资源简介

《分层随机抽样》教学设计
教材版本：2019版人教A版《高中数学》必修第二册
课题：分层随机抽样
课时：1课时（约40分钟）
一、教材分析
（一）教材地位与作用： “分层随机抽样”属于《普通高中数学课程标准（2017年版）》中“统计与概率”主题的重要内容。在必修第二册中，学生已学习了简单随机抽样的概念与方法，理解了抽样调查的基本思想。本节内容在此基础上，进一步研究当总体具有明显分层特征时如何科学抽样，是随机抽样方法的深化与拓展，也为后续学习样本估计总体、回归分析等内容奠定基础。
（二）内容结构：教材通过现实情境引入分层随机抽样的必要性，具体为：
1. 分层随机抽样的概念：按某种特征将总体划分为若干层，在各层内独立进行简单随机抽样。
2. 适用范围与特点：总体由差异明显的子群体组成，能有效减少抽样误差，提高估计精 度。
3. 样本量的分配方法：重点介绍比例分配，兼顾实际问题中的非比例分配情形。
4. 样本均值的计算：利用各层样本均值加权求和得到总体均值的估计。
5. 应用实践：在简单实际情境中选择恰当抽样方法解决问题。
二、学情分析
（一）知识基础：学生已掌握简单随机抽样（抽签法、随机数法）的基本操作，理解样本的代表性与随机性的意义，具备一定的数据收集与整理经验。
（二）能力与思维特点：高一学生抽象思维逐步发展，能理解分层的思想，但在实际问题中自主设计分层方案、确定各层样本量的能力尚待提高。部分学生对统计方法的实际意义认识不足，容易机械记忆公 式。
（三）可能遇到的困难：1. 理解“层内差异小、层间差异大”的实际含义； 2. 掌握样本量比例分配的计算方法； 3. 区分分层随机抽样与其他抽样方法； 4. 理解分层抽样中样本均值的加权计算逻辑。
三、教学目标
（一）基础知识与基本技能：
1. 了解分层随机抽样的特点、适用范围及必要性；
2. 掌握比例分配法确定各层样本量的方法；
3. 会计算分层随机抽样的样本均值；
4. 能在简单实际情境中选择并设计分层随机抽样方案。
（二）基本活动体验：
1. 通过实例对比，感受分层随机抽样与简单随机抽样的区别与联系；
2. 经历“确定分层变量→计算各层样本量→抽取样本→计算估计量”的完整过程；
3. 在问题解决中体会统计思想，提升数据处理能力。
（三）学科素养：
1. 通过实际案例，认识科学抽样对决策的重要意义；
2. 在合作探究中培养严谨求实的科学态度；
3. 提升数据分析素养，增强用数学方法解决实际问题的意识。
四、教学重难点
（一）教学重点：
1. 分层随机抽样的概念与特点；
2. 比例分配法确定各层样本量；
3. 分层样本均值的计算。
（二）教学难点 ：
1. 理解分层随机抽样减小误差的原理；
2. 在实际问题中合理选择分层变量；
3. 灵活运用分层抽样解决实际问题。
五、教学准备
（一）教具：多媒体课件、实物投影、学生活动卡片、计算器。
（二）情境素材：
案例1：某校高一、高二、高三学生体质健康调查；
案例2：城乡居民消费水平抽样调查。
六、教学过程
（一）创设情境，导入新课（5分钟）。
问题引入： 某学校共有学生3600人，其中高一1080人，高二1260人，高三1260人。学校欲抽取100 名学生调查每周体育锻炼时间。如果采用简单随机抽样，可能会出现什么情况？
学生讨论：可能某一年级被抽到的学生过少或过多，导致样本不能很好代表各年级情况。 教师引导：当总体由差异明显的几部分组成时，如何保证每部分在样本中都有合适的代表？ 引出课题——分层随机抽样。
（二）探究新知，形成概念（10分钟）。
1. 分层随机抽样的定义， 教师结合实例讲解： 将总体按某种特征分成互不交叉的层（如年级、城乡、年龄段）； 在各层内独立进行简单随机抽样； 将各层样本合成为总样本。 关键点强调： 分层标准应选择与调查变量高度相关的特征； 层内个体差异尽可能小，层间差异尽可能大。
