资源简介

第六讲　相似三角形(含位似)
考点一　比例线段的相关概念及性质
比例线段的相关概念
线段的比 在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比
比例 线段 在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段
比例中项 如果,即b2=①　　　　,就把b叫做a,c的比例中项
黄金 分割 如图,若,则线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,称为黄金比黄金比=≈0.618
比例的性质
基本性质 如果,那么②　　　　;如果ad=bc,那么=③　　　　(b,d≠0)
等比性质 如果=…=(b+d+…+n≠0),那么=④　　　
合比性质 如果,那么;如果,那么
1.已知a,b,c,d四条线段成比例,其中a=3 cm,b=5 cm,c=2 cm,则d=　　　　cm.
2.如果且x+y+z=9,那么x+y-z=　　　　.
3.(冀教九上P61习题A组T3变式)我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,如图,在设计人体雕像时,为了增加视觉美感利用黄金分割法,将雕像AB分为上下两部分,其中C为AB的黄金分割点,≈0.618,已知AB长为2米,则BC的长是　　　　米.
考点二　平行线分线段成比例
定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图1,直线a∥b∥c,则.
4.(人教九下P31练习T1变式)如图,直线AD∥EB∥FC,如果DE=2EF,AC=9,那么AB=　　　　.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图2,在△ABC中,DE∥BC,则或.如图3,DE∥BC,则.
考点三　相似三角形的性质、判定及应用
性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例. (2)相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于⑤　　　　,相似三角形面积的比等于⑥　　　　　　
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似. (2)⑦　　　　对应成比例的两个三角形相似. (3)两边对应成比例且⑧　　　　相等的两个三角形相似. (4)⑨　　　　对应相等的两个三角形相似. (5)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
应用 几何图形的 证明与计算 常见类型是证明线段的数量关系,求线段的长度及图形的面积等
解决实际 问题 常见类型是计算物体的高度和河的宽度等,基本思想是建立相似三角形模型
考点四　相似多边形及其性质
定义 如果两个多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做它们的相似比
性质 (1)相似多边形的对应角⑩　　　　,对应边　　　　. (2)相似多边形对应对角线的比、周长的比等于　　　　. (3)相似多边形面积的比等于　　　　　　　
5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上一点,AD=2,BD=1.
(1)增加一个条件(不添加辅助线):　　　　,使△ADE∽△ACB.
(2)若△ADE∽△ABC,则
△ADE与△ABC周长的比为　　　　,
△ADE与△ABC面积的比为　　　　.
(3)若DE∥BC,则 DE∶BC=　　　　　.
(4)若△ADE与△ABC相似,AC=4,则AE=　　　　　.
6.如图,已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,则x=　　　　,y=　　　　,∠C1=　　　　.
考点五　图形的位似
定义 如果两个图形不仅相似,而且经过每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或同在一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形,对应顶点所在直线的交点称为　　　　,这时的相似比又叫做　　　　
性质 (1)两个图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. (2)对应点的连线都经过　　　　. (3)对应边互相　　　　或在同一条直线上. (4)在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的位似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为　　　　或(-kx,-ky)
位似 作图 (1)确定位似中心. (2)连接图形各关键点与位似中心. (3)依照位似比在所连接的线段(或延长线)上找各关键点变换后的对应点. (4)顺次连接各关键点变换后的对应点,所得图形就是所求作的图形
位似是相似的特例.位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
7.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(8,2),点B的坐标为(4,0),连接AB.以原点O为位似中心,按相似比1∶2把线段AB缩小,则点A的对应点A'的坐标是　　　　　　.
8.如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,与△ABC位似的图形是　　　　(用图中字母表示),△ABC与该三角形的相似比为　　　　.
在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC所在直线上的点,连接DE.
(1)如图1,若D,E分别是AB,AC 的中点,△ADE 的周长为8,则△ABC的周长为　　　　.
(2)将图1中△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示位置,连接BD,CE,则图2中的相似三角形为△ABC∽△　　　　,△ABD∽△　　　　,若BD=6,,则CE=　　　　.
(3)如图3,若∠ADE=∠ACB,且AD=3, AC=5,CE=1,则 AB 的长为　　　　.
