为平面直角坐标系中任意两点:
(1)中点坐标公式:PQ中点坐标为.
(2)两点间距离:
①若PQ∥x轴 y=y1,PQ=|x-x1|;
②若PQ∥y轴 x=x1,PQ=|y-y1|;
③坐标平面内任意两点间距离公式:
PQ=.
3.在平面直角坐标系中,已知点P(1,2).请解答下列各题:
(1)点P到x轴的距离为　　　　.
(2)点P到y轴的距离为　　　　.
(3)点P到原点的距离为　　　　.
(4)已知点Q(3,m),若PQ∥x轴,则m的值为　　　　.
(5)已知点Q(m-1,4),若PQ∥y轴,则m的值为　　　　.
考点三　函数的相关概念及表示方法
常量和变量 在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量
函数 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数
函数值 在自变量x的取值范围内,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值
表示方法 解析式法、列表法、图象法
画函数图象 的一般步骤 列表→描点→连线
4.下列各曲线中表示y是x的函数的是(　　)
A　　 B
C　 D
考点四　函数自变量的取值范围
函数解析式的形式 自变量的取值范围
整式型 全体实数
分式型y= B≠0
二次根式型y=
零次幂或负整数次幂型 底数不为0
分式与二次根式结合型 分母≠0且被开方数≥0
注:在实际问题中,自变量的取值范围应使该问题有实际意义
5.求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=.
(2)y=.
(3)y=+(x+2)0.
在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(a,a-3),且线段AB平行于y轴.
(1)点B的坐标为　　　　,线段AB的长为　　　　.
(2)点C是线段AB与x轴的交点,则点C关于y轴的对称点C1的坐标为　　　　.
(3)若线段AD∥x轴,且线段AD的长为1,则点D的坐标为　　　　　　.
(4)顺次连接点A,B,C1构成封闭图形,请画出△ABC1,将△ABC1先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,新图形记作△A'B'C'.
①请在同一平面直角坐标系中画出新图形△A'B'C';
②直接写出在上述的平移过程中线段BC1扫过的面积;
③将△ABC1的每个顶点的横、纵坐标均乘2,请直接描述图形发生怎样的变化.
(1)已知线段AB平行于y轴,所以点A、点B的横坐标相等,从而求出B的坐标以及线段AB的长.
(2)因为点C在线段AB上,又因为线段AB平行于y轴,所以可以确定点C的横坐标;因为点C在x轴上,所以可以确定点C的纵坐标;从而确定点C坐标和关于y轴的对称点C1坐标.
(3)与x轴平行的点的纵坐标相等,故点D的纵坐标为1,且AD的长为|xD-1|=1,从而求出D的横坐标.
(4)根据点的平移规则:上加下减,左减右加得到各个点的对应点的坐标,并利用图形的和差关系求出图形的面积.
命题点一　平面直角坐标系中点的坐标特征
(2025·成都)在平面直角坐标系xOy中,点P(-2,a2+1)所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2024·河北样卷)已知点P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是(　　)
A.a<-3 B.-3C.a>-3 D.a>1
(2025·山东七市)在平面直角坐标系中,将点P(3,4)向下平移2个单位长度,得到的对应点P'的坐标是　　　　.
命题点二　平面直角坐标系中的距离
(2019·河北讲选)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km),笔直铁路经过A,B两地.A,B间的距离为　　　　km.
命题点三　函数及其自变量的取值范围
(2025·云南)函数y=的自变量x的取值范围为(　　)
A.x≠4 B.x≠3
C.x≠2 D.x≠1
(2025·内江)在函数y=中,自变量x的取值范围是(　　)
A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2
(2024·河北样卷)若函数y=则当函数值y=8时,自变量x的值为(　　)
A.± B.4
C.±或 4 D.4或-
命题点四　函数图象的分析与判断
(2023·河北)如图是一种轨道示意图,其中和均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线上,且AM=CN.现有两个机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以大小相同的速度匀速移动,其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x,两个机器人之间距离为y,则y与x关系的图象大致是(　　)
A B C D
(2025·甘肃)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中点.动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到CB的中点时,PD的长为(　　)
A.2 B.2.5 C.2 D.4
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①x<0,y>0　②x<0,y<0　③x>0,y<0　④0　⑤(0,0)　⑥-y2　⑦纵
⑧横　⑨(-a,b)　⑩(-a,-b)
(-b,-a)　(x,y+b)　(x,y-b)
|y|　|x|　　A≥0
即时练
1.(1)0　(2)三　(3)02.(1)(1,4)　(1,-4)　(4,-1)
(-4,-1)　(2)-4　-2
3.(1)2　(2)1　(3)　(4)2　(5)2
4.D
5.解:(1)依题意有2-x≠0,解得x≠2.
(2)依题意有9-3x≥0,解得x≤3.
(3)依题意有1-3x>0且x+2≠0,
解得x<且x≠-2.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)(1,-2)　3
(2)(-1,0)　(3)(0,1)或(2,1)
(4)△ABC1如图所示.
①△A'B'C'如图所示:
②线段BC1扫过的面积为6.
③将△ABC1的每个顶点的横、纵坐标均乘2,新图形相对于原图形横向和纵向均拉伸为原来的2倍.
河北中考·考向体验
1.B　解析:∵-2<0,a2+1>0,∴点P所在的象限是第二象限.故选B.
2.A　解析:∵点P(1-a,2a+6)在第四象限,∴解得
∴不等式组的解集为a<-3.故选A.
3.(3,2)　解析:由题知,将点P(3,4)向下平移2个单位长度后,所得点P'的坐标是(3,2).
4.20　解析:由A,B两点的纵坐标相同可知AB∥x轴,∴AB=12-(-8)=20.
5.D　解析:函数y=,则x-1≠0,即x≠1.故选D.
6.A　解析:函数y=,则x-2≥0,解得x≥2.故选A.
7.D　解析:当x2+2=8时,解得x1=(舍),x2=-.当2x=8时,解得x=4.故选D.
8.D　解析:由题意,得机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,设圆的半径为R,∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R.∵两个机器人速度相同,∴分别同时到达点A,C,∴两个机器人之间的距离y越来越小,故排除A,C.当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时,两个机器人之间的距离是直径2R,保持不变,当两个机器人分别沿C→N和A→M移动时,两个机器人之间的距离越来越大,故排除B.故选D.
9.A　解析:根据题意知,动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动过程中,△APD的面积先增大,再减小.当点P运动到点C时,△APD的面积最大,根据函数图象可得此时△APD的面积为4,如图1,∵点D为边AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∴S△ABC=2S△ADP=8=AC2,可得AC=4.当点P运动到CB的中点时,如图2,∵点D为边AB的中点,∴PD=AC=2.故选A.

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