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第二讲　平行四边形
考点　平行四边形的性质与判定
性质
定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质 1.边:两组对边分别①　　　　且②　　　　. 2.角:两组对角分别③　　　　. 3.对角线:对角线④　　　　. 4.对称性:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点
面积 S=⑤　　　　(a表示边长,h表示该边上的高)
判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
(2)两组对边⑥　　　　的四边形是平行四边形.
(3)一组对边⑦　　　　　的四边形是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(5)两条对角线⑧　　　　的四边形是平行四边形.
1.在 ABCD中,若∠A+∠C=100°,则∠D的度数为　　　　.
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
(1)若AB ∥ CD,要使四边形ABCD 为平行四边形,则可添加的条件为　　　　.(只填一个)
(2)若AO=CO,要使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为　　　　.(只填一个)
已知四边形ABCD是平行四边形,点E是BC边上一点.
图1　图2　图3
(1)如图1,若AE平分∠BAD,∠D=50°,则∠AEC=　　　　.
(2)如图2,若点E是BC边的中点,点O为对角线的交点,△CEO的周长为6,则△ABC的周长为　　　　.
(3)如图3,AE⊥BC于点E,若∠D=45°,AE=4 ,AC=5,则平行四边形ABCD的周长为　　　　.
如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
给出下列五个条件:①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC.选其中两个条件就能判定四边形ABCD是平行四边形的组合是　　　　.(填序号,只填一组即可)
(1)利用平行四边形的性质:对边平行,结合AE平分∠BAD,从而得到∠AEC的度数.
(2)由平行四边形的性质得到O为AC的中点,进而得到OE为△ABC的中位线,利用中位线的性质可知△ABC的周长.
(3)由AE⊥BC,∠D=45°,可得△AEC为直角三角形,△ABE为等腰直角三角形,然后得出BE的长,利用勾股定理求出CE,AB的长,进而求出平行四边形ABCD的周长.
根据平行四边形的定义和判定定理得到答案.
命题点　平行四边形的性质与判定
(2022·河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(　　)
A B C D
(2023·河北)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.图1~图3是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O.
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO.
(3)连接DC, BC, 则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　)
A.两组对边分别平行　 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
(2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴　①　.
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(　②　).
∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.若以上解答过程正确,①②应分别为(　　)
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
(2021·河北)如图1, ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案.
则正确的方案(　　)
A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是
(2025·河北)平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n为整数,则n的值可以为　　　　.(写出一个即可)
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①平行　②相等　③相等　④互相平分
⑤ah　⑥分别相等　⑦平行且相等
⑧互相平分
即时练
1.130°
2.(1)AD∥BC(答案不唯一)
(2)BO=DO(答案不唯一)
重点难点·一题串讲
例1:(1)115°　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=50°,∴∠BAD=180°-50°=130°,∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=65°.
∴∠AEC=180°-65°=115°.
(2)12　解析:∵平行四边形对角线相互平分,且E为BC的中点,∴OE为△ABC的中位线,∴OE=AB.
∵C△CEO=OC+OE+CE=6,∴C△ABC=AC+AB+BC=2(OC+OE+CE)=2×6=12.
(3)14+8　解析:∵∠D=∠B=45°,AE⊥BC,∴△ABE为等腰直角三角形,AE=BE=4.在Rt△AEC中,由勾股定理,得CE==3,∴BC=BE+CE=7,同理在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=4,
∴C ABCD=2(AB+BC)=2×(4+7)=14+8.
例2:①②(答案不唯一)　解析:选择①②,证明如下:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.在△AOB和△COD中,∴△AOB≌△COD(AAS),∴AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形.
河北中考·考向体验
1.D
2.C　解析:根据题图1,得出DO=OB,根据题图2,得出OC=AO,可知使得对角线互相平分,从而得出四边形ABCD为平行四边形,故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是对角线互相平分.故选C.
3.D　解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴∠2=
∠3.∵点M是AC的中点,∴MA=MC.在△MAD和△MCB中,
∴△MAD≌△MCB(ASA),∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.∴①②分别为∠2=∠3,ASA.故选D.
4.A　解析:连接AC,与BD交于点O(图略),甲方案:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,
∵BN=NO,OM=MD,∴ON=OM,∴四边形ANCM为平行四边形.乙方案:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,AO=CO,BO=DO,∴∠ABN=∠CDM,又∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴∠ANB=∠CMD=90°,
∴△ABN≌△CDM(AAS),∴BN=DM,∵BO=DO,∴ON=OM,∴四边形ANCM为平行四边形.丙方案:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=∠BCD,∴∠ABN=∠CDM,
又∵AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠BAN=∠DCM,∴△ABN≌△CDM(ASA),∴BN=DM,∵BO=DO,
∴ON=OM,∴四边形ANCM为平行四边形.∴甲、乙、丙三种方案都正确.故选A.
5.2(或3或4或5或6)　解析:∵平行四边形的一组邻边长分别为3,4,
∴它的一条对角线长n的取值范围是4-3

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