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第一讲　几何初步、相交线与平行线(含命题)
考点一　直线和线段
两个基 本事实 1.直线的基本事实:经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线). 2.线段的基本事实:两点之间的所有连线中,线段最短(两点之间,线段最短)
两点间 的距离 连接两点的线段的长度
线段的 和与差 如图,在线段AC上取一点B,则有: AC=AB+①　　　　; AB=②　　　　-BC; BC=AC-③　　　　　　 　　　
线段的 中点 如图,点M把线段AB分成两条线段AM与MB,如果AM=MB,那么点M叫做线段AB的中点,即有AM=MB=④　　　
1.(1)将一根木条固定在墙上至少需要两枚钉子,运用的数学原理是　　　　　　　　.
(2)数学源于生活,寓于生活,用于生活.在修建公路时,有时需将弯曲的道路改直,其依据是　　　　　　　　.
2.如图,点C是线段AB上一点,点D是线段BC的中点,若线段AB=8 cm,AC=2 cm,则线段CD的长为　　　　cm.
考点二　角及角平分线
角的分类及关系
角的分类 若0°<α<90°,则α为锐角; 若α=⑤　　　　,则α为直角; 若⑥　　　　　　,则α为钝角; 若α=180°,则α为平角; 若α=360°,则α为周角
度、分、 秒的换算 1周角=360°,1平角=180°, 1°=60',1'=60″, 角的度、分、秒是60进制
两角间 的关系 互余 (1)如果α+β=⑦　　　　,那么α与β互为余角. (2)性质:同角(或等角)的余角⑧　　　
互补 (1)如果α+β=⑨　　　　,那么α与β互为补角. (2)性质:同角(或等角)的补角⑩　　　
角平分线的性质及判定
(1)定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
(2)定理:角平分线上的点到角的两边的距离　　　　.
(3)逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.(1)已知∠1=85°46',则∠1的补角的度数是　　　　.
(2)如图,点A,O,B在一条直线上,且∠AOC=50°,OD平分∠AOC,则∠BOD=　　　　.
(3)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足是E.若DE=3,则CD的长为　　　　.
考点三　相交线
三线八角
对顶角 ∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与　　　　. 性质:对顶角　　　
邻补角 ∠1和∠3都与∠2,∠4互为邻补角; ∠5和∠7都与∠6,∠8互为邻补角. 性质:互为邻补角的两个角之和等于　　　
同位角 ∠1与　　　　,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7
内错角 ∠2与　　　　,∠3与∠5
同旁内角 ∠2与∠5,∠3与　　　
垂线及性质
定义 两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足
性质1 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　　　　最短
点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　　　
逆定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的　　　　　
4.(人教七下P7练习T1变式)如图,下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角;⑤∠2与∠3是对顶角.其中正确的是　　　　.(填序号)
5.(人教八上P65习题13.1 T6变式)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别与AB,BC交于点D,E,AC的垂直平分线FG分别与BC,AC交于点F,G,若BC=18,则△AEF的周长是　　　　.
考点四　平行线的判定与性质
平行线的判定与性质
平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
平行公理 的推论 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即如果a∥c,b∥c,那么　　　
平行线 的判定 与性质 1.同位角　　　 两直线平行. 2.内错角　　　 两直线平行. 3.同旁内角　　　 两直线平行
平行线间 的距离 定义 从一条平行线上任意一点向另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线间的距离
性质 两条平行线间的距离处处相等
平行线求角度的辅助线作法
作法1: 作平行线
作法2: 从拐点处 延长相交
角度关系 ∠ABE+∠DCE= ∠BEC ∠ABE+∠DCE+ ∠BEC=360° ∠ABE-∠DCE= ∠BEC ∠ABE-∠DCE= ∠BEC
6.(冀教七下P52习题B组T2变式)如图.
(1)若AD∥BC,∠B=30°,则∠BAD=　　　　.
(2)若∠CAD=∠C,则AD ∥　　　　.
(3)在(2)的基础上,若AD是∠EAC的平分线,∠C=30°,则∠B=　　　　.
7.已知直线l1∥l2,将含30°角的直角三角板按如图所示摆放.若∠1=120°,则∠2=　　　　.
考点五　命题、定理与反证法
命题 判断一件事情的语句,叫做命题.命题分为题设和结论两部分
真命题 如果题设成立,那么结论一定成立的命题叫做真命题
假命题 题设成立时,不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.判断一个命题为假命题,只要找出一个符合命题题设,不符合命题结论的例子即可
互逆 命题 如果一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,那么我们把这两个命题称为互逆命题.在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是原命题的逆命题
定理 经过证明的真命题称为定理.对于定理,它是经过证明的真命题,但并不是所有的真命题都是定理.定理可以作为判定其他命题真假的依据
互逆 定理 如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理
反证法 先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的概念、基本事实、定理、性质或题设条件相矛盾的结果.因此,假设是错误的,原结论是正确的.这种证明命题的方法叫做反证法
8.(人教七下P21练习T1变式)已知命题“同位角相等”.
