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第二讲　三角形的基本性质
考点一　三角形的分类
定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形.
分类
(1)按边分
(2)按角分
1.下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①等腰三角形是等边三角形;
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;
③等腰三角形至少有两边相等;
④三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
考点二　三角形的边和角
三角形的边
(1)③　　　　　　<第三边<④　　　　　　.
(2)三角形具有⑤　　　　性.
三角形的角
(1)内角和定理:⑥　　　　　　　　.
(2)外角的性质:
三角形的一个外角⑦　　　　与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角⑧　　　　与它不相邻的任意一个内角.
(3)外角和定理:三角形的外角和等于⑨　　　　.
在同一个三角形中,等边对等角,大边对大角,小边对小角.
2.如图,在△ABC中,
(1)若AB=2,AC=3,则BC边长度的取值范围是　　　　.
(2)若∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,则∠B=　 ,∠ACD=　　　　.
考点三　三角形中的重要线段
名称 图形 性质 拓展
AD是∠BAC的平分线,则∠1=⑩　　　　= ∠BAC 内心:三角形三条角平分线的交点
点D是BC的中点,则BD=　　　　　　 =BC,S△ABD=S△ACD 重心:三角形三条中线的交点
AD是BC边上的高,则AD⊥　　　　,即∠ADB=∠ADC=90° 垂心:三角形三条高线的交点
点D,E分别是AB,AC的中点,则　　　　 ∥BC且DE=　　　　BC 三条中位线所形成的三角形的面积是原三角形面积的
3.如图,在△ABC 中,CD,CF分别是AB 边上的高线、中线,CE是∠ACB的平分线.
(1)若∠A=70°,∠B=30°,则∠BCE=　　　,∠DCE=　　　.
(2)若AB=6,CD=4,BF=6EF,则S△ABC=　　　　,
S△BCF=　　　　,S△CEF= 　　　　.
4.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若EF=2,则AD的长为　　　　.
已知△ABC.
(1)AB=5,AC=3.
①如图1,若△ABC的周长为奇数,则BC的最大值是　　　　;
②如图2,若 AD 是△ABC的中线,则AD的取值范围是　　　　.
(2)如图3,若AD,AF分别是△ABC的角平分线和高,∠C=60°,∠B=40°,则∠DAF的度数为　　　　.
(3)AD,AF分别是△ABC的中线和高.
①如图4,若△ABC的面积为80,BD=10,则AF的长为　　　　;
②如图5,BE是△ABD的角平分线,∠BED=40°,∠BAD=25°,取AC的中点G,连接DG,DG与AF有怎样的数量关系
(4)已知AD为△ABC的角平分线,且DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
①如图6,若AB+AC=10,DE=3,则S△ABC=　　　　;
②如图7,连接EF,与AD相交于点O,求证:AD垂直平分EF.
(1)①根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可得BC的取值范围,再根据△ABC的周长为奇数求解即可;②可以利用“倍长中线法”把AD延长到E,使DE=AD,连接BE,利用△ADC和△EDB全等,可得到AE的取值范围,从而确定出AD的取值范围.
(2)由三角形内角和定理可得∠BAC的度数,然后根据角平分线、高的性质得到∠BAD,∠BAF的度数,再根据∠DAF=∠BAF-∠BAD求解即可.
(3)①根据中线的性质及三角形的面积公式可求出AF的长;②利用30°角所对的直角边等于斜边的一半,以及DG是△ABC的中位线,可得DG=AF.
(4)①根据△ABC的面积等于△ABD与△ADC的面积之和,再结合角平分线的性质得到DE=DF=3,即可求解;②利用△AED与△AFD全等得到AE=AF,然后再结合DE=DF,从而得到AD是EF的垂直平分线.
命题点一　三角形的稳定性
(2018·河北)下列图形具有稳定性的是(　　)
A　 B　 C　 D
命题点二　三角形的内角与外角
(2023·河北)如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边三角形EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点 B,D,E,G 在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β等于(　　)
A.42° B.43° C.44° D.45°
(2021·河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D应　　　　(填“增加”或“减少”)　　　　°.
命题点三　三角形三边的关系
(2022·河北)平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是(　　)
A.1 B.2 C.7 D.8
(2021·河北)如图,直线l,m相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是(　　)
A.0 B.5 C.6 D.7
命题点四　三角形中的重要线段
(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的(　　)
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
(2025·广东)如图,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=70°,则∠EDF=(　　)
A.20° B.40° C.70° D.110°
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①等边三角形　②直角三角形　③任意两边之差　④任意两边之和　⑤稳定　⑥三角形的内角和等于180°　⑦等于　⑧大于
⑨360°　⑩∠2　DC　BC　DE　
即时练
1.③④
2.(1)1解析:(1)由题意得3-2(2)∵∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠B+10°+∠B+50°=180°,解得∠B=60°.∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACD=180°-50°=130°.
3.(1)40°　20°　(2)12　6　1
解析:(1)∵∠A=70°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-30°=80°.∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠BCE=∠ACE=×80°=40°.∵∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=40°-20°=20°.
(2)∵CD是AB边上的高线,AB=6,CD=4,∴S△ABC=AB·CD=×6×4=12.
∵CF是AB边上的中线,∴S△BCF=S△ABC=×12=6.∵BF=6EF,∴S△CEF=S△BCF=×6=1.
4.4　解析:∵E,F分别是BD,BC的中点,∴EF是△BCD的中位线,∴DC=2EF=4,
∵BD是△ABC的中线,∴AD=DC=4.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)①7　②1(3)①8
②∵∠BED=∠ABE+∠BAE,
∠BED=40°,∠BAD=25°,
∴∠ABE=15°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABF=30°.
又∵AF是△ABC的高,
∴AB=2AF.
∵D是BC的中点,G是AC的中点,
∴DG是△ABC的中位线,
∴AB=2DG.∴DG=AF.
(4)①15
②证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,即DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE=AF.
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
又∵DE=DF,
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
河北中考·考向体验
1.A
2.C　解析:如图,∵∠ADE=146°,∴∠ADB=180°-∠ADE=34°.
∵∠α=∠ADB+∠AHD,∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16°.∵l1∥l2,∴∠GIF=∠AHD=16°.
∵∠EGF=∠β+∠GIF,∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°.故选C.
3.减少　10　解析:如图,延长EF交CD于点G.∵∠A=50°,∠B=60°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°=∠DCE.
∴∠DGF=∠GCE+∠E=70°+30°=100°.∵∠EFD=∠D+∠DGF=∠D+100°=110°,∴∠D=10°.∴∠D应减少10°.
4.C　解析:如图,设这个凸五边形为ABCDE,连接AC,CE,并设AC=a,CE=b,在△ABC中,5-15.B　解析:如图,连接OP1,OP2,P1P2.
∵点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,∴OP1=OP=2.8,OP2=OP=2.8.
∵在△OP1P2中,OP1-OP26.B
7.C　解析:∵点D,E分别是BC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AC,∴∠DEB=∠A=70°,同理可得DF∥AB,∴∠EDF=∠DEB=70°.故选C.

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