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第五讲　直角三角形
考点一　直角三角形的性质与判定
性质 1.直角三角形的两个锐角①　　　　. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的②　　　　. 3.30°角所对的直角边等于斜边的③　　　　. 4.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么④　　　　　. 三个内角分别为30°,60°和90°的直角三角形的三边之比为1∶∶2
判定 1.有一个角等于⑤　　　　的三角形是直角三角形(定义). 2.如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法,应先确定最长边,然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方
面积 S=ab=ch,其中a,b为两条直角边,c为斜边,h为斜边上的高. 已知直角三角形的三边,求斜边上的高时,常用等面积法,利用公式h=进行求解
1.如图,已知在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.
(1)若∠B=40°,则∠DAC=　　　　.
(2)若AB=4,AC=3,则AD=　　　　.
(3)若∠B=30°,AB=6,则BC=　　　　.
(4)若点E是BC 的中点,AD=DE =2,则BC=　　　　.
考点二　等腰直角三角形的性质与判定
性质 1.等腰直角三角形的两直角边相等. 2.等腰直角三角形的两锐角相等且都等于45°
判定 1.有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形. 2.有两个角是⑥　　　　的三角形是等腰直角三角形. 3.有一个角是⑦　　　　的直角三角形是等腰直角三角形. 4.有两边⑧　　　　的直角三角形是等腰直角三角形
2.若三角形的三个内角的度数比为1∶1∶2,则这个三角形是一个　　　　　三角形.
(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.若AD=1,BE=3,则DE=　　　　.
(2)如图2,在△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC边的中点,点M在AB边上,点N在BC边上.若DM⊥DN,求证:AM2+CN2=MN2.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,BC=BE,BA=BD,∠EBC=∠DBA=90°,连接CE,ED,DA,延长CB交ED于点F,点P为AC的中点,连接PB.若BP=5,BF=3,求△EBD的面积.
(1)证明△ACD和△CBE全等得AD=CE=1,CD=BE=3,由此即可得出DE的长.
(2)延长MD到点K,使DK=DM,连接CK,NK,证明△CDK和△ADM全等得CK=AM,证明DN是线段MK的垂直平分线得MN=KN,再证明∠NCK=90°,然后在Rt△NCK中由勾股定理即可得出结论.
(3)过点D作DH⊥BF,交BF的延长线于点H,证明△ABC和△BDH全等得BC=DH,AC=BH,进而得BE=DH,由此可证明△BEF和△HDF全等得EF=DF,BF=HF=3,则AC=BH=6,继而得PC=AC=3,再由勾股定理求出BC=BE=4得S△BEF=BE·BF=6,然后根据EF=DF得S△BDF=S△BEF=6,由此即可得出△EBD的面积.
命题点一　直角三角形的性质与判定
(2025·陕西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(2020·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是(　　)
A.1,4,5 B.2,3,5
C.3,4,5 D.2,2,4
(2023·河北)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,则S△ABC=(　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
命题点二　等腰直角三角形的性质与判定
(2022·河北)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=,则正确的是(　　)
A.只有甲答得对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整
(2020·河北)如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6 km到达l;从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(　　)
A.从点P向北偏西45°走3 km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏东45°
D.从点P向北走3 km后,再向西走3 km到达l
(2025·广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为　　　　.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①互余　②一半　③一半　④a2+b2=c2
⑤90°　⑥45°　⑦45°　⑧相等
即时练
1.(1)40°　(2)　(3)4　(4)4
解析:(1)∵∠BAC=90°,∠B=40°,∴∠C=90°-40°=50°.∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-50°=40°.
(2)∵AB=4,AC=3,∴根据勾股定理可得,BC=5,由AB·AC=BC·AD可得,3×4=5AD,∴AD=.
(3)在Rt△ABC中,∵∠B=30°,∴BC=2AC,设AC=x,则BC=2x,∴根据勾股定理可得x2+62=(2x)2,解得x=2(负值舍去),∴BC=4.
(4)在Rt△ADE中,根据勾股定理可得,AE==2,根据斜边上的中线等于斜边的一半可得,BC=2AE=4.
2.等腰直角　解析:∵三角形的三个内角的度数比为1∶1∶2,∴设该三角形的三个内角分别为α,α,2α,根据三角形内角和定理得α+α+2α=180°,解得α=45°,∴该三角形的三个内角的度数分别为45°,45°,90°,∴该三角形是一个等腰直角三角形.