(1)命题改写成“如果……,那么……”的形式为　　　　　　　　　　　　　　,题设为　　　　　　,结论为　　　　　　,该命题为　　　　命题.
(2)“同位角相等”的逆命题为　　　　　　　　　　,该命题为　　　　命题.
9.(人教七下P22练习T2变式)为说明“对于任何实数a,a2>a”是假命题,举一个反例,a的值可以是　　　　.
10.用反证法证明命题“已知a,b,c是三条不同的直线,如果a∥b,a与c相交,那么b与c相交”是真命题时,第一步应假设　　　　.
(1)如图,线段AB上有M,N两点,点M总在点N的左侧,且总有AM=BN.若P是AM的中点,Q是BN的中点,AN=18,MN=12,则PQ的长是　　　　.
(2)已知点C在直线AB上,AB=10,BC=4,点M是线段AC的中点,则线段BM的长是　　　　.
(3)已知∠AOB=70°,∠BOC=30°,OD平分∠BOC,则∠AOD的度数是　　　　.
(4)如图,在同一平面内,∠AOB=∠COD=90°,∠AOF=∠DOF,点E为OF反向延长线上一点(图中所有角均指小于180°的角).下列结论:①∠COE=∠BOE;②∠AOD+∠BOC=180°;③∠BOC-∠AOD=
90°;④∠COE+∠BOF=180°.其中正确的结论是　　　　.(填序号)
(5)如图,四边形纸片ABCD中,AD∥BC,折叠纸片ABCD,使点D落在AB上的点D'处,点C落在点C'处,折痕为EF,C'D'交BC于点G.下列结论一定正确的是　　　　.(填序号)
①∠BFE=∠D'EF;
②∠D=∠AED'+∠BGD';
③∠AED'=∠BFC';
④∠CFE-∠AED'=∠BD'G;
⑤若∠D=∠BD'G,∠AED'∶∠ED'G=2∶5,则∠C-∠B=∠BFE.
(1)根据线段的和差关系求出AM,BN的长,进而根据线段中点的定义求出PM,QN的长,再由线段的和差关系求出PQ的长即可.
(2)根据点C的位置分情况讨论;然后利用线段中点的性质和线段的和差关系求解即可.
(3)根据射线OC的位置分情况讨论,然后利用角的和差关系进行计算即可.
(4)根据余角的性质以及角的和差关系进行角度的计算,准确识图是解题的关键.
(5)根据平行线的性质和折叠判断①;过点D'作D'M∥AD,即可得到AD∥BC∥D'M,然后根据内错角相等得到∠AED'=∠ED'M,∠BGD'=∠GD'M,即可判断②;用∠DEF表示∠AED',∠BFC',即可判断③;通过证明不能得到∠CFE-∠AED'=∠BD'G判断④;设∠D=α,根据平行线的性质和折叠分别用α表示∠C-∠B,∠BFE,即可判断⑤.
命题点一　直线和线段
(2021·河北)如图,已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上,请借助直尺判断该线段是(　　)
A.a B.b
C.c D.d
命题点二　角及角平分线
(2025·陕西)如图,点O在直线AB上,OD平分∠AOC.若∠1=52°,则∠2的度数为(　　)
A.76° B.74°
C.64° D.52°
命题点三　相交线
(2020·河北)如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
(2025·河北样卷)将两根矩形木条如图放置,固定其中一根,转动另一根,若∠1增大3°,则下列说法正确的是(　　)
A.∠2减小3°
B.∠3减小3°
C.∠4增大3°
D.∠2与∠4的和不变
命题点四　平行线的判定与性质
(2025·河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图,其中AD∥BC,∠ABC=70°,则∠BAD=(　　)
A.70° B.100° C.110° D.130°
(2022·河北)要得知作业纸上两相交直线AB,CD所夹锐角的大小,发现其交点不在作业纸内,无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2).
对于方案Ⅰ,Ⅱ,说法正确的是(　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ,Ⅱ都可行 D.Ⅰ,Ⅱ都不可行
命题点五　命题、定理与反证法
(2024·河北样卷)能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(　　)
A B C　 D
(2024·河北样卷)已知下列命题:①若|a|=|b|,则a2=b2;②若am2>bm2,则a>b;③等腰三角形的两底角相等.其中原命题和逆命题均为真命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①BC　②AC　③AB　④AB　⑤90°
⑥90°<α<180°　⑦90°　⑧相等
⑨180°　⑩相等　相等　∠8　相等　180°　∠5　∠8　∠8
垂线段　相等　垂直平分线上
a∥b　相等　相等　互补
即时练
1.(1)两点确定一条直线
(2)两点之间,线段最短
2.3　
3.(1)94°14'　(2)155°　(3)3
4.①②③⑤
5.18　解析:∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,∵FG是AC的垂直平分线,∴FA=FC,∴△AEF的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=18.
6.(1)150°　(2)BC　(3)30°
7.150°　解析:如图,过点B作BF∥l1,交AC于点F,
∵∠C=30°,∴∠A=90°-∠C=60°.∵∠1=∠A+∠ADE,∠1=120°,∴∠ADE=60°.∵BF∥l1,∴∠ABF=∠ADE=60°,
∴∠FBG=90°-∠ABF=30°.∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∴∠BGH+∠FBG=180°,∴∠BGH=180°-∠FBG=150°,
∴∠2=∠BGH=150°.
