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第四讲　等腰三角形
考点一　等腰三角形
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形
性质 (1)两腰相等.如图,AB=①　　　　. (2)两个底角相等(简称“等边对②　　　　”). 如图,已知AB=AC,则∠B=∠③　　　　. (3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的④　　　　重合(简称“三线合一”). 如图,已知AB=AC,AD⊥BC,则BD=⑤　　　　,∠BAD=∠⑥　　　　. (4)是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴. 如图,△ABC的对称轴是⑦　　　　　
判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义). (2)等角对等边.如图,若∠B=∠C,则AB=⑧　　　
面积公式 S△ABC=BC·⑨　　　
(1)等腰三角形两腰上的高、中线都分别相等.
(2)等腰三角形两底角的平分线相等.
(3)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.
(4)等腰三角形顶角处的外角平分线与底边平行.
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)若∠B=50°,则∠C =　　　　.
(2)若∠BAD=20°,则∠BAC =　　　　.
(3)若AB=5,BC=6,则AD的长为　　　　.
2.(人教八上P79练习T1变式)如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有　　　　
个.
考点二　等边三角形
定义 三边都相等的三角形是等边三角形
性质 (1)三边都相等,如图,AB=⑩　　　　=　　　　. (2)三个内角都相等,并且每一个角都等于　　　　°. 如图,∠BAC=∠　　　　=∠　　　　=　　　　°. (3)是轴对称图形,共有　　　　条对称轴. (4)具有一般等腰三角形的所有性质
判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义). (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 如图,若∠BAC=∠B=∠C,则△ABC是　　　　三角形. (3)有一个角是　　　　的等腰三角形是等边三角形. 如图,若AB=AC,∠BAC=　　　　°,则△ABC是等边三角形
面积公式 S△ABC=ah=　　　　a2
3.如图,已知△ABC是等边三角形.
若BD是等边三角形ABC的角平分线,AB=10,则CD=　　　　,S△ABC=　　　　.
4.如图,已知△ABC与△CDE都是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,AD与BE相交于点G,BE与AC相交于点F,AD与CE相交于点H,则下列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB=60°;③BF=AH;④△CFH是等边三角形,其中正确的是　　　　.(填序号)
如图,在△ABD与△BCD中,AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°,过点C作CE∥BA,交AD于点E,交BD于点F,连接AC,交BD于点H.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由.
(2)求证:AC平分∠DAB.
(3)若AD=12,CE=8,求CF的长.
(1)先证明△ABD是等边三角形,可得∠ABD=∠ADB=60°,由平行线的性质可得∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,可得结论.
(2)根据AB=AD,CB=CD,推出直线AC是线段BD的垂直平分线,再根据等腰三角形的性质即可得证.
(3)由等边三角形的性质和平行线的性质可得AE=CE=8,即可求解.
命题点一　等腰三角形的性质与判定
(2018·河北)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是(　　)
A.作∠APB的平分线PC,交AB于点C
B.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BC
C.取AB中点C,连接PC
D.过点P作PC⊥AB,垂足为C
命题点二　等边三角形的性质与判定
(2025·广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD=　　　　.
(2025·南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是　　　　.
(2025·河北样卷)日晷是我国古代使用的一种计时仪器,某日晷底座的正面与晷面在同一平面上.如图,☉O表示日晷的晷面圆周,日晷底座的底边AB在水平线l上,△OAB为等边三角形,OA,OB与☉O分别交于P,Q两点.点C,D是☉O上两点,CD∥AB,过O作OE⊥AB于点E,交CD于点F,交☉O于点M.已知CD=60 cm,FM=30 cm,ME=20 cm.
(1)求☉O的半径.
(2)求图中阴影部分的面积.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①AC　②等角　③C　④高　⑤DC
⑥CAD　⑦AD所在直线　⑧AC
⑨AD　⑩AC　BC　60　ABC
ACB　60　3　等边　60°
60　
即时练
1.(1)50°　(2)40°　(3)4
2.3　解析:∵∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴△BDC为等腰三角形.
∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠ABD=36°,∴∠ABD=∠A,∴BD=AD,∴△ABD为等腰三角形.
∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°,∴∠ABC=∠C,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.
3.5　25
4.①②③④　解析:∵△ABC与△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),故①正确;∴∠CAD=∠CBE,
∴∠AGB=∠AFB-∠CAD=∠AFB-∠CBE=∠ACB=60°,故②正确;
∵点B,C,D在同一条直线上,∴∠ACH=180°-∠ACB-∠ECD=60°,∴∠BCF=∠ACH,
在△BCF和△ACH中,
∴△BCF≌△ACH
(ASA),∴BF=AH,故③正确;∵CF=CH,∠FCH=60°,∴△CFH是等边三角形,故④正确.故正确的结论是①②③④.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)△DEF是等边三角形.理由如下:
∵AB=AD,∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,
∵CE∥AB,
∴∠CED=∠DAB=60°,
∠DFE=∠ABD=60°,
∴∠CED=∠ADB=∠DFE,
∴△DEF是等边三角形.
(2)证明:∵AB=AD,CB=CD,
∴AC是BD的垂直平分线,
即AC⊥BD,
∵AB=AD,
∴AC平分∠DAB.
(3)∵AC平分∠DAB,
∠DAB=60°,
∴∠BAC=∠DAC=30°,
∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°,
∴AE=CE=8,
∴DE=AD-AE=12-8=4,
∵△DEF是等边三角形,
∴EF=DE=4,
∴CF=CE-EF=8-4=4.
河北中考·考向体验
1.B
2.-1　解析:延长AD交BC于点E,如图,∵AB=CA,BD=CD,∴AE⊥BC,BE=CE,
∵AB=BC=CA=2,∴BE=CE=1,
∴AE=,DE==1,∴AD=AE-DE=-1.
3.　解析:如图,连接OD,由作图可得OC=OD=CD,
∴△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°,∴OE=OC×tan∠OCD=1×.
4.解:(1)∵OE⊥AB,CD∥AB,
∴OE⊥CD,
∴DF=CF=CD,
∵CD=60 cm,
∴DF=30 cm.
如图,连接OD,
设☉O的半径OD=OM=r cm,
∴OF=OM-FM=(r-30)cm,
在Rt△ODF中,r2=(30)2+(r-30)2,解得r=60,
即☉O的半径为60 cm.
(2)∵△OAB为等边三角形,OE⊥AB,
∴BE=AB.
∵OE=OM+ME=60+20=80(cm),
在Rt△BOE中,
AB2=802+,
解得AB=(负值舍去),
∴S△OAB=AB·OE=×80=(cm2).
∵S扇形POQ==600π(cm2),
∴S阴影=S△OAB-S扇形POQ
=cm2.

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