(4)如图4,点E与点C重合时,若AC2=AB·AD,且,则S△ABC∶S△ACD=　　　　.
(5)如图5,ED∥BC,,△ABC的面积为18,则△ADE的面积为　　　　.
(6)如图6,,则图6中的相似三角形为　　　∽　　　,若DE=4,则BC的长为　　　　.
(7)如图7,BC∥ED,连接CD,过点A作AF⊥CD于点F,若BC⊥CD,,则的值为　　　　.
(8)在(7)的条件下,小云猜想图7中有4对相似三角形,分别为△ABC∽△ADE,△DBC∽△DAF,△CAF∽△CED,△DCB∽△CDE.
小晶:△DCB∽△CDE不确定是否存在.
小南:那我们用以前学过的反证法来验证一下吧.
下面是证明推理过程,请补充证明过程并在括号中填写依据.
证明:假设存在△DCB∽△CDE,
∴=1(　　　　　　　　　　　),但由题干条件已知　　　　,
∴假设　　　　(填“成立”或“不成立”),
∴　　　　(填“存在”或“不存在”)△DCB∽△CDE.
(1)根据D,E为边的中点,得到DE为三角形的中位线,从而得到△ADE和△ABC相似且相似比为1∶2,从而求出△ABC的周长.
(2)(3)(4)(5)(6)根据具体条件,利用相似三角形的判定定理证出两三角形相似,再应用相似三角形的性质求出结果.
(7)利用DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,从而求出的值,然后再根据BC∥AF得到△AFD∽△BCD,从而求出的值.
(8)根据反证法的步骤和相似三角形的性质可得出结论.
命题点一　比例线段
(2024·河北样卷)已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是(　　)
A. B. C. D.
(2025·兰州)如图,黄金矩形ABCD中,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形,依此作法,四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形,依次以点E,G,L为圆心作,,,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为　　　　.(结果用π表示)
命题点二　平行线分线段成比例
(2025·云南)如图,在△ABC中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且DE∥BC.若,则=(　　)
A. B. C. D.
命题点三　相似三角形的性质和判定
(2025·河北)如图,在五边形ABCDE中,AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是(　　)
A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB
C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
(2022·河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则
(1)AB与CD是否垂直 　　　　.(填“是”或“否”)
(2)AE=　　　　.
(2024·河北)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为　　　　.
(2)△B1C4D3的面积为　　　　.
(2023·河北)如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=2,CD=12,AD=6,∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(00),连接A'P.
(1)若点P在AB上,求证:A'P=AP.
(2)如图2,连接BD.
①求∠CBD的度数,并直接写出当n=180时,x的值;
②若点P到BD的距离为2,求tan∠A'MP的值.
(3)当 0命题点四　相似图形的实际应用
(2025·河北)“这么近,那么美,周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm,笔的实际长度为14 cm,则该化石的实际长度为(　　)
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
(2021·河北)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB=(　　)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
(2025·河北样卷)风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度,通过测量其影子长度的方法进行计算.如图(图中所有的点均在同一平面,太阳光线视为平行光线),线段OA,OB,OC表示三片风叶,OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,某时刻OA,OB的影子恰好重合为线段EF,OD⊥EF于点D,测得DE=36 m,EF=20 m.同一时刻测得高4 m的标杆MN影长为3 m.
(1)直接写出∠ABO的度数及OD的长.
(2)求风叶转动时点B到地面DF的最小距离.
命题点五　图形的位似
(2020·河北)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是(　　)
A.四边形NPMQ B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ D.四边形NHMR
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①ac　②ad=bc　③　④　⑤相似比　⑥相似比的平方　⑦三边　⑧夹角
⑨两角　⑩相等　成比例　相似比
相似比的平方　位似中心　位似比
同一点　平行　(kx,ky)
即时练
1.　解析:∵a,b,c,d四条线段成比例,∴,∴d=(cm).
2.1　解析:令=k(k≠0),∴x=2k,y=3k,z=4k,∵x+y+z=9,∴2k+3k+4k=9,∴k=1,∴x=2,y=3,z=4,
∴x+y-z=2+3-4=1.