重点难点·一题串讲
例:解:(1)4
(2)证明:延长MD到点K,使DK=DM,连接CK,NK,如图所示.
∵点D是AC边的中点,
∴CD=AD,
在△CDK和△ADM中,
∴△CDK≌△ADM(SAS),
∴CK=AM,∠3=∠A,
∵DM⊥DN,DK=DM,
∴DN是线段MK的垂直平分线,
∴MN=KN.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∴∠A+∠BCA=90°,
∵∠3=∠A,
∴∠3+∠BCA=90°,
即∠NCK=90°,
∴△NCK是直角三角形.
在Rt△NCK中,由勾股定理得
CK2+CN2=KN2,
∵CK=AM,MN=KN,
∴AM2+CN2=MN2.
(3)过点D作DH⊥BF,交BF的延长线于点H,如图所示,
则∠H=90°.
∵∠BCA=90°,
∴∠BCA=∠H=90°,
∴∠2+∠ABC=90°,
∵BA=BD,∠DBA=90°,
∴∠1+∠ABC=90°,
∴∠2=∠1.
在△ABC和△BDH中,
∴△ABC≌△BDH(AAS),
∴BC=DH,AC=BH.
∵∠EBC=90°,BC=BE,
∴∠EBF=∠H=90°,BE=DH,
在△BEF和△HDF中,
∴△BEF≌△HDF(AAS),
∴EF=DF,BF=HF,
∵BF=3,∴BF=HF=3,
∴AC=BH=BF+FH=6,
∵点P为AC的中点,
∴PC=AC=3.
在Rt△BCP中,BP=5,
由勾股定理得BC==4,
∴BC=BE=4,
在Rt△BEF中,BF=3,
∴S△BEF=BE·BF=×4×3=6,
∵EF=DF,∴S△BDF=S△BEF=6,
∴S△EBD=S△BDF+S△BEF=12.
河北中考·考向体验
1.C　解析:∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴CD=AB,∴CD=AD=BD,∴∠B=∠BCD,∵AD=CD,DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE,∵∠A+∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,∴题图中与∠A互余的角共有4个.故选C.
2.B　解析:根据题意,设三个正方形的边长分别为a,b,c.由勾股定理,得a2+b2=c2.A.∵1+4=5,∴两直角边的长分别为1和2,则所围成三角形的面积为×1×2=1.B.∵2+3=5,∴两直角边的长分别为和,则所围成三角形的面积为.C.∵3+4≠5,∴不符合题意.D.∵2+2=4,∴两直角边的长分别为和,则所围成三角形的面积为=1,∵>1,∴B选项符合题意.故选B.
3.B　解析:∵S正方形AMEF=16,∴AM==4.∵在Rt△ABC中,点M是斜边BC的中点,∴BC=2AM=8.
∴AC==4.
∴S△ABC=×AB×AC=×4×4=8.故选B.
4.B　解析:过点C作CA'⊥BM于点A',在A'M上取A'A″=BA',如图,
∵∠B=45°,BC=2,CA'⊥BM,
∴△BA'C是等腰直角三角形,
∴A'C=BA'=,∵A'A″=BA',∴A″C==2,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,通过观察得知点A在点A'时,只能作出唯一一个△ABC,此时d=,即丙的答案;点A在射线A″M上时,只能作出唯一一个△ABC,此时d≥2,即甲的答案;点A在线段BA″(不包括点A'和点A″)上时,能作出两个△ABC(二者的AC边关于A'C对称).故选B.
5.A　解析:过点P作PC⊥AB于点C,如图,根据题意得△PAB是腰长为6 km的等腰直角三角形,由勾股定理,得AB==6 km,∵PC⊥AB,∴PC=3 km,则从点P向北偏西45°走3 km到达l,故选项A错误;公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°,故选项B,C正确;取PB的中点D,连接CD,则PD=PB=3 km,从点P向北走3 km后到达点D,此时CD为△PAB的中位线,则CD=AP=3 km,故再向西走3 km到达l,故选项D正确.故选A.
6.2　
解析:如图,过点A作AH⊥BC于点H,
∴∠AHB=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,∴△ABH是等腰直角三角形,∴AH=AB=×4=2,∵AD≥AH,∴AD的最小值为2.

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