2. 分层随机抽样的必要性探究活动：模拟抽样比较，假设高一、高二、高三学生平均每周锻炼时间分别为3小时、5小时、2小时。用简单随机抽样和分层随机抽样分别模拟抽取100人，比较样本均值与总体均值（3.33小时）的接近程度。 通过模拟结果引导学生发现：分层抽样能有效减少极端样本的出现，提高估计精度。
（三）样本量的分配方法（5分钟）。
1. 比例分配法：
公式推导：
其中为总样本量， 为第层个体数，为总体个体数，为第层样本量。
例题：前文学校案例中，按比例分配，各年级应抽取多少人？
计算：高一人，同理高二、高三各35人。
2. 非比例分配简介 简要说明当各层调查成本或方差差异较大时，可采用最优分配等非比例方法（拓展内容）。
3. 巩固练习1
练习1：某市有普通高中学生12万人，职业高中学生3万人。欲抽取1500名学生调查视力情 况，按比例分配应各抽多少人？
练习2：某工厂有青年工人200人，中年工人300人，老年工人100人。现用分层抽样抽取 30人调查技能水平，各层应抽多少人？
（四）分层抽样的样本均值的计算（15分钟）
1. 公式推导：
2. 实例计算：某县有城镇人口12万，乡村人口8万，抽样调查居民月人均消费，城镇样本300人，均值为3200元，乡村样本200人，均值为1800元，试估计该县居民月人均消费。
计算：元
3. 通过同一数据不同抽样方法的估计结果比较，体会分层抽样的优势。
（五）课堂总结与拓展（5分钟）
知识梳理： 分层随机抽样的适用条件→分层变量选择→样本量分配→样本计算→实际应用。
素养提升： 数据分析素养，通过科学抽样获得可靠数据； 数学建模素养，将实际问题转化为抽样模型。
批判性思维：理解抽样方法的局限性与适用性。
拓展思考： 如果既要按年级分层，又要按性别分层，该如何设计抽样方案？（引出“多阶段抽样”或“分 层交叉”概念，为选修内容铺垫）
七、板书设计（主版面）
左栏：概念与方法 1. 分层随机抽样 定义：分层→层内简单随机抽样 特点：层内差异小，层间差异大 适用范围：总体由差异明显的子群体组成 2. 样本量分配 比例分配： 关键：各层样本量与层大小成比例
中栏：计算公式 样本均值估计： 例题计算步骤： ① 求各层样本均值 ② 计算层权 ③ 加权求和 右栏：应用流程 实际问题 → 选择分层变量 → 确定各层样本量 → 实施抽样 → 计算估计量 → 分析结果
八、作业设计
基础题（全体完成） 1. 教材课后练习题1-3题； 2. 某社区有老年人600人，中年人1000人，青年人1400人。用分层抽样抽取150人调查健康习惯，按比例分配各层样本量。
提高题（选做） 设计一个调查本校学生课外阅读时间的分层抽样方案，要求： 1. 说明分层变量及理由； 2. 给出具体抽样步骤； 3. 模拟数据计算样本均值。 实践题（小组合作） 以4-6人为一组，自选一个感兴趣的主题（如垃圾分类意识、体育锻炼情况等），设计分层 抽样方案并实施小范围调查，形成简要调查报告。
九、教学反思与评价建议
（一）教学反思要点：
1. 是否通过实例让学生真正理解分层抽样的必要性；
2. 学生是否能独立完成比例分配计算；
3. 在实际问题中，学生选择分层变量的合理性；
4. 是否渗透了数据分析的完整过程思想。
（二）评价建议：
1. 过程性评价：关注课堂参与、小组活动表现、方案设计的合理性；
2. 纸笔测试：考查概念理解、计算能力、方法选择；
3. 实践评价：通过调查报告评价数据收集、处理与分析能力。
设计说明： 本教学设计以课程标准为指导，紧扣教材内容，注重从实际情境出发，通过问题驱动、活动探究促进学生对分层随机抽样概念与方法的理解。强调统计思想的渗透与数据分析素养的培养，力求让学生在掌握知识技能的同时，形成用科学方法观察、分析现实世界的意识与能力。两课时的安排兼顾概念形成与方法应用，体现了“理论—实践—反思”的学习循环。

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