3.1.236
4.6　解析:∵AD∥EB∥FC,∴,∵DE=2EF,AC=9,∴,∴AB=6.
5.(1)∠AED=∠B(答案不唯一)
(2)2∶3　4∶9　(3)2∶3　(4)或
解析:(4)若△ADE∽△ABC,则,即,解得AE=.若△ADE∽△ACB,则,即,解得AE=.故AE=或.
6.12　14　75°　解析:∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴∠A=∠A1=70°,∠D=∠D1=85°,∵∠B1=130°,
∴∠C1=360°-∠A1-∠B1-∠D1=75°,∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴,解得x=12,y=14.
7.(4,1)或(-4,-1)　解析:∵点A的坐标为(8,2),点B的坐标为(4,0),以原点O为位似中心,按相似比1∶2把线段AB缩小,∴点A的对应点A'的坐标是或8×,2×,即(4,1)或(-4,-1).
8.△GEH　1∶2
重点难点·一题串讲
例:(1)16　(2)ADE　ACE　
(3)　(4)9∶4　(5)8
(6)△ADE　△ACB　6　(7)
(8)相似三角形的对应边成比例　　不成立　不存在
河北中考·考向体验
1.A
2.(-1)π　解析:∵黄金矩形ABCD中,且AD=2,∴AB=-1,∵四边形ABFE是正方形,∴AE=EF=BF
=AB=-1,∴FC=ED=2-(-1)=3-,∵四边形FGHC是正方形,∴GF=GH=HC=FC=3-,∵CD=AB=-1,
∴HD=CD-CH=(-1)-(3-)=2-4,∵四边形LKDH是正方形,∴LH=HD=2-4,∴“黄金螺线”AFHK的长为π(AE+GH+LH)=π(AE+ED+LH)=π(AD+LH)=π·(2+2-4)=(-1)π.
3.A
4.D　解析:∵AE∥BC,∴∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B,当添加∠B+∠4=180°时,∵∠DCN+∠4=180°,∴∠DCN=∠B,∴∠DCN=∠MAE,∴△MAE∽△DCN,故A选项不符合题意;当添加CD∥AB时,∴∠DCN=∠B,∴∠DCN=∠MAE,
∴△MAE∽△DCN,故B选项不符合题意;当添加∠1=∠4时,∵∠MAE+∠1=180°,∠DCN+∠4=180°,∴∠DCN=∠MAE,∴△MAE∽△DCN,故C选项不符合题意;当添加∠2=∠3时,∵∠AEM+∠2=180°,∠CDN+∠3=180°,
∴∠AEM=∠CDN=∠CND,∴不能判定△MAE∽△DCN,故D选项符合题意.故选D.
5.(1)是　(2)　解析:(1)如图1,
在△ACM和△CFD中,
∴△ACM≌△CFD(SAS).∴∠CAM=∠FCD.∵∠CAM+∠CMA=90°,∴∠FCD+∠CMA=90°.
∴∠CEM=90°.∴AB⊥CD.
(2)如图2,
在Rt△ABH中,AB==2.∵AC∥BD,∴△ACE∽△BDE.∴,即.解得AE=.
6.(1)1　(2)7　解析:(1)如图,连接B1D1,B1D2,B1C2,B1C3,C3D3,
∵△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2=1.∵点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=CC4.∵点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,∴AD=AD1=D1D2=D2D3=DD3.∵点A是线段BB1的中点,∴AB=AB1=BB1.在△AC1D1和△ACD中,
∴△AC1D1≌△ACD(SAS),
∴=S△ACD=1.
(2)在△AB1D1和△ABD中,∴△AB1D1≌△ABD(SAS),∴=S△ABD=1,
∠B1D1A=∠BDA.由(1)可得∠C1D1A=∠CDA,又∵∠BDA+∠CDA=180°,∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,∴C1,D1,B1三点共线,∴=1+1=2.∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,∴=4=4×2=8.
∵AD1=D1D2=D2D3,=1,∴=3=3×1=3.在△AC3D3和△ACD中,=3=,∠C3AD3=∠CAD,∴△AC3D3∽△ACD,∴=2=32=9,∴=9S△ACD=9×1=9.∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴×9=12,
∴-=12+3-8=7.