8.(1)如果两个角是同位角,那么这两个角相等　两个角是同位角　这两个角相等　假
(2)如果两个角相等,那么这两个角是同位角　假
9.(答案不唯一)
10.b∥c
重点难点·一题串讲
例:(1)18　解析:∵AN=18,MN=12,
∴AM=AN-MN=6,∴BN=AM=6,∵P是AM的中点,Q是BN的中点,
∴PM=AM=3,QN=BN=3,
∴PQ=PM+MN+QN=3+12+3=18.
(2)7或3　解析:当点C在线段AB上时,如图1,
∵AB=10,BC=4,∴AC=AB-BC=10-4=6,∵点M是线段AC的中点,
∴MC=AC=×6=3,∴BM=MC+BC=7;
当点C在线段AB的延长线上时,如图2,
∵AC=AB+BC=10+4=14,∵点M是线段AC的中点,∴MC=AC=×14=7,∴BM=MC-BC=7-4=3.综上,BM的长为7或3.
(3)55°或85°　解析:如图1,当射线OC在∠AOB内部时,∵OD平分∠BOC,∠BOC=30°,∴∠BOD=∠BOC=
×30°=15°,∵∠AOD=∠AOB-∠BOD,∠AOB=70°,∴∠AOD=70°-15°=55°;如图2,当射线OC在∠AOB外部时,
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠AOB=70°,∠BOD=15°,
∴∠AOD=70°+15°=85°.
综上所述,∠AOD的度数是55°或85°.
(4)①②④　解析:∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,而∠AOF=∠DOF,∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-
∠BOD-∠DOF,即∠COE=∠BOE,故①正确;∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB
=180°,故②正确;∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD,而∠AOC不一定等于∠AOD,故③不正确;∵E,O,F三点共线,∴∠BOE+∠BOF=180°,∵∠COE=∠BOE,∴∠COE+∠BOF=180°,故④正确.故正确的结论是①②④.
(5)①②③⑤　解析:∵AD∥BC,
∴∠BFE=∠DEF,根据折叠可得
∠D'EF=∠DEF,∴∠BFE=∠D'EF,故①正确;过点D'作D'M∥AD,如图,∵AD∥BC,∴AD∥BC∥D'M,∴∠AED'=∠ED'M,∠BGD'=∠GD'M,∴∠D=∠ED'C'=∠ED'M+
∠GD'M=∠AED'+∠BGD',故②正确;
∵AD∥BC,∴∠EFC=180°-∠DEF,
∠DEF=∠EFB,又∵∠EFC=∠EFC',
∠D'EF=∠DEF,∴∠EFC=∠EFC'=180°-∠DEF,∠D'EF=∠DEF=∠EFB,∴∠AED'=180°-∠DEF-∠D'EF=180°-2∠DEF,∠BFC'=∠EFC'-∠BFE=180°-∠DEF-∠DEF=180°-2∠DEF,∴∠AED'=∠BFC',故③正确;∵AD∥BC,
∴∠AEF=∠EFC,∴∠CFE-∠AED'=∠AEF-∠AED'=∠D'EF=∠DEF=∠EFB,不能得到∠CFE-∠AED'=∠BD'G,故④错误;设∠D=α,则∠ED'G=∠BD'G=α,
又∵∠AED'∶∠ED'G=2∶5,∴∠AED'=α,∠BGD'=α,
∴∠FED'=∠FED=∠BFE=(180°-∠AED')=90°-α,∠BD'M=∠BD'G+∠GD'M=α+α=α,
又∵AD∥BC∥D'M,∴∠B=180°-∠BD'M=180°-α,∠C=180°-∠D=180°-α,
∴∠C-∠B=180°-α-=90°-α=∠BFE,故⑤正确.
故正确的结论是①②③⑤.
河北中考·考向体验
1.A
2.A　解析:∵OD平分∠AOC,∴∠AOC=2∠1=2×52°=104°,∴∠2=180°-∠AOC=76°.故选A.
3.D　4.A　5.C
6.C　解析:∵∠HEN=∠CFG,∴MN∥CD.∴直线AB,CD所夹锐角与∠AEM相等,故方案Ⅰ可行.根据三角形内角和定理可知,直线AB,CD所夹锐角与180°-∠AEH-∠CFG相等,故方案Ⅱ可行.故选C.
7.A　解析:A.两个角都是30°,这两个角相等,但这两个角不是对顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项符合题意;B.两个角都是30°,这两个角相等,这两个角是对顶角,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意;C.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意;D.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意.故选A.
8.C　解析:若|a|=|b|,则a2=b2的逆命题为若a2=b2,则|a|=|b|,原命题和逆命题均为真命题;若am2>bm2,则a>b的逆命题为若a>b,则am2>bm2,原命题为真命题,逆命题为假命题;等腰三角形的两底角相等的逆命题为有两角相等的三角形为等腰三角形,原命题和逆命题均为真命题.故选C.

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