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第三讲　全等三角形
考点一　全等三角形的定义及性质
定义 能够完全重合的三角形叫做全等三角形
性质1 全等三角形的对应边①　　　　,对应角②　　　　
性质2 全等三角形的周长③　　　　,面积④　　　　
性质3 全等三角形的对应中线、高、角平分线、中位线都⑤　　　
记两个图形全等时,要把对应顶点的字母写在对应位置上.
1.如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,则∠DFE的度数为　　　,EC的长为　　　.
考点二　全等三角形的判定
项目 判定方法 文字叙述 图形
边边边 (SSS) 三边对应相等的两个三角形全等
边角边 (SAS) 两边和它们的⑥　　　　角对应相等的两个三角形全等
角边角 (ASA) 两角和它们的⑦　　　　边对应相等的两个三角形全等
角角边 (AAS) 两角和其中一角的⑧　　　　边对应相等的两个三角形全等
斜边、 直角边 (HL) 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 (注:一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形)
常见全等三角形的简单模型
1.平移型
【特点】沿某一直线平移其中一个三角形,可与另一个三角形重合.
【结论】△ABC≌△EDF(图1).
2.轴对称型
【特点】所给图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.
【结论】△ABC≌△ABD(图2);△ABC≌△CDA,△ADO≌△CBO(图3);△ABE≌△ACD,△BOD≌△COE(图4).
3.旋转型
【特点】(1)共顶点,绕该顶点旋转可得两三角形重合.
(2)不共顶点,绕某一点旋转后,再平移可得两三角形重合.
【结论】△ABC≌△ADE(图5,图6);△ABC≌△DEF(图7).
2.(北师七下P111复习题T9变式)如图,已知AB∥ DE,AB=DE,请你按下列要求添加一个条件,使△ABC≌△DEF.
(1)若利用“SAS”判定,则添加的条件可以是　　　　.
(2)若利用“AAS”判定,则添加的条件可以是　　　　　　.
(3)若利用“ASA”判定,则添加的条件可以是　　　　　　.
3.(冀教八上P56复习题A组T3变式)如图,两车从路段AB的两端同时出发,沿平行路线以相同的速度行驶,相同时间后分别到达C,D两地,CE⊥AB,DF⊥AB,C,D两地到路段AB的距离相等吗 为什么
如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD与BE交于点O,且OB=OC,连接AO.
(1)下面是黑板上给出的问题及不完整的证明过程,请填写横线上的内容.
求证:△OBD≌△OCE.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°.
在△OBD和△OCE中,
∴△OBD≌△OCE(　　　　).
(2)求证:△AOD≌△AOE.
(3)求证:△ABE≌△ACD.
(4)求证:△ABO≌△ACO.
(1)结合图形可知在△OBD和△OCE中,由垂直可得∠ODB=∠OEC=90°,由对顶角的性质可得∠DOB=∠EOC,再结合已知OB=OC,从而利用AAS可判定两个三角形全等.
(2)由(1)可得OD=OE,且△AOD和△AOE均为直角三角形,从而利用HL可判定两个三角形全等.
(3)由(2)可得AD=AE,由(1)已知∠BEA=∠CDA=90°,且∠BAE=∠CAD,从而利用ASA可判定两个三角形全等.
(4)由前面的结论可得∠BAO=∠CAO,AB=AC,再利用SAS可判定两个三角形全等.
命题点　全等三角形的性质与判定
(2024·河北样卷)如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE D.∠ABC=∠AED
(2023·河北)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB= A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠C=n°,则∠C'
=(　　)
A.30° B.n° C.n°或180°-n° D.30°或150°
(2018·河北)如图,∠A=∠B=50°,P为AB的中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.
(1)求证:△APM≌△BPN.
(2)当MN=2BN时,求α的度数.
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.
(2025·河北)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
(1)求证:△ABC≌△AFD.
(2)若BE=FE,求证:AC⊥BD.
(2019·河北)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心.
(1)求证:∠BAD=∠CAE.
(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值.
(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC【详解答案】
教材考点·深度梳理
①相等　②相等　③相等　④相等
⑤相等　⑥夹　⑦夹　⑧对
即时练
1.100°　2
2.(1)BC=EF(答案不唯一)
(2)∠ACB=∠F(答案不唯一)
(3)∠A=∠D(答案不唯一)
3.解:C,D两地到路段AB的距离相等.
理由:∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠AEC=∠BFD=90°.
∵AC∥BD,∴∠A=∠B.
∵两车行驶的速度、时间相同,
∴AC=BD.
在△AEC和△BFD中,
∴△AEC≌△BFD(AAS),
∴CE=DF,
∴C,D两地到路段AB的距离相等.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)∠DOB=∠EOC　AAS
(2)证明:由(1)知△OBD≌△OCE,
∴OD=OE.
又∵∠ODB=∠OEC=90°,
∴∠ODA=∠OEA=90°.
在Rt△AOD和Rt△AOE中,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL).
(3)证明:由(2)知Rt△AOD≌Rt△AOE,
∴AD=AE.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
(4)证明:由(2)知△AOD≌△AOE,
∴∠DAO=∠EAO.
由(3)知△ABE≌△ACD,
∴AB=AC.
在△ABO和△ACO中,
∴△ABO≌△ACO(SAS).
河北中考·考向体验
1.B
2.C　解析:过点A作AD⊥BC于点D,过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'.∵∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,∴AD=A'D'=3.当B,C在点D的两侧,B',C'在点D'的两侧时,如图,
∵AD=A'D'=3,AC=A'C'=4,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴∠C'=∠C=n°.当B,C在点D的两侧,B',C'在点D'的一侧时,如图,
∵AD=A'D'=3,AC=A'C'=4,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴∠A'C'D'=∠C=n°,∴∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°.综上,∠C'为n°或180°-n°.故选C.
3.解:(1)证明:∵P是AB的中点,
∴PA=PB.
在△APM和△BPN中,
∴△APM≌△BPN(ASA).
(2)由(1)得△APM≌△BPN,
∴PM=PN,∴MN=2PN.
∵MN=2BN,∴BN=PN.
∴α=∠B=50°.
(3)α的取值范围为40°<α<90°.
4.证明:(1)∵∠BAF=∠EAD,
∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF,
即∠BAC=∠FAD,
在△ABC和△AFD中,
∴△ABC≌△AFD(ASA).
(2)由(1)得△ABC≌△AFD,
∴AB=AF,
∵BE=FE,
∴AC⊥BF,即AC⊥BD.
5.解:(1)证明:在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
(2)∵AD=6,AP=x,∴PD=6-x.
当AD⊥BC时,AP=AB=3最小,此时PD=6-3=3,即PD的最大值为3.
(3)m=105,n=150.
解析:如图,设∠BAP=α,
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°-α.
∵I为△APC的内心,∴AI平分∠PAC,CI平分∠PCA,∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA,
∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)=180°-(∠PAC+∠PCA)=180°-(90°-α+60°)=α+105°,
∵0°<α<90°,∴105°<α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,∴m=105,n=150.

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