7.解:(1)证明:∵将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0∴A'M=AM.
∵∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点P,
∴∠A'MP=∠AMP.
又∵PM=PM,
∴当点P在AB上时,
△A'MP≌△AMP(SAS).
∴A'P=AP.
(2)①∵AB=8,AD=6,∠A=90°,
∴BD==10.
∵BC=2,CD=12,
∴BC2+BD2=(2)2+102=144,CD2=122=144.
∴BC2+BD2=CD2.∴∠CBD=90°.
当n=180时,x=13.
解析:如图1,当n=180时,设PM与BD相交于点N,
∵MP平分∠A'MA,∴∠PMA=90°.
∴PM∥AB.∴△DNM∽△DBA.
∴.
∵DM=2,DA=6,
∴.
∴DN=,MN=.
∴BN=BD-DN=.
∵∠PBN=∠DMN=90°,∠PNB=
∠DNM,
∴△PBN∽△DMN.
∴,即.
∴PB=5.
∴x=AB+PB=8+5=13.
②如图2,当点P在AB上时,过点P作PQ⊥BD于点Q,则PQ=2.
∵AD=6,BD=10,∠A=90°,
∴sin∠DBA=,
∴BP=,
∴AP=AB-BP=8-.
∴tan∠A'MP=tan∠AMP=.
如图3,当P在BC上时,则PB=2,过点P作PE⊥AB交AB的延长线于点E,延长MP交AB的延长线于点H.
∵∠PEB=∠CBD=∠DAB=90°,
∴∠EPB=90°-∠PBE=∠DBA.
∴△PEB∽△BAD.
∴,即.
∴PE=,EB=.
∴AE=AB+EB=8+.
∵PE⊥AB,DA⊥AB,
∴PE∥AD.∴△HPE∽△HMA.
∴.即.
解得HE=.
∴tan∠A'MP=tan∠AMP=
tan∠EPH=.
综上所述,tan∠A'MP的值为或.
(3)当0解析:如图4,过点A'作IK∥AD交AB于点I,过点M作MK⊥IK于点K,则A'I为点A'到直线AB的距离,设A'I=y.
易得△A'IP∽△MKA',
∴,
即,由,可得IP=(4-y)=x-.
由,可得,
化简得16y+x2y=8x2,即
(x2+16)y=8x2,
∴y=.
如图5,当A'P⊥BA时,四边形A'PAM为正方形,
A'到直线AB的距离为A'P=MA=4,此时x=4.
当x=4时,y==4,满足题意.
如图6,过点A'作A'I⊥AB于点I,过点M作MK⊥A'I于点K,
则A'I为点A'到直线AB的距离,设A'I=y.
易得△A'IP∽△MKA',
∴,
即,由,可得IP=(y-4)=-x.
由,可得,
化简得16y+x2y=8x2,
即(x2+16)y=8x2,
∴y=.
综上所述,当08.C　
9.C　解析:如图1,过点O作OM⊥CD,垂足为M,如图2,过点H作HN⊥AB,垂足为N.∵CD∥AB,
∴△CDO∽△ABH,相似比为.∵OM=15-7=8(cm),HN=11-7=4(cm),∴.∴AB=3 cm.故选C.
10.解:(1)∠ABO=30°,OD=48 m.
解析:如图,
∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠ABO=∠BAO==30°.
由题意得OE∥NG,∠ODE=∠NMG=90°,∴∠OED=∠NGM,
∴△ODE∽△NMG,
∴,∴,
∴OD=48 m.
(2)过点O作OH⊥AB于点H,过点E作EI⊥AF于点I,如图,
在Rt△NMG中,由勾股定理得NG=5 m.
由题意得AF∥NG,∴∠EFI=∠NGM,
又∠EIF=∠NMG=90°,
∴△EIF∽△NMG,
∴,∴,
∴EI=16 m,
由题意得OE∥AF,而OH⊥AF,EI⊥AF,
∴OH=EI=16 m,
∵在Rt△OBH中,∠ABO=30°,
∴OB=2OH=32 m,
∴风叶转动时点B到地面DF的最小距离为OD-OB=48-32=16(m).
11.A

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